Satz von Vieta

Der Satz von Vieta oder auch Wurzelsatz von Vieta ist ein mathematischer Lehrsatz aus der elementaren Algebra. Benannt ist er nach dem Mathematiker François Viète, der ihn in seinem postum erschienenen Werk „De aequationum recognitione et emendatione tractatus duo“ („Zwei Abhandlungen über die Untersuchung und Verbesserung von Gleichungen“) bewies. Der Satz macht eine Aussage über den Zusammenhang zwischen den Koeffizienten und den Lösungen einer algebraischen Gleichung.

Aussage

Seien $p$ und $q$ die Koeffizienten der quadratischen Gleichung

$x^{2}+px+q=0$

und $x_{1}$ und $x_{2}$ deren Lösungen (Wurzeln). Dann gilt

${\begin{aligned}x_{1}+x_{2}&=-p\\x_{1}\cdot x_{2}&=q\end{aligned}}$

Beispiele

Für den Satz gibt es drei wichtige Anwendungen:

• Es lassen sich damit quadratische Gleichungen zu vorgegebenen Lösungen konstruieren. Beispielsweise ist $x^{2}-5x+6=0$ eine quadratische Gleichung zu den Lösungen $2$ und $3$.
• Es lassen sich Gleichungssysteme der Form

${\begin{aligned}x_{1}+x_{2}&=-p\\x_{1}\cdot x_{2}&=q\end{aligned}}$

lösen. Beispielsweise sind die Lösungen $x$ und $y$ des Systems $x+y=-(-5),x\cdot y=6$ die Lösungen der zugehörigen quadratischen Gleichung $x^{2}-5x+6=0$. Nach der Lösungsformel ergibt sich $x=2$, $y=3$ oder $x=3$, $y=2$.

• Der Satz kann helfen, die Lösungen durch Probieren zu bestimmen: Ist die quadratische Gleichung

$x^{2}-7x+10=0$

gegeben, dann muss für die Nullstellen $x_{1}$, $x_{2}$ gelten:

${\begin{aligned}x_{1}+x_{2}&=-(-7)=7\\x_{1}\cdot x_{2}&=10\,.\end{aligned}}$

Wenn wir zunächst nach ganzzahligen Nullstellen suchen, müssen die Nullstellen Teiler der 10 sein, deren Summe 7 ist. Als Teiler von 10 kommen 2 und 5 infrage, oder 1 und 10, oder −2 und −5, oder −1 und −10. 2 und 5 sind tatsächlich Nullstellen, da $2+5=7$ und $2\cdot 5=10$ ist.

Beweis

Der Satz ergibt sich direkt durch Ausmultiplizieren der Nullstellenform nach Koeffizientenvergleich:

${\begin{aligned}x^{2}+px+q&=(x-x_{1})\cdot (x-x_{2})\\&=x^{2}-(x_{1}+x_{2})\cdot x+x_{1}\cdot x_{2}\end{aligned}}$

und somit $p=-(x_{1}+x_{2})$ und $q=x_{1}\cdot x_{2}$.

Alternativ folgt der Satz aus der pq-Formel: Für die Lösungen der Gleichung $x^{2}+px+q=0$ gilt

$x_{1}=-{\frac {p}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}$ und $x_{2}=-{\frac {p}{2}}-{\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}.$

Addieren der beiden Gleichungen ergibt:

$x_{1}+x_{2}=-{\frac {p}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}+\left(-{\frac {p}{2}}-{\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}\right)=-p$,

Multiplizieren ergibt nach der dritten binomischen Formel:

$x_{1}\cdot x_{2}=\left(-{\frac {p}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}\right)\cdot \left(-{\frac {p}{2}}-{\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}\right)=\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-\left(\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q\right)=q$.

Verallgemeinerung

Der Satz von Vieta über quadratische Gleichungen lässt sich auf Polynomgleichungen bzw. Polynome beliebigen Grades verallgemeinern. Diese Verallgemeinerung des Satzes von Vieta ist die Grundlage für das Lösen von Gleichungen höheren Grades durch Polynomdivision. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra gilt:

Jedes (normierte) Polynom $n$-ten Grades mit Koeffizienten in den komplexen Zahlen lässt sich als Produkt von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} Linearfaktoren darstellen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(x) = x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb+a_2x^2+a_1x^1+a_0 = (x-x_1)(x-x_2)\dotsm(x-x_n).}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1, x_2, \dotsc, x_n} sind die Nullstellen des Polynoms; auch wenn alle Koeffizienten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_0, a_1,\dotsc,a_{n-1}} reell sind, können die Nullstellen komplex sein. Nicht alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_i} müssen verschieden sein.

Nun ergibt sich der Satz von Vieta durch Ausmultiplizieren und Koeffizientenvergleich:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_{n-j} = (-1)^j\sigma_j,\quad j=1,\dotsc,n} ,

wobei

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_k=\sum_{1\leq i_1<i_2<\dotsb<i_k\leq n}x_{i_1}\cdots x_{i_k}}

die sogenannten Elementarsymmetrischen Polynome in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1} bis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_n} sind.

Der Aufbau der Koeffizienten für das oben gezeigte Polynom Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle P(x)} vom Grad Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} in Normalform lässt sich ganz allgemein so angeben:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{r c l} a_{n-1} &=& -( x_1 + x_2 + \dotsb + x_n)\\ a_{n-2} &=& +( x_1 \cdot x_2 + x_1 \cdot x_3 + \dotsb + x_2 \cdot x_3 + \dotsb + x_{n-1} \cdot x_n)\\ a_{n-3} &=& -( x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 + x_1 \cdot x_2 \cdot x_4 + \dotsb + x_2 \cdot x_3 \cdot x_4 + \dotsb + x_{n-2} \cdot x_{n-1} \cdot x_n )\\ & \vdots & \\ a_0 &=& (-1)^n \cdot x_1 \cdot x_2 \dotsm x_n\\ \end{array} }

Beispiel

Für ein Polynom vierten Grades

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(x) = x^4 + a_3\cdot x^3 + a_2\cdot x^2 + a_1\cdot x + a_0 = (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)(x-x_4)}

ergibt sich:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{r c l c l} -a_3 &=& \sigma_1 &=& x_1+x_2+x_3+x_4\\ a_2 &=& \sigma_2 &=& x_1x_2+x_1x_3+x_1x_4+x_2x_3+x_2x_4+x_3x_4\\ -a_1 &=& \sigma_3 &=& x_1x_2x_3+x_1x_2x_4+x_1x_3x_4+x_2x_3x_4\\ a_0 &=& \sigma_4 &=& x_1x_2x_3x_4\\ \end{array} }

Eine wichtige Anwendung des Satzes für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n=3} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n=4} ist die Rückführung der kubischen Gleichung auf eine quadratische Gleichung und der Gleichung 4. Grades auf eine kubische Gleichung, die sog. kubische Resolvente.

Allgemein gilt der Wurzelsatz von Vieta auch für Polynome mit Koeffizienten in anderen Körpern, solange diese nur algebraisch abgeschlossen sind.

Literatur

• Walter Gellert: Lexikon der Mathematik. Leipzig: Bibliographisches Institut, 1990, S. 578, 200.

Weblink

• Beweis durch direkte Rechnung (für Schüler) auf der Web-Site von Rudolf Brinkmann