Benutzer:MovGP0/Physik/Vektorraum

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Physik Mathematische Grundlagen Mathematik für ET Semester 1 • Semester 2 • Semester 3 Mathematik Kombinatorik und Permutationen • Ableitung • Dreiecksnotation • Gradient, Divergenz, Rotation • Metrischer Tensor • Christoffelsymbole • Krümmungstensor • Energie-Impuls-Tensor • Kosmologische Konstante Quantenmechanik mit Matrizen Imaginäre und komplexe Zahlen • Vektoren • Matrizen • Jacobi-Matrizen • Pauli-Matrizen • Hermitesche Matrizen Lineare Algebra und Tensoren Tensornotation • Tensoren • Dirac-Notation • Körper • Vektorraum Gruppentheorie Gruppen, Lie Gruppen, Lie Algebren Vektorräume Ein Vektorraum $V$ über einen Körper $K$ ist eine Menge aus Skalaren $c,s\in K\in V$ und Vektoren $u,v,w\in V$, für welche die folgenden Rechenregeln gelten: Nr. Axiom Erklärung Axiome bezüglich der Vektoraddition 1 $\forall v,w\in V:\quad v\oplus w=w\oplus v$ Für alle Vektoren gilt Kommutativität bezüglich der Vektoraddition 2 $\forall v,w,x\in V:\quad v\oplus (w\oplus x)=(v\oplus w)\oplus x$ Für alle Vektoren gilt Assoziativität bezüglich der Vektoraddition 3 $\exists 0\in V:\quad \forall v\in V:\quad v\oplus 0=v$ Es existiert ein Nullvektor $0$, der für alle Vektoren das Neutrale Element bezüglich der Vektoraddition ist 4 $\forall v\in V:\quad \exists (-v):\quad v\oplus (-v)=0$ Für jeden Vektor, existiert ein Komplement Axiome bezüglich der Skalarmultiplikation 5 $\forall c\in K:\quad \forall v,w\in V:\quad c\odot (v\oplus w)=(c\odot v)\oplus (c\odot w)$ Für alle Skalare gilt Distributivität 6 $\exists 1\in V:\quad \forall v\in V:\quad 1\odot v=v$ Es existiert ein Einheitsvektor $1$, der für alle Vektoren das Neutrale Element bezüglich des Skalarprodukts ist 7 $\forall c,s\in K:\quad \forall v\in V:\quad (c+s)\odot v=(c\odot v)\oplus (s\odot v)$ Distributivität 8 $\forall c,s\in K:\quad \forall v\in V:\quad (c\cdot s)\odot v=c\odot (s\odot v)$ Assoziativität Beispiele für Vektorräume Raum Beschreibung Addition Multiplikation $\mathbb {R} ^{n}$, $\mathbb {C} ^{n}$ Reeller/Komplexer Raum $(v^{i})+(w^{i})=(v^{i}+w^{i})$ $s\cdot (v^{i})=(s\,v^{i})$ $M_{n}(\mathbb {R} )$ , $M_{n}(\mathbb {C} )$ reelle/komplexe n×n-Matrix $(A+B)_{ij}=A_{ij}+B_{ij}$ $s\,(A_{ij})=(s\,A)_{ij}$ $H_{n}(\mathbb {C} )$ hermitesch-komplexe n×n-Matrix (z.B. Pauli-Matrizen)