Universelle einhüllende Algebra

Die universelle einhüllende Algebra (auch universelle Einhüllende) ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Theorie der Lie-Algebren. Sie ist eine assoziative Algebra, die zeigt, dass man die Lie-Klammer stets als Kommutator auffassen kann, auch bei Lie-Algebren, die nicht von einer assoziativen Algebra herkommen.

Definition

Es sei ${\mathfrak {g}}$ eine Lie-Algebra (über einem Körper). Eine universelle einhüllende Algebra $\mathrm {U} ({\mathfrak {g}})$ von ${\mathfrak {g}}$ besteht aus einer unitären assoziativen Algebra und einem Liealgebrenhomomorphismus ${\mathfrak {g}}\to \mathrm {U} ({\mathfrak {g}})$ (dabei sei die Liealgebrastruktur auf assoziativen Algebren durch den Kommutator gegeben), so dass gilt:

Ist $A$ eine unitäre assoziative Algebra, so stehen die Liealgebrahomomorphismen ${\mathfrak {g}}\to A$ in Bijektion mit den unitären Algebrenhomomorphismen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm U(\mathfrak g)\to A} . Diese Bijektion wird durch den Homomorphismus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak g\to\mathrm U(\mathfrak g)} vermittelt.

Eigenschaften

• Die wichtigste Aussage über universelle einhüllende Algebren ist der Satz von Poincaré-Birkhoff-Witt (nach Henri Poincaré, Garrett Birkhoff und Ernst Witt; auch als PBW abgekürzt): Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X_1,\ldots,X_n} eine Basis von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak g} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i\colon\mathfrak g\to\mathrm U(\mathfrak g)} die kanonische Abbildung, so bilden die Monome

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i(X_{i_1})i(X_{i_2})\cdots i(X_{i_k})} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i_1\leq i_2\leq\ldots\leq i_k}

eine Basis von $\mathrm {U} ({\mathfrak {g}})$.

• Insbesondere ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i} injektiv, und jede Lie-Algebra ist Unteralgebra einer assoziativen Algebra.
• Moduln unter einer Lie-Algebra sind dasselbe wie Moduln unter ihrer universellen einhüllenden Algebra.

Konstruktion

Man kann die universelle Einhüllende explizit angeben als Quotienten der Tensoralgebra Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm T\mathfrak g} nach dem zweiseitigen Ideal, das von Elementen der Form

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X\otimes Y-Y\otimes X-[X,Y]}

für $X,Y\in {\mathfrak {g}}$ erzeugt wird. Man beachte: Im Unterschied zu den entsprechenden Konstruktionen der äußeren Algebra oder symmetrischen Algebra ist dieses Ideal nicht homogen, $\mathrm {U} ({\mathfrak {g}})$ trägt also keine induzierte Graduierung.

Beispiele

• Ist ${\mathfrak {g}}$ abelsch, so ist die universelle einhüllende Algebra isomorph zur symmetrischen Algebra über ${\mathfrak {g}}$.