Fouriertransformation für zeitdiskrete Signale

Die Fouriertransformation für zeitdiskrete Signale, auch als englisch discrete-time Fourier transform, abgekürzt DTFT bezeichnet, ist eine lineare Transformation aus dem Bereich der Fourier-Analysis. Sie bildet ein unendliches, zeitdiskretes Signal auf ein kontinuierliches, periodisches Frequenzspektrum ab, welches auch als Bildbereich bezeichnet wird. Die DTFT ist mit der Diskreten Fourier-Transformation (DFT) verwandt, welche mit diskreten Zeitsignalen und diskreten Spektren arbeitet. Die DTFT unterscheidet sich von der DFT darin, dass sie ein kontinuierliches Spektrum bildet, welches sich, unter Umständen, als abschnittsweise geschlossener mathematischer Ausdruck angeben lässt. Wie auch die DFT bildet die DTFT im Bildbereich ein periodisch fortgesetztes Frequenzspektrum, welches als Spiegelspektrum bezeichnet wird.

Im Gegensatz zur DFT besitzt die DTFT nur eine geringe Bedeutung in praktischen Anwendungen wie der digitalen Signalverarbeitung, primärer Anwendungsbereich liegt bei der theoretischen Signalanalyse.

Definition

Das Spektrum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X(\omega)} eines abgetasteten (diskreten) Zeitsignals, repräsentiert als eine Folge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x[n]} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n \in \mathbb{Z}} und der Abtastzeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t_A = 1/f_A} , ist:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X(\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \, e^{-\mathrm{j} \omega n t_A} = \mathrm{DTFT} \{x[n]\}}

mit der imaginären Einheit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{j}} und der Kreisfrequenz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega} . Die inverse Fouriertransformation für zeitdiskrete Signale über das Basisband ohne periodische Spektralanteile ist gegeben als:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x[n] = \frac{1}{\omega_A} \int_{-\omega_A/2}^{\omega_A/2} X(\omega)\cdot e^{\mathrm{j} \omega n t_A} \, \mathrm{d} \omega = t_A \int_{-f_A/2}^{f_A/2} X(2 \pi f)\cdot e^{\mathrm{j} 2 \pi f n t_A} \, \mathrm{d} f = \mathrm{DTFT}^{-1} \{ X(\omega) \}}

Um die Abhängigkeit von der Abtastzeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t_A} in den Ausdrücken zu vermeiden, wird das Spektrum auf die Abtastfrequenz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_A} normiert und mit der so normierten Kreisfrequenz

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega = \omega \cdot t_A}

lautet die DTFT:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X(\Omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \, e^{-\mathrm{j} \Omega n}}

und die inverse DTFT:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x[n] = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^{\pi} X(\Omega)\cdot e^{\mathrm{j} \Omega n} \, \mathrm{d} \Omega}

Eigenschaft

Einige wichtige Eigenschaften der Fouriertransformation für zeitdiskrete Signale sind im Folgenden dargestellt.

Versatz

Die im Zeitbereich verschobene Folge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x[n-n_0]} entspricht einer Phasendrehung (Modulation) im Spektralbereich:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{DTFT} \{x[n-n_0] \} = e^{-\mathrm{j} \Omega n_0} X[\Omega] \,}

Beweis:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{DTFT} \{x[n-n_0] \} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n-n_0] \, e^{-\mathrm{j} \Omega n} \, , \, mit: \, m=n-n_0 \leftrightarrow n = m+n_0}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \rightarrow \sum_{m=-\infty}^{\infty} x[m] \, e^{-\mathrm{j} \Omega [m+n_0]} & = \sum_{m=-\infty}^{\infty} x[m] \, e^{-\mathrm{j} \Omega m} \cdot e^{-\mathrm{j} \Omega n_0} = e^{-\mathrm{j} \Omega n_0} \cdot \sum_{m=-\infty}^{\infty} x[m] \, e^{-\mathrm{j} \Omega m} \\ & = e^{-\mathrm{j} \Omega n_0} \cdot \mathrm{DTFT} \{x[n] \} = e^{-\mathrm{j} \Omega n_0} X[\Omega] \\ \end{align}}

Analog dazu entspricht ein im Frequenzbereich verschobenes Spektrum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y[\Omega - \Omega_0]} einer Phasendrehung im Zeitbereich:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{DTFT} \{x[n] e^{\mathrm{j} \Omega_0 n} \} = X[\Omega - \Omega_0] \,}

Faltungseigenschaft

Die DTFT eines Produktes zweier Wertefolgen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x[n]} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y[n]} entspricht der Faltung der Spektren:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{DTFT} \{x[n] \cdot y[n]\} = \frac{1}{2 \pi} X[\Omega] * Y[\Omega] \,}

Umgekehrt entspricht der Faltung im Zeitbereich die Multiplikation im Bildbereich:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{DTFT} \{x[n] * y[n]\} = X[\Omega] \cdot Y[\Omega] \,}

Literatur

• Otto Föllinger: Laplace-, Fourier- und z-Transformation. 10. Auflage. VDE-Verlag, 2011, ISBN 978-3-8007-3257-9. 
• Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer: Zeitdiskrete Signalverarbeitung. 3. Auflage. Oldenbourg Verlag, 1999, ISBN 3-486-24145-1.