Simpson-Paradoxon

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Grafische Darstellung des Simpson-Paradoxons: von den mit 1 beschrifteten Vektoren hat der rote die größere Steigung, genau wie bei den mit 2 beschrifteten. Trotzdem hat die Vektorsumme der roten Vektoren eine kleinere Steigung als die der blauen.

Das Simpson-Paradoxon (auch simpsonsches Paradoxon oder Simpson’sches Paradoxon, benannt nach Edward Hugh Simpson) ist ein Paradoxon aus der Statistik. Dabei scheint es, dass die Bewertung verschiedener Gruppen unterschiedlich ausfällt, je nachdem ob man die Ergebnisse der Gruppen kombiniert oder nicht. Dieses Phänomen tritt oft bei statistischen Auswertungen in den Sozialwissenschaften und in der Medizin auf. Das Simpson-Paradoxon ist möglich, wenn mehrere Vierfeldertafeln mit einem Chancenverhältnis kleiner (größer) als 1 zu einer Gesamttafel zusammengefasst werden, die einen Chancenquotienten größer (kleiner) als 1 aufweist.

Geschichte

Edward Hugh Simpson beschrieb das Phänomen 1951.[1] Er war aber nicht der Erste, der sich damit beschäftigte. So beschrieben bereits 1899 Karl Pearson et al.[2] und 1903 George Udny Yule[3] einen ähnlichen Sachverhalt. Die Bezeichnung Simpson-Paradoxon (englisch Simpson’s Paradox) wurde vermutlich 1972 von Colin R. Blyth eingeführt.[4]

Beispiele

Eine Prüfung

Eine Fahrschule hat zwei Prüfungstage mit folgenden Ergebnissen:

  männlich weiblich
  bestanden gesamt Durchfallquote bestanden gesamt Durchfallquote
1. Tag 1 1 0 % 7 8 12,5 %
2. Tag 2 3 33,3 % 1 2 50 %
Summe 3 4 25 % 8 10 20 %

Obwohl die Männer an beiden Tagen eine geringere Durchfallquote als die Frauen haben, haben sie im Gesamtergebnis eine höhere.

Ursache ist der Umstand, dass die Einzelergebnisse mit unterschiedlichem Gewicht in das Gesamtergebnis eingehen. Das erkennt man leicht in der zahlenmäßig zugespitzten Variante der obigen Tabelle, die nachfolgend wiedergegeben wird:

  männlich weiblich
  bestanden gesamt Durchfallquote bestanden gesamt Durchfallquote
1. Tag 1 1 0 % 999 1000 0,1 %
2. Tag 2 3 33,3 % 1 2 50 %
Summe 3 4 25 % 1000 1002 0,2 %

Diskriminierungsklage gegen die Universität Berkeley

Einer der bekanntesten Fälle des Simpson-Paradoxons zeigte sich in einer Studie zu Zulassungen zu Graduate Schools der University of California, Berkeley. Die Zahlen für Herbst 1973 zeigten, dass mehr Männer als Frauen zugelassen wurden – die Differenz war so groß, dass sie nicht mehr durch Zufall zu erklären war (Signifikanztest):

Bewerber davon zugelassen
Männer 8442 44 %
Frauen 4321 35 %

Ein Mann hat also eine 44-prozentige Chance, zum Studium zugelassen zu werden, eine Frau aber nur eine 35-prozentige.

Die Aufschlüsselung nach Fakultäten zeigte allerdings, dass Frauen nicht diskriminiert wurden. Im Gegenteil wurde eine schwache, aber statistisch signifikante, Bevorzugung der Frauen festgestellt[5]. Von 101 Departements der Universität hatten 16 nur erfolgreiche Bewerber oder nur Bewerber des einen Geschlechts. Bei den übrigen 85 Departements ergab sich dieses Bild:

  • Bei vier Departements gab es bei Männern Erfolgsquoten, die in signifikanter Weise besser waren als jene der Frauen.
  • Bei sechs Departements genossen Frauen eine signifikant bessere Erfolgsquote.

Ein Chi-Quadrat-Test zeigt eindrücklich, dass sich die Bewerbungen von Frauen und Männern von vorneherein nicht zufällig auf die 101 Departements verteilten (χ = 3091; p < 0,0001).

