Hyperelliptische Involution

In der Mathematik ist die hyperelliptische Involution eine in der Funktionentheorie vorkommende Abbildung.

Definition

Sei $S$ eine Riemannsche Fläche vom Geschlecht $g$. Eine hyperelliptische Involution ist eine holomorphe Abbildung

$f\colon S\to S$

mit $2g+2$ Fixpunkten, so dass $f\circ f=id_{S}$ gilt.

Existiert eine hyperelliptische Involution auf $S$, so heißt $S$ eine hyperelliptische Fläche. Die Fixpunkte von $f$ heißen dann Weierstraß-Punkte von $S$.

Eigenschaften hyperelliptischer Involutionen

Wenn $S$ eine hyperelliptische Fläche vom Geschlecht $g\geq 2$ ist, dann gibt es genau eine hyperelliptische Involution auf $S$.

Die hyperelliptische Involution kommutiert mit allen anderen konformen Homöomorphismen von $S$ auf sich. Sie liegt also im Zentrum der Automorphismengruppe der Riemannschen Fläche, ihre Isotopieklasse liegt im Zentrum der Abbildungsklassengruppe von $S$.

Eigenschaften hyperelliptischer Flächen

→ Hauptartikel: Hyperelliptische Kurve

Eine hyperelliptische Fläche wird in der affinen Karte $\mathbb {C} ^{2}\subset \mathbb {C} P^{2}$ durch eine Gleichung

$w^{2}=f(z)$

mit einem Polynom $f$ ohne mehrfache Nullstellen beschrieben. Dazu kommen ein oder zwei Punkte im Unendlichen, je nachdem ob der $grad(f)=2g+1$ oder $deg(f)=2g+2$ ist. Die hyperelliptische Involution wird in der affinen Karte durch $f(z,w)=(z,-w)$. Die Weierstraß-Punkte sind von der Form $(z,0)$, wobei $z$ eine Nullstelle von $f$ ist, sowie im Fall $deg(f)=2g+1$ noch der Punkt im Unendlichen.

Durch $P(z,w)=z$ und Abbildung der Punkte im Unendlichen auf $\infty$ wird eine verzweigte 2-fache Überlagerung

$P\colon S\to \mathbb {C} P^{1}$

definiert.

Literatur

• Hershel M. Farkas and Irwin Kra: Riemann Surfaces. Springer, New York 1980, ISBN 0-387-90465-4
• Mikhail G. Katz: Systolic Geometry and Topology. Amer. Math. Soc. 2007, ISBN 9780821841778