Quelltext der Seite Benutzer:Frank Thomas~dewiki/Ableitung der Maxwellgleichungen im Lagrange-Formalismus

Im folgenden Auszug werden die [[Maxwellgleichungen]] in kovarianter Form im [[Lagrange-Formalismus]] abgeleitet. Dazu wird für die homogenen und inhomogenen Maxwellgleichungen jeweils eine [[Lagrange-Dichte]] aufgestellt und mit Hilfe der [[Euler-Lagrange-Gleichung#Erweiterung_auf_Felder|Euler-Lagrange-Gleichung für Felder]] die entsprechenden Maxwellgleichungen abgeleitet. Der Hauptaugenmerk liegt dabei auf der technisch sauberen Ausführung der auftretenden Differentiationen in den Euler-Lagrange-Gleichungen im Hinblick auf die [[Indexdarstellungen der Relativitätstheorie|Indexdarstellungen in der Relativitätstheorie]].

Diese Ableitung ist möglicherweise besser im [[b:Regal:Physik|Physik-Regal der Wikibooks]] aufgehoben, aber ich habe in einigen Artikeln der deutschen und englischen Wikipedia die Ableitung der inhomogenen Maxwellgleichungen als Beispiel wie mit Lagrange-Dichten oder dem [[Elektromagnetischer Feldstärketensor|elektromagnetischen Feldstärketensor]] gerechnet werden kann gesehen. Eventuell könnten diese Artikel mit der Ableitung der homogenen Maxwellgleichungen ergänzt werden. Solange ich keinen geeigneteren Ort für diese Ableitungen finde, bleibt dieser Artikel erstmal hier.

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= Inhomogene Maxwellgleichungen =

Mit dem elektromagnetischen Feldstärketensor und der Viererstromdichte <math>j^{\mu}</math> kann die Lagrange-Dichte des freien Maxwell-Feldes geschrieben werden als
:<math>\mathcal{L} := -\frac{1}{4} F_{\mu\nu}(x) F^{\mu\nu}(x) - j_{\mu}(x) A^{\mu}(x) \ .</math>

Mit dieser Lagrange-Dichte können die inhomogenen Maxwell-Gleichungen als Euler-Lagrange-Gleichungen hergeleitet werden. Die Euler-Lagrange Gleichung für Felder ist
:<math>\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_{\nu}} - \partial_{\mu} \left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_{\mu} A_{\nu})}\right) = 0 \ .</math>

Die Ableitung nach dem Viererpotential ist
:<math>\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_{\nu}} = \frac{\partial}{\partial A_{\nu}} \left(- j_{\mu} A^{\mu} \right) = \frac{\partial}{\partial A_{\nu}} \left(- j_{\mu} g^{\mu\nu} A_{\nu} \right) = -j^{\nu} \ .</math>

Um die Ableitung nach <math>\partial_{\mu} A_{\nu}</math> auszuführen, ist es sinnvoll den ersten Teil der Lagrange-Dichte umzuschreiben in 
:<math>
\begin{align}
-\frac{1}{4} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu}
& = -\frac{1}{4} \left(\partial_{\mu} A_{\nu} - \partial_{\nu} A_{\mu}\right) \left(\partial^{\mu} A^{\nu} - \partial^{\nu} A^{\mu}\right) \\
& = -\frac{1}{4} \left(\partial_{\mu} A_{\nu} \partial^{\mu} A^{\nu} - \partial_{\mu} A_{\nu} \partial^{\nu} A^{\mu} - \partial_{\nu} A_{\mu} \partial^{\mu} A^{\nu} + \partial_{\nu} A_{\mu} \partial^{\nu} A^{\mu}\right) \\
& = -\frac{1}{2} \left(\partial_{\mu} A_{\nu} \partial^{\mu} A^{\nu} - \partial_{\mu} A_{\nu} \partial^{\nu} A^{\mu}\right) \\
& = -\frac{1}{2} \left(\partial_{\mu} A_{\nu} g^{\mu\sigma} g^{\nu\tau} \partial_{\sigma} A_{\tau} - \partial_{\mu} A_{\nu} g^{\nu\sigma} g^{\mu\tau} \partial_{\sigma} A_{\tau} \right) \ .
\end{align}
</math>

