Satz von Moivre-Laplace

Mit wachsender Zahl von Punkten nähert sich die diskrete Binomialverteilung der kontinuierlichen Normalverteilung an.

Der Satz von Moivre-Laplace, auch Satz von de Moivre-Laplace oder zentraler Grenzwertsatz von de Moivre-Laplace genannt, ist ein Satz aus der Wahrscheinlichkeitstheorie. Nach diesem Satz konvergiert die Binomialverteilung für $n\rightarrow \infty$ und Wahrscheinlichkeiten $0<p<1$ gegen die Normalverteilung. Bei großem Stichprobenumfang kann daher die Normalverteilung als Näherung der Binomialverteilung verwendet werden, was insbesondere bei der Normal-Approximation und bei Hypothesentests Anwendung findet. Für $p={\tfrac {1}{2}}$ kann diese Approximation durch das Galtonbrett experimentell veranschaulicht werden.

Beim Satz von Moivre-Laplace handelt es sich aus historischer Sicht um den ersten zentralen Grenzwertsatz. Im Jahre 1730 zeigte Abraham de Moivre die Aussage für $p={\tfrac {1}{2}}$ und im Jahre 1812 wurde von Pierre-Simon Laplace der allgemeine Fall gezeigt.

Aussage

Sei $X_{1},X_{2},X_{3},\cdots$ eine Folge unabhängiger bernoulli-verteilter Zufallsvariablen mit den Parametern $p\in (0,1)$ und $\sigma ^{2}=np(1-p)$. Dann ist die Summe $S_{n}=\sum _{i=1}^{n}X_{i}$ binomialverteilt mit Parametern $n\in \mathbb {N}$, $p\in (0,1)$ und es gilt:

(1) $\quad \operatorname {P} \left(S_{n}=k\right)\;=\;B(k\mid p,n)\;\approx \;{\frac {1}{\sqrt {2\pi n\sigma ^{2}}}}\,\exp \left(-{\frac {n}{2\sigma ^{2}}}\left({\frac {k}{n}}-p\right)^{2}\right)$

(2) $\quad \lim _{n\to \infty }\operatorname {P} \left(x_{1}\leq {\frac {S_{n}-np}{\sqrt {n}}}\leq x_{2}\right)\;={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\int _{x_{1}}^{x_{2}}\exp \left(-{x^{2} \over 2\sigma ^{2}}\right)\mathrm {d} x$ für alle $x_{1},x_{2}\in \mathbb {R}$ mit $x_{1}<x_{2}$.

Der Satz von Moivre-Laplace besagt, dass die Verteilung der Zufallsvariablen $\textstyle {\frac {S_{n}-np}{\sqrt {n}}}$ für $n\to \infty$ schwach gegen die Normalverteilung ${\mathcal {N}}\left(0,\sigma ^{2}\right)$ mit der Varianz $\sigma ^{2}=p(1-p)$ konvergiert.

Anwendungen

Der Satz von Moivre-Laplace ist die theoretische Grundlage der Normal-Approximation, einer Methode, mit der die Binomialverteilung angenähert werden kann.

Dabei formuliert man die obige Aussage durch eine Substitution um und erhält mit der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung $\Phi$

$\lim _{n\to \infty }\left|\operatorname {P} (S_{n}\leq t)-\Phi \left({\frac {t-np}{\sqrt {np(1-p)}}}\right)\right|=0$

für alle $t\in \mathbb {R}$.

Damit kann der Wert der binomialverteilten Zufallsvariable $S_{n}$ über die Werte der Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung angenähert werden. Diese entnimmt man üblicherweise der Tabelle der Standardnormalverteilung.

Der Satz von Moivre-Laplace liefert ausreichend gute Näherungen, wenn $n$ und $p$ die folgende Bedingung erfüllen:

$np(1-p)>9$

Bei der Normal-Approximation wird zur Verringerung des Näherungsfehlers noch zusätzlich eine sogenannte Stetigkeitskorrektur eingeführt, die aus dem Einführen von Korrekturtermen $\pm {\tfrac {1}{2}}$ besteht und den Übergang von einer diskreten zu einer stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilung kompensieren soll.

Beispiel

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Plot der Dichte der Normalverteilung mit μ = 12 und σ = 3 und der Binomialverteilung mit n = 48 und p = 1/4

Zur Veranschaulichung der Bedeutung der Fehlerkorrektur werden nachfolgende Rechnungen durchgeführt.

Gegeben sei eine Binomialverteilung mit $n=48$ und $p={\tfrac {1}{4}}$, damit gilt folglich $np(1-p)=9$. Wir vergleichen mit einer Normalverteilung mit Mittelwert $\mu =np=12$ und einer Varianz $\sigma ^{2}=np(1-p)=9$.

Nun suchen wir die Antwort auf die Frage „Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Werte kleiner oder gleich $\mu -3\sigma =3$ sind“. Die Berechnungen bzw. Abschätzungen ergeben folgende Resultate:

• Binomialverteilung

$P(0\leq X\leq 3)=\sum _{k=0}^{3}{\binom {48}{k}}\cdot {\bigg (}{\frac {1}{4}}{\bigg )}^{k}\cdot {\bigg (}{\frac {3}{4}}{\bigg )}^{48-k}=0.0007883$

[Ergebnis mittels wolframalpha erhalten]

• Normalverteilung mit Stetigkeitskorrektur

${\begin{aligned}P(0\leq X\leq 3)&\approx \Phi \left({\tfrac {3+0{,}5-12}{3}}\right)-\Phi \left({\tfrac {0-0{,}5-12}{3}}\right)=\Phi \left(-2{,}83\right)-\Phi \left(-4{,}17\right)\\&=1-\Phi \left(2{,}83\right)-1+\Phi \left(4{,}17\right)\approx -0{,}99767+1=0{,}00233\end{aligned}}$

Bei dieser Rechnung ist zu beachten, dass aus Gründen der Symmetrie $\Phi (-x)=1-\Phi (x)$ gilt und $\Phi (x)\approx 1$ für $x>4{,}09$ ist.

• Normalverteilung ohne Stetigkeitskorrektur

${\begin{aligned}P(0\leq X\leq 3)&\approx \Phi \left({\tfrac {3-12}{3}}\right)-\Phi \left({\tfrac {0-12}{3}}\right)=\Phi \left(-3\right)-\Phi \left(-4\right)\\&=1-\Phi \left(3\right)-1+\Phi \left(4\right)=-0{,}99865+0{,}99997=0{,}00132\end{aligned}}$

Insgesamt kann aus den Werten der „Berechnungen“ erschlossen werden, dass mit Hilfe der Stetigkeitskorrektur ein bessere Übereinstimmung mit dem Wert der Binomialverteilung erzielt wird. Da die Näherung durch eine Normalverteilung erst für $\sigma ^{2}>9$ annehmbar wird, fällt in diesem Beispiel eine starke Diskrepanz auf.

Siehe auch

• Zentraler Grenzwertsatz

Literatur

• Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger: Eine Einführung in die faszinierende Welt des Zufalls. 10. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-03076-6, doi:10.1007/978-3-658-03077-3, S. 221 ff.
• Ulrich Krengel: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 7. Auflage. Vieweg-Verlag, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-67259-5, doi:10.1007/978-3-322-93581-6, S. 80–83

Weblinks

Wikibooks: Beweis des Satzes von Moivre-Laplace

• Binomial- und Normalverteilung – Online-Lehrgang mit dynamischen Arbeitsblättern (Java-Plugin benötigt)