Zerschmetterte Menge

Eine Zerschmetterte Menge (englisch: shattered set) ist in der Mathematik ein Konzept aus den Bereichen Maschinenlernen, Datenanalyse und Mengenlehre.

Der Begriff wurde von J. Michael Steele 1975 in seiner Dissertation eingeführt. Es wird unter anderem in der Vapnik-Chernovensky (VC) Theorie des Maschinenlernens verwendet.

Definition

Sei $(X,{\mathcal {F}})$ ein Mengensystem und $A\subseteq X$. $A$ wird ${\mathcal {F}}$-zerschmettert genau dann, wenn $\{F\cap A|F\in {\mathcal {F}}\}={\mathcal {P}}(A)$ mit ${\mathcal {P}}(A)$ der Potenzmenge von A, d. h. genau dann, wenn man jede beliebige Teilmenge von $A$ durch Schnitt eines Elements von ${\mathcal {F}}$ mit $A$ erzeugen kann.

Beispiel

Sei $X:=\mathbb {R} ^{2}$, ${\mathcal {F}}:=\{{\text{alle abgeschlossenen Halbebenen im }}\mathbb {R} ^{2}\}$. Ist jetzt $A=\{{\text{drei Punkte im }}\mathbb {R} ^{2},{\text{ die nicht auf einer Gerade liegen}}\}$, so wird $A$ von ${\mathcal {F}}$ zerschmettert, da man jede der Teilmengen der drei Punkte mittels einer abgeschlossenen Halbebene separieren kann.

Liegen die Punkte dagegen alle auf einer Geraden, so kann der mittlere Punkt nicht von den anderen beiden separiert werden und somit wird $A$ nicht von ${\mathcal {F}}$ zerschmettert. Weiterhin können keine 4 Punkte in der Ebene durch abgeschlossene Halbebenen zerschmettert werden.

Beim Maschinenlernen ist A meist eine Menge möglicher Ergebnisse entsprechend einer bestimmten Verteilung und ${\mathcal {F}}$ stellt eine Menge von bekannten Regeln dar. A wird dann ${\mathcal {F}}$ zerschmettert falls grob gesprochen alle Ergebnisse der Verteilung sich aus der Kenntnis der Regeln ergeben.

Weblinks

• Christopher Stover: Shattered Set. In: MathWorld (englisch).