Die Ableitung kann nun direkt ausgeführt werden, wobei zu beachten ist, dass sie nur dann von Null verschieden ist, wenn die Indices <math>\sigma</math> und <math>\mu</math> bzw. <math>\tau</math> und <math>\nu</math> gleich sind.
:<math>
\begin{align}
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\partial_{\mu} A_{\nu} \right)} & = -\frac{1}{2} \left(g^{\mu\sigma} g^{\nu\tau} \partial_{\sigma} A_{\tau} + \partial_{\mu} A_{\nu} g^{\mu\sigma} g^{\nu\tau} \delta_{\sigma}^{\mu} \delta_{\tau}^{\nu} - g^{\nu\sigma} g^{\mu\tau} \partial_{\sigma} A_{\tau} - \partial_{\mu} A_{\nu} g^{\nu\sigma} g^{\mu\tau} \delta_{\sigma}^{\mu} \delta_{\tau}^{\nu} \right) \\
& = -\frac{1}{2} \left(\partial^{\mu} A^{\nu} + \partial^{\sigma} A^{\tau} \delta_{\sigma}^{\mu} \delta_{\tau}^{\nu} - \partial^{\nu} A^{\mu} - \partial^{\tau} A^{\sigma} \delta_{\sigma}^{\mu} \delta_{\tau}^{\nu} \right) \\
& = -\frac{1}{2} \left(\partial^{\mu} A^{\nu} + \partial^{\mu} A^{\nu} - \partial^{\nu} A^{\mu} - \partial^{\nu} A^{\mu} \right) \\
& = - \left(\partial^{\mu} A^{\nu} - \partial^{\nu} A^{\mu}\right) = - F^{\mu\nu}
\end{align}
</math>

Setzt man diese Ergebnisse in die Euler-Lagrange-Gleichung ein, so erhält man
:<math> -j^{\nu} + \partial_{\mu} F^{\mu\nu} = 0 \ .</math>

Mit der Definition von <math>j^{\mu}</math> und <math>F^{\mu\nu}</math> verifiziert man, dass dieser Ausdruck identisch mit den inhomogenen Maxwell-Gleichungen ist.

== Alternative Rechnung ==

Der zweite Term der Euler-Lagrange-Gleichung kann alternativ auch mit Hilfe der Kettenregel berechnet werden
:<math>
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_{\mu} A_{\nu})} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial F_{\sigma\tau}} \frac{\partial F_{\sigma\tau}}{\partial (\partial_{\mu} A_{\nu})} \ .
</math>
Dazu wird zuerst die Lagrange-Dichte nach dem Feldstärketensor und dieser dann nach <math>\partial_{\mu} A_{\nu}</math> abgeleitet
:<math>
\begin{align}
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial F_{\sigma\tau}} & = -\frac{1}{4} \frac{\partial}{\partial F_{\sigma\tau}} \left( F_{\mu\nu} g^{\mu\alpha} g^{\nu\beta} F_{\alpha\beta} \right) \\
& = -\frac{1}{4} \left( \delta_{\mu}^{\sigma} \delta_{\nu}^{\tau} g^{\mu\alpha} g^{\nu\beta} F_{\alpha\beta} + F_{\mu\nu} g^{\mu\alpha} g^{\nu\beta} \delta_{\alpha}^{\sigma} \delta_{\beta}^{\tau} \right) \\
& = -\frac{1}{4} \left( \delta_{\mu}^{\sigma} \delta_{\nu}^{\tau} F^{\mu\nu} + F^{\alpha\beta} \delta_{\alpha}^{\sigma} \delta_{\beta}^{\tau} \right) = -\frac{1}{2} F^{\sigma\tau} \ ,
\end{align}
</math>
:<math>
\begin{align}
\frac{\partial F_{\sigma\tau}}{\partial (\partial_{\mu} A_{\nu})} = \left( \delta_{\sigma}^{\mu} \delta_{\tau}^{\nu} - \delta_{\tau}^{\mu} \delta_{\sigma}^{\nu} \right) \ .
\end{align}
</math>
Nach Multiplikation der beiden Ergebnisse und unter Verwendung der Antisymmetrie des Feldstärketensors (<math>F^{\mu\nu} = -F^{\nu\mu}</math>), folgt das bereits bekannte Ergebnis
:<math>
\begin{align}
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_{\mu} A_{\nu})} &= -\frac{1}{2} F^{\sigma\tau} \left( \delta_{\sigma}^{\mu} \delta_{\tau}^{\nu} - \delta_{\tau}^{\mu} \delta_{\sigma}^{\nu} \right) = -\frac{1}{2} \left(F^{\mu\nu} - F^{\nu\mu}\right) = -F^{\mu\nu} \ .
\end{align}
</math>

