Benutzer:MovGP0/Mathematik/Christoffelsymbole

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Physik Mathematische Grundlagen Mathematik für ET Semester 1 • Semester 2 • Semester 3 Mathematik Kombinatorik und Permutationen • Ableitung • Dreiecksnotation • Gradient, Divergenz, Rotation • Metrischer Tensor • Christoffelsymbole • Krümmungstensor • Energie-Impuls-Tensor • Kosmologische Konstante Quantenmechanik mit Matrizen Imaginäre und komplexe Zahlen • Vektoren • Matrizen • Jacobi-Matrizen • Pauli-Matrizen • Hermitesche Matrizen Lineare Algebra und Tensoren Tensornotation • Tensoren • Dirac-Notation • Körper • Vektorraum Gruppentheorie Gruppen, Lie Gruppen, Lie Algebren Christoffelsymbole Sei der Tensor $T_{nm}={\frac {\partial V_{m}}{\partial x^{n}}}$, dann ergibt sich mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {T'}_{mn} = \left( \frac{\partial x^r}{\partial {x'}^m} \frac{\partial x^s}{\partial {x'}^n} \right) T_{rs}}      (Gl. 5)   die Gleichung: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {T'}_{mn} = \left( \frac{\partial x^r}{\partial {x'}^m} \frac{\cancel{\partial x^s}}{\partial {x'}^n} \right) \frac{\partial V_r}{\cancel{\partial x^s}} } Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {T'}_{mn} = \frac{\partial x^r}{\partial {x'}^m} \frac{\partial V_r}{\partial {x'}^n}} Magic?? Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\partial {V'}_m}{\partial {x'}^n} = \frac{\partial}{\partial {x'}^n} \frac{\partial x^r}{\partial {x'}^m} V_r} Mit der Kettenregel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \partial (A\, B) = A\, \partial B + B\, \partial A} erhält man: Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\frac {\partial {V'}_{m}}{\partial {x'}^{n}}}=\underbrace {{\frac {\partial x^{r}}{\partial {x'}^{m}}}{\frac {\partial V_{r}}{\partial {x'}^{n}}}} _{{T'}_{mn}}+\underbrace {{\frac {\partial }{\partial {x'}^{n}}}{\frac {\partial x^{r}}{\partial {x'}^{m}}}} _{\Gamma _{nm}^{r}}V_{r}} Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {T'}_{mn} = \nabla_n V_m = \underbrace{ \frac{dV_m}{dy^n} }_{\begin{align}[c]\text{ordinary}\\\text{derivative}\end{align}} + \Gamma^r_{nm} V_r}      (Gl. 7: Kovariante Ableitung auf Vektor)   Das Christoffelsymbol beschreibt die Abweichung die auftritt, wenn man die Ableitung eines Tensors in ein anderes Bezugssystem transformiert. Verallgemeinerung auf Tensoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \nabla_p T_{mn} = \frac{\partial T_{mn}}{\partial x'^p} + \Gamma^r_{pm} T_{rn} + \Gamma^r_{pn} T_{mr}}      (Gl. 7: Kovariante Ableitung auf Tensor)   Ableitung des metrischen Tensors Im flachen Raum gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g_{mn} = \delta_{mn}} . Da der Wert konstant ist gilt für die Ableitung: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \nabla_r g_{mn} = \nabla_r \underbrace{ \delta_{mn} }_{\text{const.}} = 0} Wenn eine Ableitung in einem Bezugssystem gleich 0 ist, so ist sie in allen Bezugssystemen gleich 0! Daher gilt für den gekrümmten Raum: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \nabla_r {g'}_{mn} = \frac{\partial {g'}_{mn}}{\partial x'^p} + \Gamma^r_{pm} {g'}_{rn} + \Gamma^r_{pn} {g'}_{mr} = 0} Mathematiker-Magic: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Gamma^a_{bc} = \frac{1}{2} g^{ad} \left( \frac{\partial g_{dc}}{ \partial x^b } + \frac{\partial g_{ab}}{\partial x^c} - \frac{\partial g_{bc}}{\partial x^d} \right)}      (Gl. 9: Christoffelsymbol als Metrischer Tensor und erste Ableitungen)