Resolvente

In Mathematik und Theoretischer Physik ist die Resolvente (manchmal auch Greenscher Operator genannt) die Inverse eines mit einer komplexen Zahl $z$ verschobenen linearen Operators oder einer Matrix. Die Menge der Werte $z$, für die diese Inverse wohldefiniert ist, ist die Resolventenmenge des Operators; das Komplement dieser Menge ist sein Spektrum. Anwendungen betreffen alle Aspekte der Operatortheorie in der Funktionalanalysis, insbesondere die Störungsrechnung.

Definition

Für einen linearen Operator $A$ (oder auch eine Matrix $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$) definiert man die Resolventenmenge $\rho (A)$ als das Komplement des Spektrums von $A$, d. h. als die Menge aller komplexen Zahlen $z$, für die der Operator $zI-A$ beschränkt invertierbar ist. Die Resolventenmenge ist als Komplement des Spektrums offen. Auf der Resolventenmenge definiert man die Resolvente durch

$R\left(A,z\right)=(zI-A)^{-1}\ .$

Viele Autoren verwenden als Definition der Resolvente $R\left(A,z\right)=(A-zI)^{-1}$, was lediglich das Vorzeichen invertiert.

Eigenschaften und Anwendungen

Die Resolvente ist eine operatorwertige analytische Funktion und kann auf $\{z\in \mathbb {C} :|z|>r\}$, wobei $r$ der Spektralradius ist, durch die Neumannsche Reihe dargestellt werden:

$R\left(A,z\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {A^{n}}{z^{n+1}}}$.

Die Resolvente wird u. a. verwendet, um Eigenwertentwicklungen von gestörten Operatoren zu beschreiben, zum Beispiel die Entwicklungen von Rellich-Kato und Strutt-Schrödinger.

Resolventenidentitäten

Hilfreich bei Berechnungen sind die erste und zweite Resolventenidentität. Aus $\left(z_{1}-z_{2}\right)I=z_{1}I-A-(z_{2}I-A)$ folgt mittels Inversion die erste Resolventenidentität

$R\left(A,z_{2}\right)-R(A,z_{1})=(z_{1}-z_{2})R(A,z_{1})R(A,z_{2})=(z_{1}-z_{2})R(A,z_{2})R(A,z_{1}),$

und aus $A_{1}-A_{2}=zI-A_{2}-\left(zI-A_{1}\right)$ folgt mittels Inversion die zweite Resolventenidentität

$R\left(A_{1},z\right)-R(A_{2},z)=R(A_{1},z)(A_{1}-A_{2})R(A_{2},z).$

Literatur

• Dirk Werner: Funktionalanalysis, Springer-Verlag, Berlin, 2007, ISBN 978-3-540-72533-6.