Benutzer:MovGP0/Mathematik für ET/Semester 2

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Physik Mathematische Grundlagen Mathematik für ET Semester 1 • Semester 2 • Semester 3 Mathematik Kombinatorik und Permutationen • Ableitung • Dreiecksnotation • Gradient, Divergenz, Rotation • Metrischer Tensor • Christoffelsymbole • Krümmungstensor • Energie-Impuls-Tensor • Kosmologische Konstante Quantenmechanik mit Matrizen Imaginäre und komplexe Zahlen • Vektoren • Matrizen • Jacobi-Matrizen • Pauli-Matrizen • Hermitesche Matrizen Lineare Algebra und Tensoren Tensornotation • Tensoren • Dirac-Notation • Körper • Vektorraum Gruppentheorie Gruppen, Lie Gruppen, Lie Algebren Vektorräume $\mathbf {U} ={\mathcal {L}}\left({\vec {u}}_{1},{\vec {u}}_{2},{\vec {u}}_{3}\right)=\{{\vec {u}}_{1};{\vec {u}}_{2};{\vec {u}}_{3}\}$ die Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \{ \vec{u}_1 ; \vec{u}_2 ; \vec{u}_3 \}} ist Basis von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{U}} Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s_1 \, \vec{u}_1 + s_2 \, \vec{u}_2 + s_3 \, \vec{u}_3 \Rightarrow s_1 \, \begin{pmatrix}0\\2\\3\\1\end{pmatrix} + s_2 \, \begin{pmatrix}0\\1\\1\\0\end{pmatrix} + s_3 \, \begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix} \Rightarrow \begin{matrix} s_1 = 0 \\ 2s_1 + s_2 = 0 \\ 3s_1 + s_2 + s_3 = 0 \end{matrix}} $s_{1}\dots s_{n}$ Koeffizienten des linearen Gleichungssystem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{v}_1 \dots \vec{v}_n} Basis Anwendung Schwerpunkt von Polygon Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec S = \frac{1}{n}\,\left( \vec p_1 + \vec p_2 + \dots + p_n \right)} Lineare Abhängigkeit Wenn Nullvektor durch Koeffizienten ≠ 0 erzeugbar ist LGS linear abhängig. Beispiel 1 Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix}1\end{pmatrix}\,-3+ \begin{pmatrix}3\end{pmatrix}\,1+ \begin{pmatrix}-3\end{pmatrix}\,0= \vec 0} → linear abhängig Beispiel 2 Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}\,s_1+ \begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}\,s_2+ \begin{pmatrix}-3\\9\end{pmatrix}\,s_3 = \begin{pmatrix}s_1+3\,s_2-3\,s_3\\2\,s_1+s_2+9s_3\end{pmatrix}} gleichsetzen $0=s_{1}+3\,s_{2}-3\,s_{3}=2\,s_{1}+s_{2}+9\,s_{3}\Rightarrow s_{1}=-6\,s_{3};\ s_{2}=3\,s_{3}$ für $(s_{1},s_{2},s_{3})=(-6,3,1)$ erhält man Nullvektor → linear abhängig Beispiel 3 ${\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}}\,s_{1}+{\begin{pmatrix}3\\1\\1\end{pmatrix}}\,s_{2}+{\begin{pmatrix}-3\\9\\3\end{pmatrix}}\,s_{3}\Rightarrow s_{1}=s_{2}=s_{3}=0$ → linear unabhängig Beispiel 4 Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix}0\\0\\0\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\2\\1\\1\end{pmatrix}\,s_1+ \begin{pmatrix}3\\1\\1\\1\end{pmatrix}\,s_2+ \begin{pmatrix}-3\\9\\3\\1\end{pmatrix}\,s_3 \Rightarrow s_1=s_2=s_3=0} → linear unabhängig Lineare Abhängigkeit von Funktionen Beispiel 1 rt…sin(2x) gn…cos x bl…cos(2x) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\{ 0=s_1\,\sin\left(2\,x\right) + s_2\,\cos x + s_3\,\cos\left( 2\,x \right)\ \left| \ x\in\left[ 0,1 \right] \right. \right\}} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=0 \Rightarrow 0=s_2+s_3} mit $x={\frac {\pi }{4}}\Rightarrow 0=s_{1}+s_{2}\,{\frac {1}{\sqrt {2}}}$ mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x=\frac{\pi}{6} \Rightarrow 0=s_1\,\frac{\sqrt{3}}{2} + s_2\,\frac{\sqrt{3}}{2} + s_2\,\frac{1}{3}} Beispiel 2 Datei:Linfunct2.png rt…e2x gn…3·e-2x bl…4·cosh(2x) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\{ \left. 0=s_1\,e^{2\,x} + s_2\,3\,e^{-2\,x} + s_3\,4\,\cosh\left( 2\,x \right)\ \right| \ x\in\left[ 0,1 \right] \right\}} Beispiel 3 Datei:Linfunct3.png rt…x(x+1) gn…x(1-x) bl…x·π-1 Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\{ \left. 0=s_1\,x\,\left(x+1\right) + s_2\,x\,\left( 1-x \right) + s_3\,\frac{x}{\pi}\ \right| \ x\in\left[ 0,1 \right] \right\}} Matrizen und lineare Gleichungssysteme Matrizenmultiplikation Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix}a&b&c\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=a\, x + b\, y + c\, z} Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix}{*}&{*}&{*}\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}{*}\\{*}\\{*}\end{pmatrix}=* \qquad\begin{pmatrix}{*}\\{*}\\{*}\end{pmatrix}\,\begin{pmatrix}{*}&{*}&{*}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}{*}&{*}&{*}\\{*}&{*}&{*}\\{*}&{*}&{*}\end{pmatrix}} Inverse Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{M}\,\mathbf{M}^{-1} = \mathbf{I}} Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_{ij}^{-1}=\frac{a_{ij}}{\det\mathbf{A}} ={-1}^{i+j}\cdot\frac{\det\mathbf{A}_{ji}}{\det\mathbf{A}}} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_{ij}} Element von $\mathbf {A} ^{-1}$ folglich: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}^{-1} =\frac{1}{ad-bc}\,\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}} (bei 2×2) ${\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}^{-1}={\frac {1}{\det(A)}}{\begin{pmatrix}ei-fh&ch-bi&bf-ce\\fg-di&ai-cg&cd-af\\dh-eg&bg-ah&ae-bd\end{pmatrix}}$ (bei 3×3) Eigenwert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \det\left( \mathbf{M}-\lambda\,\mathbf{I}\right) = 0} Eigenwerte sind Nullstellen des resultierenden Polynoms Eigenvektor $\left(\mathbf {M} -\lambda \,\mathbf {I} \right)\,{\vec {x}}={\vec {0}}$ Berechne x für alle λ Körper der Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{M}\,\vec{x}=0} Körper ist Menge aller Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec x} . Determinante Berechnung Laplace'scher Entwicklungssatz Regel von Sarrus (bis 3×3) Rechenregeln Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left| \mathbf{A} \right| \, \left| \mathbf{B} \right| = \left| \mathbf{A} \, \mathbf{B} \right|} $\left|s\,\mathbf {A} \right|=s^{n}\,\left|\mathbf {A} \right|$ wenn A n×n $\left|\mathbf {A} ^{-1}\right|=\left|\mathbf {A} \right|^{-1}$ Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left| \mathbf{A} \right| = \left| \mathbf{A}^\mathrm{T} \right|} $\left|\mathbf {A} \right|=\left|\mathbf {B} \right|\Leftrightarrow \left|\mathbf {A} \right|=\mathbf {X} \,\mathbf {B} \,\mathbf {X} ^{-1}$ (A und B sind ähnlich) Cramer'sche Regel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_i=\frac{\left|\mathbf{C}_{i}\right|}{\left|\mathbf{A}\right|}} Spatprodukt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix} \Leftrightarrow\vec{a}_1\cdot\left(\vec{a}_2\times\vec{a}_3\right) \Leftrightarrow\left(\vec{a}_1\times\vec{a}_2\right)\cdot\vec{a}_3} Skalarprodukt, Orthogonalität Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{a}\cdot\vec{b}=\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|\cdot\cos{\alpha}} siehe auch: Kosinussatz Orthogonalprojektion von Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cos{\alpha}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\left|\vec{a}\right|\cdot\left|\vec{b}\right|}\cdot\left|\vec{a}\right| =\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\left|\vec{b}\right|}} Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Projektion}\left(\vec{a}\to\vec{b}\right) =\operatorname{P}_{\vec{a}}\left(\vec{b}\right) =\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\left|\vec{b}\right|}\cdot\frac{\vec{b}}{\left|\vec{b}\right|} =\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\left|\vec{b}\right|^2}\cdot\vec{b}} Eigenwertproblem Differenzialrechnung in ℝn Koordinatentransformation Integralrechnung in ℝn Wahrscheinlichkeitstheorie Statistik