Quelltext der Seite Benutzer:MovGP0/Mathematik für ET/Semester 2

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}}

== [[Vektorraum|Vektorräume]] ==
:<math>\mathbf{U} = \mathcal{L} \left( \vec{u}_1 , \vec{u}_2, \vec{u}_3 \right) = \{ \vec{u}_1 ; \vec{u}_2 ; \vec{u}_3 \}</math>
::die Menge <math>\{ \vec{u}_1 ; \vec{u}_2 ; \vec{u}_3 \}</math> ist ''Basis'' von <math>\mathbf{U}</math>
----
:<math>s_1 \, \vec{u}_1 + s_2 \, \vec{u}_2 + s_3 \, \vec{u}_3 
\Rightarrow s_1 \, \begin{pmatrix}0\\2\\3\\1\end{pmatrix} + s_2 \, \begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\end{pmatrix} 
+ s_3 \, \begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix} 
\Rightarrow \begin{matrix} s_1 = 0 \\ 2s_1 + s_2 = 0 \\ 3s_1 + s_2 + s_3 = 0 \end{matrix}</math>
----
{| class="prettytable" style="background-color:white" 
|-
| <math>s_1 \dots s_n</math>
| Koeffizienten des linearen Gleichungssystem
|-
| <math>\vec{v}_1 \dots \vec{v}_n</math>
| Basis
|-
|}
----
=== Anwendung ===
;Schwerpunkt von Polygon
:<math>\vec S = \frac{1}{n}\,\left( \vec p_1 + \vec p_2 + \dots + p_n \right)</math>
==== Lineare Abhängigkeit ====
:Wenn Nullvektor durch Koeffizienten ≠ 0 erzeugbar ist LGS linear abhängig. 
:;Beispiel 1
::<math>
\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}\,-3+
\begin{pmatrix}3\end{pmatrix}\,1+
\begin{pmatrix}-3\end{pmatrix}\,0=
\vec 0</math> → linear abhängig
:;Beispiel 2
::<math>
\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\,s_1+
\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\,s_2+
\begin{pmatrix}-3\\9\end{pmatrix}\,s_3 =
\begin{pmatrix}s_1+3\,s_2-3\,s_3\\2\,s_1+s_2+9s_3\end{pmatrix}</math> 
::gleichsetzen
::<math>0=s_1+3\,s_2-3\,s_3=2\,s_1+s_2+9\,s_3 \Rightarrow s_1 = -6\,s_3;\ s_2=3\,s_3</math>
::für <math>(s_1,s_2,s_3)=(-6,3,1)</math> erhält man Nullvektor → linear abhängig
:;Beispiel 3
::<math>
\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}\,s_1+
\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}\,s_2+
\begin{pmatrix}-3\\9\\3\end{pmatrix}\,s_3
\Rightarrow s_1=s_2=s_3=0</math> → linear unabhängig
:;Beispiel 4
::<math>
\begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix} = 
\begin{pmatrix}1\\2\\1\\1\end{pmatrix}\,s_1+
\begin{pmatrix}3\\1\\1\\1\end{pmatrix}\,s_2+
\begin{pmatrix}-3\\9\\3\\1\end{pmatrix}\,s_3
\Rightarrow s_1=s_2=s_3=0</math> → linear unabhängig

==== Lineare Abhängigkeit von Funktionen ====
;Beispiel 1
[[Bild:linfunct1.png|thumb|rt…sin(2x)<br/>gn…cos&nbsp;x<br/>bl…cos(2x)]]
:<math>\left\{ 0=s_1\,\sin\left(2\,x\right) + s_2\,\cos x + s_3\,\cos\left( 2\,x \right)\ \left| \  x\in\left[ 0,1 \right] \right. \right\}</math>
:mit <math>x=0 \Rightarrow 0=s_2+s_3</math>
:mit <math>x=\frac{\pi}{4} \Rightarrow 0=s_1 + s_2\,\frac{1}{\sqrt{2}}</math>
:mit <math>x=\frac{\pi}{6} \Rightarrow 0=s_1\,\frac{\sqrt{3}}{2} + s_2\,\frac{\sqrt{3}}{2} + s_2\,\frac{1}{3}</math>

<div style="clear:both" ></div>
;Beispiel 2
[[Bild:linfunct2.png|thumb|rt…e<sup>2x</sup><br/>gn…3·e<sup>-2x</sup><br/>bl…4·cosh(2x)]]
:<math>\left\{ \left. 0=s_1\,e^{2\,x} + s_2\,3\,e^{-2\,x} + s_3\,4\,\cosh\left( 2\,x \right)\ \right| \  x\in\left[ 0,1 \right] \right\}</math>
<div style="clear:both" ></div>
;Beispiel 3
[[Bild:linfunct3.png|thumb|rt…x(x+1)<br/>gn…x(1-x)<br/>bl…x·π<sup>-1</sup>]]
:<math>\left\{ \left. 0=s_1\,x\,\left(x+1\right) + s_2\,x\,\left( 1-x \right) + s_3\,\frac{x}{\pi}\ \right| \  x\in\left[ 0,1 \right] \right\}</math>
<div style="clear:both"></div>

