Benutzer:Marco.Bakera/Uni/Fuzzy

Definitionen

Der c-Cut von F

$Cut_{c}(F)=\{x|x\in U\wedge F(x)\geq c\}$

Der starke c-Cut von F

$Cut_{c}'(F)=\{x|x\in U\wedge F(x)>c\}$

Das Komplement von F

${\overline {F}}(x)=1-F(x)$

Operationen UND und ODER

${\mbox{et}}_{m}(x,y)={\mbox{def}}\min(x,y)$
${\mbox{et}}_{a}(x,y)={\mbox{def}}xy$
${\mbox{vel}}_{m}(x,y)={\mbox{def}}\max(x,y)$
${\mbox{vel}}_{a}(x,y)={\mbox{def}}x+y-xy$
${\mbox{vel}}_{b}(x,y)={\mbox{def}}\min(1,x+y)$

$et_{b}(x,y)\leq et_{a}(x,y)\leq et_{m}(x,y)\leq vel_{m}(x,y)\leq vel_{a}(x,y)\leq vel_{b}(x,y)$

Operationen NICHT

$non_{d}(x)\leq non_{L}(x)$

1.Fall: x=0
$non_{d}(0)=1\leq 1=non_{L}(0)$

2. Fall: x∈(0,1]
$non_{d}(x)=0\leq 1-x=non_{L}(x)$

zu zeigen:$non_{L}(x)\leq non_{sd}(x)$

1. Fall: x=1
$non_{L}(1)=0\leq 0=non_{sd}(x)$

2. Fall: x∈[0,1)
$1-x\leq 1=non_{sd}(x)$

Operationen IMPLIKATIONEN

${\mbox{seq}}_{KD}(x,y)=_{\mbox{def}}\max(1-x,y)$
${\mbox{seq}}_{R}(x,y)=_{\mbox{def}}1-x+xy$
${\mbox{seq}}_{L}(x,y)=_{\mbox{def}}\min(1,1-x+y)$
${\mbox{vel}}_{SD}b(x,y)=_{\mbox{def}}$

$seq_{KD}(x,y)\leq seq_{R}(x,y)\leq seq_{L}(x,y)\leq seq_{SD}(x,y)$, also

$\min(1,1-x+y)\leq \left\{{\begin{matrix}y,&{\mbox{falls }}x=1\\1-x,&{\mbox{falls }}y=0\\1,&{\mbox{falls }}x\in [0,1)\wedge y\in (0,1]\end{matrix}}\right.$

1. Fall: x=1
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle seq_L(x,y)=\min(1,1-x+y) = min(1,y) = y \le y = seq_{SD}(x,y)}

2. Fall: y=0
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle seq_L(x,y)=\min(1,1-x+y) = min(1,1-x) = 1-x \le 1-x = seq_{SD}(x,y)}

3. Fall: x ∈ [0,1), y ∈ (0,1]
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle seq_L(x,y)=\min(1,1-x+y) = min(1,1-x) \le 1 = seq_{SD}(x,y)}

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Verallgemeinertes UND - Die T-Norm

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tau} heisst T-Norm genau dann, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tau} ist

1. kommutativ
2. assoziativ
3. monoton
4. erfüllt die Randbedingung; dh. es gilt: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tau(x,1)=x}

Das Lingsche Theorem

Wenn folgende Eigenschaften für eine Funktion f gelten:

1. f(1)=0
2. f ist streng comonoton (streng monoton fallend)

dann ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tau(x,y)=f^{(-1)}(f(x)+f(y))} eine T-Norm und wird als additiver Generator bezeichnet.Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f^{(-1)}} ist dabei die Pseudoinverse, die wie folgt definiert ist.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f^{(-1)}(x)= \left\{ \begin{matrix} f^{-1}(x), & \mbox{falls } x\in \mbox{rg } f \\ 0 & \mbox{sonst} \end{matrix} \right. }