Satz von Gromov-Lawson

In der Mathematik ist der Satz von Gromov-Lawson ein Lehrsatz der Differentialgeometrie, der zur Konstruktion von Metriken positiver Skalarkrümmung verwendet wird. Er wurde von Gromov-Lawson und mit anderen Methoden von Schoen-Yau bewiesen.

Aussage

Sei $M$ eine geschlossene, riemannsche Mannigfaltigkeit positiver Skalarkrümmung und $N$ eine aus $M$ durch Chirurgie der Kodimension $k\geq 3$ entstehende Mannigfaltigkeit. Dann trägt auch $N$ eine riemannsche Metrik positiver Skalarkrümmung.

Eine stärkere Aussage ist der auf der Konstruktion von Gromov-Lawson aufbauende Satz von Gromov-Lawson-Chernysh, demzufolge für $3\leq k\leq dim(M)-2$ die Modulräume riemannscher Metriken positiver Skalarkrümmung für $M$ und $N$ homotopieäquivalent sind.

Anwendungen

• Eine geschlossene, einfach zusammenhängende Spin-Mannigfaltigkeit der Dimension $d\geq 5$, die spin-kobordant zu einer Mannigfaltigkeit positiver Skalarkrümmung ist, trägt eine Metrik positiver Skalarkrümmung.
• Jede geschlossene, einfach zusammenhängende Mannigfaltigkeit der Dimension $d\geq 5$, die nicht spin ist, trägt eine Metrik positiver Skalarkrümmung.
• Auf der Konstruktion von Gromov-Lawson baut der Satz von Stolz auf: Eine geschlossene, einfach zusammenhängende, Spin-Mannigfaltigkeit der Dimension $d\geq 5$ trägt genau dann eine Metrik positiver Skalarkrümmung, wenn ihre α-Invariante verschwindet. (Die α-Invariante ist eine Verfeinerung des Â-Geschlechts. Aus dem Atiyah-Singer-Indexsatz folgt, dass Mannigfaltigkeiten mit einer Metrik positiver Skalarkrümmung verschwindendes Â-Geschlecht haben müssen. Diese Bedingung ist aber nicht hinreichend für die Existenz einer Metrik positiver Skalarkrümmung.)