Benutzer:MovGP0/Physik/Vektorraum

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Vektorräume

Ein Vektorraum über einen Körper ist eine Menge aus Skalaren und Vektoren , für welche die folgenden Rechenregeln gelten:

Nr. Axiom Erklärung
Axiome bezüglich der Vektoraddition
1 Für alle Vektoren gilt Kommutativität bezüglich der Vektoraddition
2 Für alle Vektoren gilt Assoziativität bezüglich der Vektoraddition
3 Es existiert ein Nullvektor , der für alle Vektoren das Neutrale Element bezüglich der Vektoraddition ist
4 Für jeden Vektor, existiert ein Komplement
Axiome bezüglich der Skalarmultiplikation
5 Für alle Skalare gilt Distributivität
6 Es existiert ein Einheitsvektor , der für alle Vektoren das Neutrale Element bezüglich des Skalarprodukts ist
7 Distributivität
8 Assoziativität

Beispiele für Vektorräume

Raum Beschreibung Addition Multiplikation
, Reeller/Komplexer Raum
, reelle/komplexe n×n-Matrix
hermitesch-komplexe n×n-Matrix[e 1] (z.B. Pauli-Matrizen)
  1. Eine hermitesche Matrix kann bei Multiplikation mit einem komplexen Skalar eine nicht-hermitesche Matrix bilden. Man sagt: „eine hermitesche Matrix ist nicht geschlossen unter komplex-skalarer Multiplikation“.