= Homogene Maxwellgleichungen =

Auch die homogenen Maxwellgleichungen lassen sich über die Euler-Lagrange-Gleichung aus einer Lagrange-Dichte herleiten. Hierzu verwendet man die Lagrange-Dichte
:<math>\mathcal{L} := -\frac{1}{4} \tilde{F}_{\mu\nu}(x) F^{\mu\nu}(x) \ ,</math>
wobei der duale Feldstärketensor <math>\tilde{F}_{\mu\nu}</math> mit dem Levi-Civita-Symbol definiert ist als
:<math>\tilde{F}_{\mu\nu} = \frac{1}{2} \varepsilon_{\mu\nu\alpha\beta} F^{\alpha\beta} \ .</math>

Um die Ableitungen in der Euler-Lagrange-Gleichung zu berechnen, geht man analog zu der alternativen Rechnung aus dem vorigen Abschnitt vor 
:<math>
\begin{align}
\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial F_{\sigma\tau}} &= -\frac{1}{8} \frac{\partial}{\partial F_{\sigma\tau}} \left(\varepsilon_{\mu\nu\alpha\beta} F^{\alpha\beta} F^{\mu\nu} \right) \\
& = -\frac{1}{8} \frac{\partial}{\partial F_{\sigma\tau}} \left(\varepsilon_{\mu\nu\alpha\beta}  g^{\alpha\kappa} g^{\beta\lambda} F_{\kappa\lambda} g^{\mu\pi} g^{\nu\rho} F_{\pi\rho} \right) \\
& = -\frac{1}{8} \left(\varepsilon_{\mu\nu\alpha\beta} g^{\alpha\kappa} g^{\beta\lambda} \delta_{\kappa}^{\sigma} \delta_{\lambda}^{\tau} F^{\mu\nu} + \varepsilon_{\mu\nu\alpha\beta} F^{\alpha\beta} g^{\mu\pi} g^{\nu\rho} \delta_{\pi}^{\sigma} \delta_{\rho}^{\tau} \right) \\
& = -\frac{1}{8} \left( 2 \tilde{F}_{\alpha\beta} g^{\alpha\sigma} g^{\beta\tau} + 2 \tilde{F}_{\mu\nu} g^{\mu\sigma} g^{\nu\tau} \right)
= -\frac{1}{2} \tilde{F}^{\sigma\tau} \ .
\end{align}
</math>

Mit diesem Ergebnis und unter Verwendung der Ableitung von <math>F_{\sigma\tau}</math> nach <math>\partial_{\mu} A_{\nu}</math> ergeben sich die homogenen Maxwellgleichungen in kovarianter Form zu
:<math>\partial_{\mu} \tilde{F}^{\mu\nu} = 0 \ .</math>

</div>