Quelltext der Seite Benutzer:Marco.Bakera/Uni/Fuzzy

= Definitionen =

==  Der c-Cut von F ==

<math>
Cut_c(F)=\{x|x\in U \wedge F(x)\ge c\}
</math>

== Der starke c-Cut von F ==

<math>
Cut_c'(F)=\{x|x\in U \wedge F(x)>c\}
</math>

== Das Komplement von F ==

<math>
\overline{F}(x)=1-F(x)
</math>

= Operationen UND und ODER =

<math>
\mbox{et}_m(x,y)=\mbox{def} \min(x,y)
</math><br>
<math>
\mbox{et}_a(x,y)=\mbox{def} xy
</math><br>
<math>
\mbox{vel}_m(x,y)=\mbox{def} \max(x,y)
</math><br>
<math>
\mbox{vel}_a(x,y)=\mbox{def} x+y-xy
</math><br>
<math>
\mbox{vel}_b(x,y)=\mbox{def} \min(1,x+y)
</math><br>

<math>
et_b(x,y)\le et_a(x,y)\le et_m(x,y) \le vel_m(x,y) \le vel_a(x,y) \le vel_b(x,y)</math>


= Operationen NICHT =

<math>
non_d(x)\le non_L(x)
</math>

''1.Fall: x=0''<br>
<math>non_d(0)=1 \le 1 = non_L(0)</math>

''2. Fall: x∈(0,1]''<br>
<math>non_d(x)=0\le 1-x=non_L(x)</math>

zu zeigen:<math>non_L(x)\le non_{sd}(x)</math>

''1. Fall: x=1''<br>
<math>non_L(1)=0\le 0=non_{sd}(x)</math>

''2. Fall: x∈[0,1)''<br>
<math>1-x\le 1=non_{sd}(x)</math>

= Operationen IMPLIKATIONEN =

<math>
\mbox{seq}_{KD}(x,y)=_\mbox{def} \max(1-x,y)
</math><br>
<math>
\mbox{seq}_R(x,y)=_\mbox{def} 1-x+xy
</math><br>
<math>
\mbox{seq}_L(x,y)=_\mbox{def} \min(1,1-x+y)
</math><br>
<math>
\mbox{vel}_{SD}b(x,y)=_\mbox{def} 
</math><br>

<math>seq_{KD}(x,y)\le seq_R(x,y) \le seq_L(x,y) \le seq_{SD}(x,y)

</math>, also

<math>
\min(1,1-x+y)\le 
\left\{ \begin{matrix}
y, & \mbox{falls }x=1\\
1-x, & \mbox{falls } y=0\\
1, & \mbox{falls } x\in [0,1)\wedge y\in (0,1]
\end{matrix}\right.
</math>

''1. Fall: x=1''<br>
<math>seq_L(x,y)=\min(1,1-x+y) = min(1,y) = y \le y = seq_{SD}(x,y)</math>

''2. Fall: y=0''<br>
<math>seq_L(x,y)=\min(1,1-x+y) = min(1,1-x) = 1-x \le 1-x = seq_{SD}(x,y)</math>

''3. Fall: x ∈ [0,1), y ∈ (0,1]''<br>
<math>seq_L(x,y)=\min(1,1-x+y) = min(1,1-x) \le 1 = seq_{SD}(x,y)</math>

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= Verallgemeinertes UND - Die T-Norm =

<math>\tau</math> heisst T-Norm genau dann, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:

<math>\tau</math> ist

# [[Kommutativ|kommutativ]]
# [[Assoziativgesetz|assoziativ]]
# [[Monotonie (Mathematik)|monoton]]
# erfüllt die Randbedingung; dh. es gilt: <math>\tau(x,1)=x</math>

== Das Lingsche Theorem ==

Wenn folgende Eigenschaften für eine Funktion f gelten:

# f(1)=0
# f ist streng comonoton (streng monoton fallend)

dann ist <math>\tau(x,y)=f^{(-1)}(f(x)+f(y))</math> eine T-Norm und wird als additiver Generator bezeichnet.<math>f^{(-1)}</math> ist dabei die '''Pseudoinverse''', die wie folgt definiert ist.

<math>
f^{(-1)}(x)= \left\{
\begin{matrix}
f^{-1}(x), & \mbox{falls } x\in \mbox{rg } f \\
0 & \mbox{sonst}
\end{matrix}
\right.
</math>