Definitionslücke

Definitionslücke ist ein Begriff in dem mathematischen Teilgebiet der Analysis. Eine Funktion hat Definitionslücken, wenn einzelne Punkte aus ihrem Definitionsbereich ausgeschlossen sind.

Üblicherweise geht es dabei um reelle, stetige bzw. differenzierbare Funktionen. Die Definitionslücken sind die Stellen, an denen man durch null teilen müsste oder Ähnliches, beispielsweise bei gebrochenrationalen Funktionen. Die Definitionslücken einer Funktion lassen sich klassifizieren und gegebenenfalls „reparieren“, so dass die Funktion dort mit den gewünschten Eigenschaften fortgesetzt werden kann. In diesem Fall ist die Funktion stetig fortsetzbar und hat stetig hebbare Definitionslücken.

Insbesondere wenn eine Definitionslücke nicht stetig hebbar ist, zum Beispiel weil die Funktion dort gegen unendlich strebt oder sehr schnell oszilliert, wird die Lücke auch als Singularität bezeichnet, wobei der Sprachgebrauch in diesen Fällen nicht immer einheitlich ist. Oft werden Definitionslücke und Singularität als Synonyme verwendet.

Bei komplexwertigen Funktionen, die in einer Umgebung einer Definitionslücke holomorph sind, spricht man von isolierten Singularitäten. Dort ist die Klassifikation einfacher und es gelten weitreichende Aussagen, für die es keine Entsprechungen bei reellen Funktionen gibt.

Definition

Funktion mit Definitionslücke $x_{0}$

Sei $I=[a,b]\subset \mathbb {R}$ ein Intervall, $x_{0}\in \left]a,b\right[$ ein Punkt aus dem Inneren des Intervalls und $O$ eine Obermenge von $I$. Eine stetige Funktion $f\colon O\setminus \{x_{0}\}\to \mathbb {R}$, die überall auf der Obermenge $O$ außer an der Stelle $x_{0}$ definiert ist, hat in $x_{0}$ eine Definitionslücke.

Stetig hebbare Definitionslücke

Sei $x_{0}$ eine Definitionslücke der stetigen Funktion $f\colon I\setminus \{x_{0}\}\to \mathbb {R}$. Existiert eine stetige Funktion ${\tilde {f}}\colon I\to \mathbb {R}$ mit ${\tilde {f}}(x)=f(x)$ für alle $x\in I\setminus \{x_{0}\}$, dann ist ${\tilde {f}}$ eine stetige Fortsetzung von $f$. Die Definitionslücke wird dann stetig hebbar oder stetig behebbar und die Funktion $f$ stetig ergänzbar oder stetig fortsetzbar genannt.

Existiert der Grenzwert

$\lim _{x\to x_{0}}f(x)=:r\,,$

dann ist $x_{0}$ eine stetig hebbare Definitionslücke von $f$. In diesem Fall wird durch

${\tilde {f}}(x):={\begin{cases}f(x),&x\in I\setminus \{x_{0}\}\\r,&x=x_{0}\end{cases}}$

eine stetige Fortsetzung ${\tilde {f}}$ von $f$ ohne Definitionslücke definiert.

Eigenschaften stetiger Fortsetzungen

• Wenn eine stetige Fortsetzung existiert, dann ist sie eindeutig, weil der Grenzwert

${\tilde {f}}(x_{0})=\lim _{x\to x_{0} \atop x\in I}f(x)$

eindeutig ist.

• Daraus folgt das Kriterium: $f$ ist genau dann in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_0} stetig fortsetzbar, wenn der Grenzwert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle \lim_{x\to x_0}f(x)} existiert.
• Kann eine Funktion als Bruch dargestellt werden, deren Zähler- und Nennerfunktion an einer gemeinsamen Nullstelle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_0} differenzierbar sind, so gilt die Regel von de L’Hospital:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x\to x_0} \frac{u(x)}{v(x)} = \lim_{x\to x_0} \frac{u'(x)}{v'(x)} .}

• Eine allgemeinere Möglichkeit, um eine stetige Fortsetzung zu finden, bietet der Einschnürungssatz. Er gilt auch für nicht stetige Funktionen.
• Eine Fortsetzung ist zwar immer stetig, aber gegebenenfalls nicht differenzierbar. Die Betragsfunktion ist auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R \setminus \{0\}} differenzierbar aber kann auf null nicht differenzierbar fortgesetzt werden. Selbst wenn eine Fortsetzung glatt ist, muss sie nicht analytisch sein.
• Im Komplexen gelten aufgrund der Eigenschaften holomorpher Funktionen weitergehende Aussagen: Eine stetige Fortsetzung ist schon eine analytische Fortsetzung. Der Riemannsche Hebbarkeitssatz sagt aus, dass die Definitionslücke einer holomorphen Funktion schon hebbar ist, wenn die Funktion in einer passenden Umgebung der Definitionslücke beschränkt ist. Im Reellen gilt keine vergleichbare Aussage; es könnte dort auch eine nicht hebbare Sprungstelle vorliegen.

Weitere Arten von Definitionslücken

Neben den stetig hebbaren Definitionslücken gibt es noch verschiedene Arten von Sprungstellen sowie Polstellen und wesentliche Singularitäten. Funktionen mit solchen Definitionslücken können nicht stetig fortgesetzt werden.

