Benutzer:MovGP0/Physik/Matrizen

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Physik Mathematische Grundlagen Mathematik für ET Semester 1 • Semester 2 • Semester 3 Mathematik Kombinatorik und Permutationen • Ableitung • Dreiecksnotation • Gradient, Divergenz, Rotation • Metrischer Tensor • Christoffelsymbole • Krümmungstensor • Energie-Impuls-Tensor • Kosmologische Konstante Quantenmechanik mit Matrizen Imaginäre und komplexe Zahlen • Vektoren • Matrizen • Jacobi-Matrizen • Pauli-Matrizen • Hermitesche Matrizen Lineare Algebra und Tensoren Tensornotation • Tensoren • Dirac-Notation • Körper • Vektorraum Gruppentheorie Gruppen, Lie Gruppen, Lie Algebren Matrizen Definition $\mathbf {A} ,\ \mathbf {B}$ Summenform: $a_{rc},\ b_{rc}$ Matrixform: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix},\ \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{pmatrix} } Nullmatrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{0}} Summenform: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0_{rc} = 0} Matrixform: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}} Identität Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{I} = \mathbf{1}} Summenform: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i_{rc} = \begin{cases} 1\ |\ r = c \\ 0\ |\ r \ne c \end{cases}} $i_{jj}=1$ Matrixform: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}} Addition Addition mit Skalar Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{C} = s + \mathbf{A} = \mathbf{A} + s} Summenform: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_{rc} = s+a_{rc} = a_{rc}+s} Matrixform: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \\ \end{pmatrix} = s+\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s+a_{11} & s+a_{12} \\ s+a_{21} & s+a_{22} \end{pmatrix}} Addition mit Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{C} = \mathbf{A} + \mathbf{B} = \mathbf{B} + \mathbf{A}} Summenform: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_{rc} = a_{rc} + b_{rc}} Matrixform: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} \end{pmatrix}} Multiplikation Multiplikation mit Skalar Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \mathbf {C} =s\,\mathbf {A} =\mathbf {A} \,s} Summenform: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_{rc} = s\,a_{rc} = a_{rc}\,s} Matrixform: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{pmatrix} = s\,\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} s\,a_{11} & s\,a_{12} \\ s\,a_{21} & s\,a_{22} \end{pmatrix}} Komplement Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{C} = -\mathbf{A} = -1\,\mathbf{A}} Summenform: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_{rc}=-1\,a_{rc} = -a_{rc}} Matrixform: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{pmatrix} = -\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -a_{11} & -a_{12} \\ -a_{21} & -a_{22} \end{pmatrix}} Matrixmultiplikation Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{C} = \mathbf{A}\,\mathbf{B} \ne \mathbf{B}\,\mathbf{A}} Summenform: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_{rc} = \sum_{{\color{Red}k} =1}^m a_{r{\color{Red}k}}\,b_{{\color{Red}k}c} = a_{r{\color{Red}k}}\,b_{{\color{Red}k}c}} Matrixform: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} \\ c_{31} & c_{32} & c_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{pmatrix}\, \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \end{pmatrix} = \dots} Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \dots = \sum_{{\color{Red}k}=1}^{3} \begin{pmatrix} a_{1{\color{Red}k}}\,b_{{\color{Red}k}1} & a_{1{\color{Red}k}}\,b_{{\color{Red}k}2} & a_{1{\color{Red}k}}\,b_{{\color{Red}k}3} \\ a_{2{\color{Red}k}}\,b_{{\color{Red}k}1} & a_{2{\color{Red}k}}\,b_{{\color{Red}k}2} & a_{2{\color{Red}k}}\,b_{{\color{Red}k}3} \\ a_{3{\color{Red}k}}\,b_{{\color{Red}k}1} & a_{3{\color{Red}k}}\,b_{{\color{Red}k}2} & a_{3{\color{Red}k}}\,b_{{\color{Red}k}3} \\ \end{pmatrix} = \dots} Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \dots = \begin{pmatrix} a_{1{\color{Red}1}}\,b_{{\color{Red}1}1} + a_{1{\color{Red}2}}\,b_{{\color{Red}2}1} + a_{1{\color{Red}3}}\,b_{{\color{Red}3}1} & a_{1{\color{Red}1}}\,b_{{\color{Red}1}2} + a_{1{\color{Red}2}}\,b_{{\color{Red}2}2} + a_{1{\color{Red}3}}\,b_{{\color{Red}3}2} & a_{1{\color{Red}1}}\,b_{{\color{Red}1}3} + a_{1{\color{Red}2}}\,b_{{\color{Red}2}3} + a_{1{\color{Red}3}}\,b_{{\color{Red}3}3} \\ a_{2{\color{Red}1}}\,b_{{\color{Red}1}1} + a_{2{\color{Red}2}}\,b_{{\color{Red}2}1} + a_{2{\color{Red}3}}\,b_{{\color{Red}3}1} & a_{2{\color{Red}1}}\,b_{{\color{Red}1}2} + a_{2{\color{Red}2}}\,b_{{\color{Red}2}2} + a_{2{\color{Red}3}}\,b_{{\color{Red}3}2} & a_{2{\color{Red}1}}\,b_{{\color{Red}1}3} + a_{2{\color{Red}2}}\,b_{{\color{Red}2}3} + a_{2{\color{Red}3}}\,b_{{\color{Red}3}3} \\ a_{3{\color{Red}1}}\,b_{{\color{Red}1}1} + a_{3{\color{Red}2}}\,b_{{\color{Red}2}1} + a_{3{\color{Red}3}}\,b_{{\color{Red}3}1} & a_{3{\color{Red}1}}\,b_{{\color{Red}1}2} + a_{3{\color{Red}2}}\,b_{{\color{Red}2}2} + a_{3{\color{Red}3}}\,b_{{\color{Red}3}2} & a_{3{\color{Red}1}}\,b_{{\color{Red}1}3} + a_{3{\color{Red}2}}\,b_{{\color{Red}2}3} + a_{3{\color{Red}3}}\,b_{{\color{Red}3}3} \\ \end{pmatrix}} Multiplikation mit Nullmatrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{C} = \mathbf{0}\,\mathbf{A} = \mathbf{A}\,\mathbf{0} = \mathbf{0}} Summenform: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_{rc} = 0\,a_{rc} = a_{rc}\,0 = 0} Multiplikation mit Identität Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{C} = \mathbf{1}\,\mathbf{A} = \mathbf{A}\,\mathbf{1} = \mathbf{A}} Summenform: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c_{rc} = i_{rr}\,a_{rc} = a_{rc}\,i_{rr} = 1\,a_{rc} = a_{rc}} Koummutativität mit skalierter Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A}\,\left( s\,\mathbf{A} \right) = \left( s\,\mathbf{A} \right)\,\mathbf{A}} Division Inverses Element Definition: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{M}^{-1}\,\mathbf{M} = \mathbf{M}\,\mathbf{M}^{-1} = 1} Inverse ist eindeutig: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left( \mathbf{L}\,\mathbf{M} = \mathbf{M}\,\mathbf{L} = 1 \right) \Rarr \mathbf{L} = \mathbf{M}^{-1}} Rechenregeln: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left(\mathbf{M}^{-1}\right)^{-1} = \mathbf{M}} Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left(\mathbf{M}\,\mathbf{N}\right)^{-1} = \left(\mathbf{M}^{-1}\,\mathbf{N}^{-1}\right)}