Totalbeschränktheit

Der Begriff der Totalbeschränktheit (oder Präkompaktheit) benennt eine bestimmte Beschränktheitseigenschaft eines metrischen Raums. Man kann zeigen, dass ein metrischer Raum genau dann kompakt ist, wenn er vollständig und totalbeschränkt ist.

Definition

Eine Teilmenge $A$ eines metrischen Raumes $\left(M,d\right)$ heißt totalbeschränkt (oder auch präkompakt), wenn es zu jedem $\varepsilon >0$ eine endliche Menge von Punkten $x_{1},\ldots ,x_{n}\in A$ (ein $\varepsilon$-Netz) gibt, so dass

$A\subseteq \bigcup _{k=1}^{n}\{x\in M:d(x,x_{k})<\varepsilon \}$

gilt. Das heißt, die Teilmenge $A$ wird für jedes $\varepsilon >0$ von endlich vielen $\varepsilon$-Kugeln überdeckt.

Äquivalente Definition

Es lässt sich zeigen, dass ein metrischer Raum genau dann totalbeschränkt ist, wenn jede Folge eine Teilfolge besitzt, die eine Cauchy-Folge ist.

Eigenschaften

Obwohl die beiden Begriffe unabhängig voneinander in verschiedenen Kontexten entwickelt wurden, gilt die Äquivalenz:

Eine Teilmenge eines vollständigen metrischen Raumes ist genau dann totalbeschränkt, wenn sie relativ kompakt ist.

Die Motivation zur eigenständigen Betrachtung der Totalbeschränktheit liegt in der folgenden Aussage:

Ein metrischer Raum ist genau dann kompakt, wenn er vollständig und totalbeschränkt ist.

Dies ist in gewisser Weise eine Verallgemeinerung des Satzes von Heine-Borel, der aussagt, dass eine Teilmenge des $\mathbb {R} ^{n}$ genau dann kompakt ist, wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist.

Verallgemeinerung auf uniforme Räume

Wie viele andere Begriffe aus der Theorie metrischer Räume lässt sich auch der Begriff totalbeschränkt bzw. präkompakt verallgemeinern auf die Klasse der uniformen Räume:

Eine Teilmenge $A$ eines uniformen Raumes $\left(X,\Phi \right)$ heißt präkompakt, wenn es zu jedem $U\in \Phi$ eine endliche Menge von Punkten $x_{1},\ldots ,x_{n}$ gibt, so dass

$A\subseteq \bigcup _{k=1}^{n}\{x\in X\colon (x,x_{k})\in U\}$ gilt.

Äquivalent ist, dass jedes Netz ein Cauchy-Teilnetz besitzt.

Eine weitere Verallgemeinerung auf beliebige topologische Räume ist allerdings nicht möglich. Totalbeschränktheit bzw. Präkompaktheit ist keine topologische Eigenschaft, etwa ist das Intervall $(0,1)$ zwar homöomorph zu $\mathbb {R}$, als metrischer Raum aufgefasst jedoch im Gegensatz zu letzterem präkompakt.

Literatur

• A. V. Arkhangel'skii: Totally-bounded space. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).