Beispiele

• Die Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=\tfrac{1}{x}} ist in ihrem gesamten Definitionsbereich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D= \mathbb{R}\setminus \{0\} } stetig, hat aber an der Stelle 0 eine Definitionslücke. Dies ist eine Polstelle.
• Gegeben sei

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\colon \mathbb{R}_{\geq 0} \setminus \{1\} \to \mathbb{R},\, x \mapsto \frac{\sqrt{x}-1} {x-1}\,. }

Die Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f } ist in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_0=1} stetig fortsetzbar, denn für den Grenzwert gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x}-1} {x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt x-1}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt x-1)} = \lim_{x \to 1} \frac {1}{\sqrt{x}+1}=\frac 12 }

und somit lautet die Fortsetzung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tilde{f} \colon \mathbb{R}_{\geq 0} \to \mathbb{R},\, x \mapsto \begin{cases} \frac {\sqrt{x}-1}{x-1} & ,x \neq 1 \\ \frac12 &, x=1\,. \end{cases}} .

An diesem Beispiel kann man noch bemerken, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tilde{f}} auch ohne Fallunterscheidung geschrieben werden kann, es gilt nämlich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tilde{f}(x) = \tfrac {1}{\sqrt{x}+1}} für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x\ge 0} .

• In anderen Fällen kann es sein, dass die Fallunterscheidung unumgänglich ist. So hat etwa

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g\colon \mathbb{R}\setminus\{0\}\to \mathbb{R},\, x\mapsto x\cdot\sin(\tfrac 1x) }

die stetige Fortsetzung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tilde{g} \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R},\, x \mapsto \begin{cases} x\cdot\sin(\tfrac 1x) & ,x \neq 0 \\ 0 &, x=0 \end{cases}} .

Gebrochenrationale Funktionen

Eine gebrochenrationale Funktion ist der Quotient

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = \frac{u(x)}{v(x)} }

aus zwei ganzrationalen Funktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v} .

Eine gebrochenrationale Funktion hat genau dann eine Definitionslücke, wenn die rationale Funktion im Nenner eine Nullstelle hat. Funktionen dieser speziellen Klasse können als Definitionslücken nur Polstellen oder stetig hebbare Definitionslücken aufweisen.

Die Definitionslücke kann nur dann stetig hebbar sein, wenn die ganzrationalen Funktionen im Nenner und Zähler an derselben Stelle eine Nullstelle haben. Für die ganzrationalen Funktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v } ist das Verhalten an den Nullstellen bekannt:

Die Nullstellen der Zähler- und Nennerfunktionen lassen sich ausfaktorisieren. Wenn also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u(x) } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v(x) } an der Stelle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_0 } eine Nullstelle haben, so ist immer

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u(x) = ( x - x_0 )^{N_u} \; s(x) }

und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v(x) = ( x - x_0 )^{N_v} \; t(x) }

wobei

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s(x_0) \ne 0 \land t(x_0) \ne 0 } .

Die natürlichen Zahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N_u } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N_v } bezeichnet man auch als die Ordnung (oder Vielfachheit) der jeweiligen Nullstelle.

Offensichtlich kann man die gemeinsamen Faktoren der Nullstellen (zumindest für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \ne x_0} ) kürzen. Das Ergebnis der Kürzung ist der einzige Kandidat für eine stetige Fortsetzung nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_0} .

• Wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N_u > N_v > 0 } , dann liegt eine stetig behebbare Definitionslücke vor, wobei der Grenzwert durch 0 gegeben ist.
• Wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N_u = N_v > 0 } , dann liegt eine stetig behebbare Definitionslücke vor, wobei der Grenzwert durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s(x_0) / t(x_0) } gegeben ist.
• Wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N_u < N_v } , dann liegt eine Polstelle vor.

Beispiel

Die Funktion

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = \frac{x^3+4x^2+5x+2}{x^3+x^2-x-1} = \frac{(x+1)^2(x+2)}{(x+1)^2(x-1)}}

hat für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = -1} eine Lücke, die sich durch Kürzen mit dem Wert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x+1)^2} beheben lässt, wodurch sich die Funktion

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tilde f (x) = \frac{x+2}{x-1}}

als auch bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=-1} stetige Fortsetzung ergibt. Es ist wohlgemerkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tilde f} ebenso wie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = +1} undefiniert, dort liegt eine Polstelle vor.

Ein Beispiel, um die Unterscheidung zwischen einer Polstelle und einer behebbaren Definitionslücke zu veranschaulichen. Die Funktion

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = \frac{x-1}{x^2-2x +1} = \frac{(x-1)}{(x-1)^2}}

hat für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = +1} eine Definitionslücke, die durch Kürzen mit dem Wert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x-1)} auf die Funktion

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tilde f (x) = \frac{1}{x-1}} führt.

Da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tilde f} ebenso wie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = +1} undefiniert ist, wurde die Lücke durch das Kürzen nicht behoben. Daher liegt bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = +1} eine Polstelle und keine behebbare Definitionslücke vor.

Siehe auch

• Unstetigkeitsstelle