Dies führte zur Erklärung, dass keine Diskriminierung stattfand, sondern dass Frauen sich tendenziell dort bewarben, wo es für beide Geschlechter niedrigere Zulassungsraten gab, während Männer ihre Bewerbungen tendenziell dorthin sandten, wo es generell höhere Zulassungsraten gab. Die ursprüngliche Interpretation der Gesamterfolgsquote von 44 gegenüber 35 Prozent lässt dies außer Acht.[5]

Unentdeckte Einflussfaktoren

Liegen je nach Beurteilungsweise deutlich unterschiedliche Ergebnisse vor, kann dies auf nicht erfasste Einflussfaktoren (Störvariablen) zurückgeführt werden. Wollen Auswertende mögliche Fehlschlüsse vermeiden, müssen sie diese Einflussfaktoren finden, soweit sie vorhanden sind. Das Vorliegen eines Simpson-Paradoxons kann hier als Indikator dienen.

Eine Methode für die Suche nach weiteren Einflussfaktoren ist die getrennte Auswertung von Teilgruppen, bei denen man spezifisches Verhalten erwartet, zum Beispiel das Krankheitsstadium der Patienten. Im obigen Beispiel aus Berkeley wären dies die Teilgruppen Departements mit niedrigen Zulassungsraten und Departements mit hohen Zulassungsraten.

Literatur

  • Hans-Peter Beck-Bornholdt: Mit an Wahrscheinlichkeit grenzender Sicherheit. Logisches Denken und Zufall. Rowohlt, Reinbek bei Hamburg 2005, ISBN 3-499-61902-4.
  • Thomas R. Knapp: Instances of Simpson’s paradox. In: College Mathematics Journal. Band 16 (1985), S. 209–211, doi:10.1080/07468342.1985.11972882, JSTOR 2686573.
  • Walter Krämer: Denkste! Trugschlüsse aus der Welt der Zahlen und des Zufalls. Piper Verlag, München 2011, ISBN 978-3-492-26460-0. Kapitel 7, S. 161–186 (Die Basis-Falle und andere Trugschlüsse aus bedingten Wahrscheinlichkeiten).
  • Edward H. Simpson: The Interpretation of Interaction in Contingency Tables. In: Journal of the Royal Statistical Society. Series B. Vol. 13, No. 2, 1951, S. 238–241, doi:10.1111/j.2517-6161.1951.tb00088.x, JSTOR 2984065.
  • Clifford H. Wagner: Simpson’s Paradox in Real Life. In: The American Statistician. Vol. 36, No. 1, 1982, S. 46–48, doi:10.1080/00031305.1982.10482778, JSTOR 2684093.
  • Howard Wainer: Minority contributions to the SAT score turnaround: an example of Simpson’s paradox. In: Journal of Educational Statistics. Band 11 (1986), S. 239–244, doi:10.3102/10769986011004239, JSTOR 1164696.

Weblinks

Fußnoten und Einzelnachweise

  1. ↑ Edward Hugh Simpson: The Interpretation of Interaction in Contingency Tables. In: Journal of the Royal Statistical Society, Ser. B. Band 13, 1951, S. 238–241, doi:10.1111/j.2517-6161.1951.tb00088.x, JSTOR:2984065.
  2. ↑ Karl Pearson; Alice Lee; Leslie Bramley-Moore: Mathematical Contributions to the Theory of Evolution – VI. Genetic (Reproductive) Selection: Inheritance of Fertility in Man, and of Fecundity in Thoroughbred Race-Horses. In: Philosophical Transactions of the Royal Society, Series A. Band 192, 1899, S. 257–330, doi:10.1098/rsta.1899.0006.
  3. ↑ George Udny Yule: Notes on the Theory of Association of Attributes in Statistics. In: Biometrika. Band 2, 1903, S. 121–134, doi:10.1093/biomet/2.2.121, JSTOR:2331677.
  4. ↑ Colin R. Blyth: On Simpson’s Paradox and the Sure-Thing Principle. In: Journal of the American Statistical Association. Band 67, Nr. 338, 1972, S. 364–366, doi:10.1080/01621459.1972.10482387, JSTOR:2284382.
  5. ↑ a b P. J. Bickel; E. A. Hammel; J. W. O'Connell: Sex Bias in Graduate Admissions: Data from Berkeley. In: Science 187 (1975), Nr. 4175, S. 398–404 doi:10.1126/science.187.4175.398
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