Universeller Koeffizientensatz

Das universelle Koeffiziententheorem ist eine Aussage eher technischen Charakters aus dem mathematischen Teilgebiet der algebraischen Topologie. Es erlaubt, die Homologie bzw. Kohomologie eines Raumes mit Koeffizienten in einer beliebigen abelschen Gruppe aus der Homologie bzw. Kohomologie mit Koeffizienten in den ganzen Zahlen auszurechnen.

Homologische Fassung

Es seien $X$ ein topologischer Raum, $A$ eine abelsche Gruppe und $n$ eine natürliche Zahl. Dann gibt es eine natürliche kurze exakte Folge

$0\to H_{n}(X)\otimes A\to H_{n}(X;A)\to \operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(H_{n-1}(X),A)\to 0.$

Dabei steht $H_{n}(X)$ abkürzend für $H_{n}(X;\mathbb {Z} )$, und Tor ist das Torsionsprodukt.

Die Folge spaltet, aber nicht natürlich.

Kohomologische Fassung

Es seien $X$ ein topologischer Raum, $A$ eine abelsche Gruppe und $n$ eine natürliche Zahl. Dann gibt es eine natürliche kurze exakte Folge

$0\to \operatorname {Ext} _{\mathbb {Z} }^{1}(H_{n-1}(X),A)\to H^{n}(X;A)\to \operatorname {Hom} (H_{n}(X),A)\to 0.$

Dabei steht wieder $H_{n}(X)$ abkürzend für $H_{n}(X;\mathbb {Z} )$, und Ext ist der abgeleitete Funktor Ext. Der Homomorphismus $H^{n}(X;A)\to \operatorname {Hom} (H_{n}(X),A)$ wird durch die Kronecker-Paarung definiert.

Im Unterschied zur homologischen Fassung ist diese Aussage selbst für $A=\mathbb {Z}$ nicht trivial.

Wie oben spaltet die Folge, aber nicht natürlich.

Anwendungsbeispiele

• Zusammen mit der Aussage $H_{1}(X)=\pi _{1}(X)^{\mathrm {ab} }$ folgt

$H^{1}(X;\mathbb {R} )=\operatorname {Hom} (\pi _{1}(X),\mathbb {R} ).$

• Die reelle projektive Ebene $X=\mathbb {R} P^{2}$ hat die 2-Sphäre als zweiblättrige, universelle Überlagerung, also gilt $H_{1}(X)=\pi _{1}(X)=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$, somit besitzt $H^{2}(X;A)$ eine zu

$\operatorname {Ext} ^{1}(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,A)=A/2A$

isomorphe Untergruppe.

Verallgemeinerungen

• Es gibt vollkommen analoge Aussagen für beliebige flache (für Homologie) bzw. freie (für Kohomologie) Kettenkomplexe über einem beliebigen Hauptidealring $R$ und $R$-Moduln.
• Der Satz von Künneth enthält das universelle Koeffiziententheorem als Spezialfall.

Quellen

• J. P. May, A Concise Course in Algebraic Topology. University of Chicago Press, Chicago 1999. ISBN 0-226-51183-9, Kapitel 17.