Satz von der majorisierten Konvergenz

Der Satz von der majorisierten Konvergenz (auch Satz von der majorisierenden Konvergenz, Satz von der dominierten Konvergenz oder Satz von Lebesgue) ist eine zentrale Grenzwertaussage in der Maß- und Integrationstheorie und geht auf den französischen Mathematiker Henri Léon Lebesgue zurück.

Der Satz liefert ein Entscheidungskriterium für die Vertauschbarkeit von Integral- und Grenzwertbildung.

Die formale Aussage des Satzes

Sei $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum und sei $\left(f_{n}\right)$ eine Folge von ${\mathcal {A}}$-messbaren Funktionen $f_{n}\colon \Omega \to \mathbb {R} \cup \{\infty \}$.

Die Folge $\left(f_{n}\right)$ konvergiere $\mu$-fast überall gegen eine ${\mathcal {A}}$-messbare Funktion $f$. Ferner werde die Folge $\left(f_{n}\right)$ von einer $\mu$-integrierbaren Funktion $\,g$ auf $\,\Omega$ majorisiert, sprich für alle $n\in \mathbb {N}$ gelte $|f_{n}|\leq g$ $\mu$-fast überall. Beachte, dass bei der hier verwendeten Definition von Integrierbarkeit der Wert $\infty$ ausgeschlossen ist, das heißt $\textstyle \int _{\Omega }|g|\,d\mu <\infty$.

Dann sind $f$ und alle $f_{n}\,\mu$-integrierbar und es gilt:

$\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{\Omega }{|f_{n}-f|}\,d\mu =0$    

Dies impliziert auch, dass

$\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{\Omega }{f_{n}\,}d\mu =\int _{\Omega }{f\,}d\mu$

gilt.

Bemerkung zu den Voraussetzungen

• Auf die Voraussetzung der Majorisierbarkeit $|f_{n}|\leq g$ kann nicht verzichtet werden. Als Beispiel dient die Folge $(q_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, definiert durch $q_{n}\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,q_{n}:=n\chi _{(0,{\tfrac {1}{n}})}$, wobei $\chi _{(0,{\tfrac {1}{n}})}$ die Indikatorfunktion auf $(0,{\tfrac {1}{n}})$ bezeichne. Es gilt $\textstyle \lim _{n\to \infty }q_{n}=0$ überall, aber dennoch ist

$\lim _{n\to \infty }\int _{\mathbb {R} }q_{n}\,d\lambda =\lim _{n\to \infty }1=1\neq 0=\int _{\mathbb {R} }0\,d\lambda =\int _{\mathbb {R} }\lim _{n\to \infty }q_{n}\,d\lambda$.

• Auf die Voraussetzung, dass die Funktion $f$ messbar ist, kann man verzichten, wenn stattdessen bekannt ist, dass $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ ein vollständiger Maßraum ist, weil dann die Funktion $f$ automatisch messbar ist. Ebenso folgt die Messbarkeit von $f$, falls bekannt ist, dass die Folge überall, und nicht nur fast überall gegen $f$ konvergiert.

Majorisierte Konvergenz in L^p-Räumen (Folgerung)

Sei $(\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )$ ein Maßraum, $1\leq p<\infty$ und sei $\left(f_{n}\right)$ eine Folge von ${\mathcal {A}}$-messbaren Funktionen $f_{n}:\Omega \to \mathbb {R} \cup \{\infty \}$.

Weiter konvergiere die Folge $\left(f_{n}\right)$ $\mu$-fast überall gegen eine ${\mathcal {A}}$-messbare Funktion $f$, und die Folge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left(f_n\right)} werde von einer Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \,g\in L^p(\Omega,\mathcal{A},\mu)} majorisiert, d. h., für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n \in \mathbb{N} } gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |f_{n}| \leq g } Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu} -fast überall.

Dann gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_n \in L^p(\Omega,\mathcal{A},\mu)} für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n \in \mathbb N } und auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f \in L^p(\Omega,\mathcal{A},\mu)} sowie: Die Folge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left( f_n \right) } konvergiert im p-ten Mittel gegen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} , d. h.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\|f_n-f\|_p =\lim_{n \rightarrow \infty}\left(\int_\Omega |f_n-f|^p \,d\mu\right)^{1/p} = 0} .

Beweisskizze: Anwendung des Originalsatzes auf die Funktionenfolge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h_n = |f_n-f|^p} mit der Majorante Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (2g)^p} .

Majorisierte Konvergenz für Zufallsvariablen

Da Zufallsvariablen auch nichts anderes als messbare Funktionen auf besonderen Maßräumen, nämlich den Wahrscheinlichkeitsräumen sind, lässt sich der Satz über die majorisierte Konvergenz auch auf Zufallsvariable anwenden. Hier lassen sich sogar die Voraussetzungen an die Folge abschwächen: Es genügt, dass die Folge in Wahrscheinlichkeit konvergiert anstelle der stärkeren Forderung der punktweisen Konvergenz fast überall:

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\Omega,\mathcal{A},P)} ein Wahrscheinlichkeitsraum, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p\ge1} eine reelle Zahl und sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left(X_n\right)} eine Folge von reellwertigen Zufallsvariablen.

Weiter konvergiere die Folge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left( X_n \right) } in Wahrscheinlichkeit gegen eine Zufallsvariable Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} und die Folge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left(X_n\right)} werde von einer Zufallsvariablen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \,Y\in L^p} majorisiert, d. h. für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n \in \mathbb{N} } gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |X_{n}| \leq Y } Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} -fast überall.

Dann sind alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X_n} und auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X } in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L^p} und es gilt: Die Folge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left( X_n \right) } konvergiert gegen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} im Sinne von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L^p} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty}\operatorname{E}\left[X_n\right] = \operatorname{E}\left[X\right]} .

Verallgemeinerungen

Satz von Pratt

Aus dem Satz von Pratt lässt sich eine Verallgemeinerung des Satzes von der majorisierten Konvergenz herleiten, die auf der Basis der Konvergenz lokal nach Maß aufbaut. Der Satz von Pratt ist eine maßtheoretische Variante des Einschnürungssatzes, setzt man alle einschnürenden Funktionen als eine integrierbare Majorante, so erhält man die angesprochene Verallgemeinerung.

Konvergenzsatz von Vitali

Der Konvergenzsatz von Vitali liefert eine Äquivalenz zwischen der Konvergenz lokal nach Maß, der gleichgradigen Integrierbarkeit und der Konvergenz im p-ten Mittel. Da aber jede punktweise fast überall konvergente Funktionenfolge auch lokal nach Maß konvergent ist, und die Existenz einer integrierbaren Majorante ein hinreichendes Kriterium für die gleichgradige Integrierbarkeit einer Funktionenfolge liefert, ist der Satz der majorisierten Konvergenz sehr ähnlich. Ein Unterschied ist jedoch, dass die Integrierbarkeit der Funktionenfolge gefordert wird.

Siehe auch

• Satz von der monotonen Konvergenz
• Lemma von Fatou

Literatur

• Elliott H. Lieb, Michael Loss: Analysis (= Graduate Studies in Mathematics. Bd. 14). 2nd Edition. American Mathematical Society, Providence, RI 2001, ISBN 0-8218-2783-9.