Fuzzy-Menge

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Eine Fuzzy-Menge (auch unscharfe Menge, englisch fuzzy set) ist eine Menge, deren Elemente nicht notwendig mit Gewissheit, sondern nur graduell zur Menge gehören.

So werden z. B. die „Menge der Besserverdienenden in Deutschland“, die „Menge der jungen Leute in Berlin“ oder die „Menge der reifen Äpfel auf einem Baum“ besser durch eine Fuzzy-Menge beschrieben als durch eine (scharfe) Menge mit klassischer Ja-Nein-Zugehörigkeit der Elemente.

Der Begriff Fuzzy-Menge wurde 1965 durch Lotfi Zadeh (1921–2017) geprägt,[1] hat aber gedankliche Vorläufer bis hinein in die Antike (z. B. das Sorites-Problem), aber auch in der mehrwertigen Logik. Fuzzy-Mengen sind Grundelemente der Fuzzylogik und der Fuzzy-Regler und dort in teils spezieller Terminologie eingeführt worden.

Definitionen

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U} eine Menge. Sie ist die Grundmenge (auch: Universum), auf der die Untersuchungen durchgeführt werden. Ein klassisches Beispiel für ein Universum bildet die Menge der reellen Zahlen. Während eine klassische (scharfe) Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A\subset U} durch ihre Indikatorfunktion beschrieben wird, ist eine Fuzzy-Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U} durch ihre sogenannte Zugehörigkeitsfunktion (engl. membership function) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m_A} charakterisiert:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m_A \quad |\quad U \to [0,1] } .

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle m_{A}(x),x\in U} , liegt also zwischen 0 und 1 und wird interpretiert als Grad der Akzeptanz (Möglichkeit oder Wahrheit), dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} gehört. Eine wichtige Rolle spielen die sogenannten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha } -Schnitte, (engl. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha } -cuts)

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_\alpha = \{x \in U:m_A (x)\ge \alpha \} \quad \alpha \in (0,1]} ,

d. h. die scharfen Mengen aller Elemente, die eine Mindestzugehörigkeit von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha} zu von haben.

Operationen mit Fuzzy-Mengen

Der Durchschnitt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A\cap B} und die Vereinigung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A\cup B} zweier Fuzzy-Mengen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A,B \subset U} ist in der Regel definiert durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m_{A\cap B} (x)=\min[m_A(x),m_B(x)],\quad x \in U } ,
Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle m_{A\cup B}(x)=\max[m_{A}(x),m_{B}(x)],\quad x\in U} .

Anstelle von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \min} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \max} können jedoch auch andere T-Normen bzw. T-Conormen verwendet werden, siehe z. B.[2] Die Komplementbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \bar A } zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} geschieht meistens gemäß

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle m_{\bar {A}}(x)=1-m_{A}(x),\quad x\in U} ,

kann aber auch anders gestaltet werden, z. B. durch das sogenannte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda} -Komplement, das auf Sugeno zurückgeht.[3] Im Gegensatz zu scharfen Mengen sind hier Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \bar A} nicht notwendig disjunkt und geben vereinigt auch nicht notwendig das Universum, d. h.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A\cap \bar A \neq \empty \quad , \quad A\cup \bar A \neq U } ,

bei Fuzzy-Mengen gilt also nicht der Satz vom ausgeschlossenen Dritten.

Fuzzy-Zahlen

Fuzzy-Zahlen sind spezielle Fuzzy-Mengen. Das Universum ist die Menge der reellen Zahlen. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} heißt Fuzzy-Zahl, wenn es genau ein Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a \in \R} gibt, wo die Zugehörigkeitsfunktion den Wert 1 annimmt, d. h.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \exists a \in \R:m_A(a)=1 \quad \forall x \neq a:m_A(x)<1} .

