Benutzer:Frank Thomas~dewiki/Ableitung der Maxwellgleichungen im Lagrange-Formalismus

Im folgenden Auszug werden die Maxwellgleichungen in kovarianter Form im Lagrange-Formalismus abgeleitet. Dazu wird für die homogenen und inhomogenen Maxwellgleichungen jeweils eine Lagrange-Dichte aufgestellt und mit Hilfe der Euler-Lagrange-Gleichung für Felder die entsprechenden Maxwellgleichungen abgeleitet. Der Hauptaugenmerk liegt dabei auf der technisch sauberen Ausführung der auftretenden Differentiationen in den Euler-Lagrange-Gleichungen im Hinblick auf die Indexdarstellungen in der Relativitätstheorie.

Diese Ableitung ist möglicherweise besser im Physik-Regal der Wikibooks aufgehoben, aber ich habe in einigen Artikeln der deutschen und englischen Wikipedia die Ableitung der inhomogenen Maxwellgleichungen als Beispiel wie mit Lagrange-Dichten oder dem elektromagnetischen Feldstärketensor gerechnet werden kann gesehen. Eventuell könnten diese Artikel mit der Ableitung der homogenen Maxwellgleichungen ergänzt werden. Solange ich keinen geeigneteren Ort für diese Ableitungen finde, bleibt dieser Artikel erstmal hier.

Inhomogene Maxwellgleichungen

Mit dem elektromagnetischen Feldstärketensor und der Viererstromdichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle j^{\mu}} kann die Lagrange-Dichte des freien Maxwell-Feldes geschrieben werden als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{L} := -\frac{1}{4} F_{\mu\nu}(x) F^{\mu\nu}(x) - j_{\mu}(x) A^{\mu}(x) \ .}

Mit dieser Lagrange-Dichte können die inhomogenen Maxwell-Gleichungen als Euler-Lagrange-Gleichungen hergeleitet werden. Die Euler-Lagrange Gleichung für Felder ist

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial A_{\nu }}}-\partial _{\mu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }A_{\nu })}}\right)=0\ .$

Die Ableitung nach dem Viererpotential ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial A_{\nu}} = \frac{\partial}{\partial A_{\nu}} \left(- j_{\mu} A^{\mu} \right) = \frac{\partial}{\partial A_{\nu}} \left(- j_{\mu} g^{\mu\nu} A_{\nu} \right) = -j^{\nu} \ .}

Um die Ableitung nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \partial_{\mu} A_{\nu}} auszuführen, ist es sinnvoll den ersten Teil der Lagrange-Dichte umzuschreiben in

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} -\frac{1}{4} F_{\mu\nu} F^{\mu\nu} & = -\frac{1}{4} \left(\partial_{\mu} A_{\nu} - \partial_{\nu} A_{\mu}\right) \left(\partial^{\mu} A^{\nu} - \partial^{\nu} A^{\mu}\right) \\ & = -\frac{1}{4} \left(\partial_{\mu} A_{\nu} \partial^{\mu} A^{\nu} - \partial_{\mu} A_{\nu} \partial^{\nu} A^{\mu} - \partial_{\nu} A_{\mu} \partial^{\mu} A^{\nu} + \partial_{\nu} A_{\mu} \partial^{\nu} A^{\mu}\right) \\ & = -\frac{1}{2} \left(\partial_{\mu} A_{\nu} \partial^{\mu} A^{\nu} - \partial_{\mu} A_{\nu} \partial^{\nu} A^{\mu}\right) \\ & = -\frac{1}{2} \left(\partial_{\mu} A_{\nu} g^{\mu\sigma} g^{\nu\tau} \partial_{\sigma} A_{\tau} - \partial_{\mu} A_{\nu} g^{\nu\sigma} g^{\mu\tau} \partial_{\sigma} A_{\tau} \right) \ . \end{align} }

Die Ableitung kann nun direkt ausgeführt werden, wobei zu beachten ist, dass sie nur dann von Null verschieden ist, wenn die Indices Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma} und $\mu$ bzw. $\tau$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \nu} gleich sind.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \left(\partial_{\mu} A_{\nu} \right)} & = -\frac{1}{2} \left(g^{\mu\sigma} g^{\nu\tau} \partial_{\sigma} A_{\tau} + \partial_{\mu} A_{\nu} g^{\mu\sigma} g^{\nu\tau} \delta_{\sigma}^{\mu} \delta_{\tau}^{\nu} - g^{\nu\sigma} g^{\mu\tau} \partial_{\sigma} A_{\tau} - \partial_{\mu} A_{\nu} g^{\nu\sigma} g^{\mu\tau} \delta_{\sigma}^{\mu} \delta_{\tau}^{\nu} \right) \\ & = -\frac{1}{2} \left(\partial^{\mu} A^{\nu} + \partial^{\sigma} A^{\tau} \delta_{\sigma}^{\mu} \delta_{\tau}^{\nu} - \partial^{\nu} A^{\mu} - \partial^{\tau} A^{\sigma} \delta_{\sigma}^{\mu} \delta_{\tau}^{\nu} \right) \\ & = -\frac{1}{2} \left(\partial^{\mu} A^{\nu} + \partial^{\mu} A^{\nu} - \partial^{\nu} A^{\mu} - \partial^{\nu} A^{\mu} \right) \\ & = - \left(\partial^{\mu} A^{\nu} - \partial^{\nu} A^{\mu}\right) = - F^{\mu\nu} \end{align} }

Setzt man diese Ergebnisse in die Euler-Lagrange-Gleichung ein, so erhält man

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -j^{\nu} + \partial_{\mu} F^{\mu\nu} = 0 \ .}

Mit der Definition von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle j^{\mu}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F^{\mu\nu}} verifiziert man, dass dieser Ausdruck identisch mit den inhomogenen Maxwell-Gleichungen ist.