== [[Matrix (Mathematik)|Matrizen]] und [[lineares Gleichungssystem|lineare Gleichungssysteme]] ==
;[[Matrizenmultiplikation]]
:<math>
\begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=a\, x + b\, y + c\, z</math>
:<math>
\begin{pmatrix}{*}&{*}&{*}\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}{*}\\{*}\\{*}\end{pmatrix}=*
\qquad\begin{pmatrix}{*}\\{*}\\{*}\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}{*}&{*}&{*}\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}{*}&{*}&{*}\\{*}&{*}&{*}\\{*}&{*}&{*}\end{pmatrix}</math>
;[[Inverse Matrix]]
:<math>\mathbf{M}\,\mathbf{M}^{-1} = \mathbf{I}</math>
:<math>a_{ij}^{-1}=\frac{a_{ij}}{\det\mathbf{A}}
={-1}^{i+j}\cdot\frac{\det\mathbf{A}_{ji}}{\det\mathbf{A}}</math> mit <math>a_{ij}</math> Element von <math>\mathbf{A}^{-1}</math>
:folglich:
:*<math>\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1}
=\frac{1}{ad-bc}\,\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}</math> (bei 2×2)
:*<math>\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}^{-1}=
\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}ei-fh&ch-bi&bf-ce\\fg-di&ai-cg&cd-af\\dh-eg&bg-ah&ae-bd\end{pmatrix}
</math> (bei 3×3)
;[[Eigenwert]]
:<math>\det\left( \mathbf{M}-\lambda\,\mathbf{I}\right) = 0</math>
:Eigenwerte sind Nullstellen des resultierenden Polynoms
;[[Eigenvektor]]
:<math>\left( \mathbf{M}-\lambda\,\mathbf{I}\right) \, \vec{x} = \vec{0}</math>
:Berechne '''x''' für alle &lambda;
;[[Körper]] der Matrix
:<math>\mathbf{M}\,\vec{x}=0</math>
:Körper ist Menge aller <math>\vec x</math>.

== [[Determinante (Mathematik)|Determinante]] ==
;Berechnung
:[[Laplace'scher Entwicklungssatz]]
:[[Regel von Sarrus]] (bis 3×3)
;Rechenregeln
*<math>\left| \mathbf{A} \right| \, \left| \mathbf{B} \right| 
= \left| \mathbf{A} \, \mathbf{B} \right|</math>
*<math>\left| s\, \mathbf{A} \right| = s^n\,\left| \mathbf{A} \right|</math> wenn A n×n
*<math>\left| \mathbf{A}^{-1} \right| = \left| \mathbf{A} \right|^{-1}</math> 
*<math>\left| \mathbf{A} \right| = \left| \mathbf{A}^\mathrm{T} \right|</math>
*<math>\left| \mathbf{A} \right| = \left| \mathbf{B}\right|
\Leftrightarrow \left| \mathbf{A} \right| 
= \mathbf{X}\,\mathbf{B}\,\mathbf{X}^{-1}
</math> (A und B sind ähnlich)
;[[Cramer'sche Regel]]
:<math>x_i=\frac{\left|\mathbf{C}_{i}\right|}{\left|\mathbf{A}\right|}</math>
;[[Spatprodukt]]
:<math>\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}
\Leftrightarrow\vec{a}_1\cdot\left(\vec{a}_2\times\vec{a}_3\right)
\Leftrightarrow\left(\vec{a}_1\times\vec{a}_2\right)\cdot\vec{a}_3</math>

== [[Skalarprodukt]], [[Orthogonalität]] ==
:<math>\vec{a}\cdot\vec{b}=\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|\cdot\cos{\alpha}</math>
:''siehe auch:'' [[Kosinussatz]]
;[[Orthogonalprojektion]] von Vektoren
:<math>\cos{\alpha}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|}\cdot\left|\vec{a}\right|
=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\left|\vec{b}\right|}</math>
:<math>\operatorname{Projektion}\left(\vec{a}\to\vec{b}\right)
=\operatorname{P}_{\vec{a}}\left(\vec{b}\right)
=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\left|\vec{b}\right|}\cdot\frac{\vec{b}}{\left|\vec{b}\right|}
=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\left|\vec{b}\right|^2}\cdot\vec{b}</math>

== [[Eigenwertproblem]] ==

== [[Differenzialrechnung]] in ℝ<sup>n</sup> ==

== [[Koordinatentransformation]] == 

== [[Integralrechnung]] in ℝ<sup>n</sup> ==

== [[Wahrscheinlichkeitstheorie]] ==

== [[Statistik]] ==