Dann kann Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} als die Fuzzy-Menge interpretiert werden, die den Ausdruck „ungefähr Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} “ beschreibt. Wenn z. B. die Raumtemperatur „ungefähr 20 Grad Celsius“ beträgt, könnte man die Menge der möglichen Raumtemperaturen durch eine Fuzzy-Zahl modellieren, deren Zugehörigkeitsfunktion bei 20 Grad Celsius eins ist und die links bzw. rechts davon auf null abfällt. Die einfachste Form einer Fuzzy-Zahl ist die Dreiecks-Fuzzy-Zahl Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle (a,\Delta )} , deren Zugehörigkeitsfunktion optisch wie ein gleichseitiges Dreieck mit der Spitze bei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=a} aussieht, d. h.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m_A(x)=\max \left\{(1-\frac{|x-a|}\Delta ),0 \right\}} .

Dabei ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta} der sogenannte Spreizungsparameter, d. h. ist nur innerhalb des Intervalles Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a- \Delta,a+ \Delta)} größer als null. Bei einem Fuzzy-Regler werden die nötigen Fuzzy-Mengen meistens durch Dreiecks-Fuzzy-Zahlen modelliert.

Addition von Fuzzy-Zahlen

Anschaulich sollte „ungefähr 3“ plus „ungefähr 4“ gleich „ungefähr 7“ sein, aber es stellt sich die Frage, was genau man darunter verstehen soll. Mit Hilfe des recht allgemeinen Erweiterungsprinzips (siehe z. B.[4]) erhält man die Summe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A\oplus B} zweier Fuzzy-Zahlen durch

.

Für scharfe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} und reduziert sich diese Formel auf die Minkowski-Addition. Für zwei Dreiecks-Fuzzy-Zahlen ergibt sich z. B. ganz einfach

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (a,\Delta_1)\oplus (b,\Delta_2)=(a+b,\Delta_1 +\Delta_2)} .

Weiteres

  • Außer der Addition können weitere algebraische Operationen für Fuzzy-Zahlen wie Subtraktion, Multiplikation, Division u. a. eingeführt werden, siehe z. B.[5]
  • Eine wichtige Verallgemeinerung von Fuzzy-Mengen sind Intuitionistische Fuzzymengen.
  • Sogenannte probabilistische Fuzzy-Mengen sind Fuzzy-Mengen, wo die Zugehörigkeitswerte Zufallsgrößen sind, siehe[6]
  • Bei sogenannten Typ-2-Fuzzy-Mengen sind die Zugehörigkeitswerte keine reellen Zahlen zwischen Null und Eins, sondern selbst unscharfe Werte wie z. B. „hoch“ oder „niedrig“, siehe z. B.[7]
  • siehe auch Zufällige Fuzzymenge, Fuzzy-Zufallsvariable, Erweiterungsprinzip

Literatur

  • D. Dubois, H. Prade: Fuzzy Sets and Systems. Academic Press, New York 1980.
  • G. J. Klir, Bo Yuan: Fuzzy sets and fuzzy logic: theory and applications. Prentice Hall, 1995.
  • H.-J. Zimmermann: Fuzzy set theory – and its applications. 4th ed. Kluwer, 2001.
  • H. Bandemer, S.Gottwald: Fuzzy sets, fuzzy logic, fuzzy methods: With applications. Wiley, Chichester 1995.

Einzelnachweise

  1. ↑ L.A.Zadeh: Fuzzy sets. In: Information and Control, 8, 1965, S. 338–353, doi:10.1016/S0019-9958(65)90241-X
  2. ↑ E. P. Klement, R. Mesiar, E. Pap: Triangular Norms. Kluwer Dordrecht 2000.
  3. ↑ M. Sugeno: Theory of fuzzy integrals and its applications. Ph.D. thesis. Tokyo Institute of Technology, Tokyo 1974.
  4. ↑ H. Bandemer, S. Gottwald: Einführung in Fuzzy-Methoden. 4. überarbeitete und erweiterte Auflage. Akademieverlag, Berlin 1993
  5. ↑ D. Dubois, H. Prade: Fuzzy Sets and Systems. Academic Press, New York 1980
  6. ↑ K. Hirota: Concepts of probabilistic sets. In: Fuzzy Sets and Systems, 5, 1981, S. 31–46
  7. ↑ M. Mizumoto, K. Tanaka: Some properties of fuzzy sets of type-2. In: Information and Control, 30, 1976, S. 312–340
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