Alternative Rechnung

Der zweite Term der Euler-Lagrange-Gleichung kann alternativ auch mit Hilfe der Kettenregel berechnet werden

${\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }A_{\nu })}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial F_{\sigma \tau }}}{\frac {\partial F_{\sigma \tau }}{\partial (\partial _{\mu }A_{\nu })}}\ .$

Dazu wird zuerst die Lagrange-Dichte nach dem Feldstärketensor und dieser dann nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \partial_{\mu} A_{\nu}} abgeleitet

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial F_{\sigma \tau }}}&=-{\frac {1}{4}}{\frac {\partial }{\partial F_{\sigma \tau }}}\left(F_{\mu \nu }g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }F_{\alpha \beta }\right)\\&=-{\frac {1}{4}}\left(\delta _{\mu }^{\sigma }\delta _{\nu }^{\tau }g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }F_{\alpha \beta }+F_{\mu \nu }g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }\delta _{\alpha }^{\sigma }\delta _{\beta }^{\tau }\right)\\&=-{\frac {1}{4}}\left(\delta _{\mu }^{\sigma }\delta _{\nu }^{\tau }F^{\mu \nu }+F^{\alpha \beta }\delta _{\alpha }^{\sigma }\delta _{\beta }^{\tau }\right)=-{\frac {1}{2}}F^{\sigma \tau }\ ,\end{aligned}}}

${\begin{aligned}{\frac {\partial F_{\sigma \tau }}{\partial (\partial _{\mu }A_{\nu })}}=\left(\delta _{\sigma }^{\mu }\delta _{\tau }^{\nu }-\delta _{\tau }^{\mu }\delta _{\sigma }^{\nu }\right)\ .\end{aligned}}$

Nach Multiplikation der beiden Ergebnisse und unter Verwendung der Antisymmetrie des Feldstärketensors (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F^{\mu\nu} = -F^{\nu\mu}} ), folgt das bereits bekannte Ergebnis

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_{\mu} A_{\nu})} &= -\frac{1}{2} F^{\sigma\tau} \left( \delta_{\sigma}^{\mu} \delta_{\tau}^{\nu} - \delta_{\tau}^{\mu} \delta_{\sigma}^{\nu} \right) = -\frac{1}{2} \left(F^{\mu\nu} - F^{\nu\mu}\right) = -F^{\mu\nu} \ . \end{align} }

Homogene Maxwellgleichungen

Auch die homogenen Maxwellgleichungen lassen sich über die Euler-Lagrange-Gleichung aus einer Lagrange-Dichte herleiten. Hierzu verwendet man die Lagrange-Dichte

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\mathcal {L}}:=-{\frac {1}{4}}{\tilde {F}}_{\mu \nu }(x)F^{\mu \nu }(x)\ ,}

wobei der duale Feldstärketensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tilde{F}_{\mu\nu}} mit dem Levi-Civita-Symbol definiert ist als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tilde{F}_{\mu\nu} = \frac{1}{2} \varepsilon_{\mu\nu\alpha\beta} F^{\alpha\beta} \ .}

Um die Ableitungen in der Euler-Lagrange-Gleichung zu berechnen, geht man analog zu der alternativen Rechnung aus dem vorigen Abschnitt vor

${\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial F_{\sigma \tau }}}&=-{\frac {1}{8}}{\frac {\partial }{\partial F_{\sigma \tau }}}\left(\varepsilon _{\mu \nu \alpha \beta }F^{\alpha \beta }F^{\mu \nu }\right)\\&=-{\frac {1}{8}}{\frac {\partial }{\partial F_{\sigma \tau }}}\left(\varepsilon _{\mu \nu \alpha \beta }g^{\alpha \kappa }g^{\beta \lambda }F_{\kappa \lambda }g^{\mu \pi }g^{\nu \rho }F_{\pi \rho }\right)\\&=-{\frac {1}{8}}\left(\varepsilon _{\mu \nu \alpha \beta }g^{\alpha \kappa }g^{\beta \lambda }\delta _{\kappa }^{\sigma }\delta _{\lambda }^{\tau }F^{\mu \nu }+\varepsilon _{\mu \nu \alpha \beta }F^{\alpha \beta }g^{\mu \pi }g^{\nu \rho }\delta _{\pi }^{\sigma }\delta _{\rho }^{\tau }\right)\\&=-{\frac {1}{8}}\left(2{\tilde {F}}_{\alpha \beta }g^{\alpha \sigma }g^{\beta \tau }+2{\tilde {F}}_{\mu \nu }g^{\mu \sigma }g^{\nu \tau }\right)=-{\frac {1}{2}}{\tilde {F}}^{\sigma \tau }\ .\end{aligned}}$

Mit diesem Ergebnis und unter Verwendung der Ableitung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F_{\sigma\tau}} nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \partial_{\mu} A_{\nu}} ergeben sich die homogenen Maxwellgleichungen in kovarianter Form zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \partial_{\mu} \tilde{F}^{\mu\nu} = 0 \ .}