Quelltext der Seite Binomialverteilung

{{Infobox Verteilung
| name       = Binomialverteilung
| type       = mass
| pdf_image  = [[Datei:Binomial distribution pmf.svg|280px|Wahrscheinlichkeitsfunktion]]
| cdf_image  = [[Datei:Binomial distribution cdf.svg|280px|Verteilungsfunktion]]
| parameters = <math>n \in \N^+</math>, <math>p \in [0,1]</math>
| support    = <math>k \in \{0, \dotsc, n\}</math>
| pdf        = <math>\textstyle {n\choose k}\, p^k (1-p)^{n-k}</math>
| cdf        = <math>I_{1-p}(n - \lfloor k \rfloor, 1 + \lfloor k \rfloor)</math>
| mean       = <math>np</math>
| median     = i.&nbsp;A. keine geschlossene Formel, siehe [[#Median|unten]]
| mode       = <math>\lfloor (n+1)p\rfloor</math> oder <math>\lfloor (n+1)p-1\rfloor</math>
| variance   = <math>np(1-p)</math>
| skewness   = <math>\frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}}</math>
| kurtosis   = <math>3+\frac{1-6p(1-p)}{np(1-p)}</math>
| entropy    = <math>\frac12 \log_2 \big( 2\pi \mathrm{e}\, np(1-p) \big)</math><br /><math> + \mathcal{O} \left( \frac{1}{n} \right)</math>
| mgf        = <math>\left(1-p + p\mathrm{e}^t\right)^n</math>
| char       = <math>\left(1-p + p\mathrm{e}^{\mathrm{i}t}\right)^n</math>
}}

[[Datei:Binomial Distribution.PNG|mini|300px|Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung für <math>n=20</math>; <math>p=0{,}1</math> (blau), <math>p=0{,}5</math> (grün) und <math>p=0{,}8</math> (rot)]]
[[Datei:Pascal's triangle; binomial distribution.svg|mini|300px|Binomialverteilungen für <math>p=0{,}5</math><br />mit <math>n</math> und <math>k</math> wie im [[Pascalsches Dreieck|Pascalschen Dreieck]]<br /><br />Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel in einem [[Galtonbrett]] mit acht Ebenen (<math>n=8</math>) ins mittlere Fach fällt (<math>k=4</math>), ist <math>70/256</math>.]]
Die '''Binomialverteilung''' ist eine der wichtigsten [[Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung|diskreten]] [[Wahrscheinlichkeitsverteilung]]en.

Sie beschreibt die Anzahl der Erfolge in einer Serie von gleichartigen und [[Stochastisch unabhängige Ereignisse|unabhängigen]] Versuchen, die jeweils genau zwei mögliche Ergebnisse haben („Erfolg“ oder „Misserfolg“). Solche Versuchsserien werden auch [[Bernoulli-Prozess]]e genannt.

Ist <math>p</math> die Erfolgswahrscheinlichkeit bei ''einem'' Versuch und <math>n</math> die Anzahl der Versuche, dann bezeichnet man mit <math>B(k \mid p,n)</math> (auch <math>B_{n,p}(k)</math>, <math>B(n,p,k)</math><ref name="Kissel12">Peter Kissel: ''MAC08 Stochastik (Teil 2).'' Studiengemeinschaft Darmstadt 2014, S. 12.</ref> oder <math>B(n;p;k)</math><ref name="BigKöh130">Bigalke, Köhler: ''Mathematik 13.2 Grund- und Leistungskurs.'' Cornelsen, Berlin 2000, S. 130.</ref>) die Wahrscheinlichkeit, genau <math>k</math> Erfolge zu erzielen (siehe Abschnitt [[#Definition|Definition]]).

Die Binomialverteilung und der Bernoulli-Versuch können mit Hilfe des [[Galtonbrett]]s veranschaulicht werden. Dabei handelt es sich um eine mechanische Apparatur, in die man Kugeln wirft. Diese fallen dann zufällig in eines von mehreren Fächern, wobei die Aufteilung der Binomialverteilung entspricht. Je nach Konstruktion sind unterschiedliche Parameter <math>n</math> und <math>p</math> möglich.

Obwohl die Binomialverteilung bereits lange vorher bekannt war, wurde der Begriff zum ersten Mal 1911 in einem Buch von [[George Udny Yule]] verwendet.<ref>[[George Udny Yule]]: ''An Introduction to the Theory of Statistics.'' Griffin, London 1911, S. 287.</ref>

== Definition ==
=== Wahrscheinlichkeitsfunktion, (kumulierte) Verteilungsfunktion, Eigenschaften ===
Die diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung mit der [[Wahrscheinlichkeitsfunktion]]
:<math>B(k\mid p,n)=\begin{cases}
  \binom nk p^k (1-p)^{n-k} &\text{falls} \quad k\in\left\{0,1,\dots,n\right\}\\
  0            & \text{sonst.}\end{cases}</math>
heißt die ''Binomialverteilung'' zu den Parametern <math>n</math> (Anzahl der Versuche) und <math>p\in \left[0,1\right]</math> (der ''Erfolgs-'' oder ''Trefferwahrscheinlichkeit'').

'''Hinweis:''' Bei dieser Formel wird die Konvention <math>0^0:=1</math> angewendet (siehe dazu [[Potenz (Mathematik)#Null hoch Null|Null hoch null]]).

Die obige Formel kann so verstanden werden: Wir brauchen bei insgesamt <math>n</math> Versuchen genau <math>k</math> Erfolge der Wahrscheinlichkeit <math>p^k</math> und haben demzufolge genau <math>n-k</math> Fehlschläge der Wahrscheinlichkeit <math>(1-p)^{n-k}</math>. Allerdings kann jeder der <math>k</math> Erfolge bei jedem der <math>n</math> Versuche auftreten, sodass wir noch mit der Anzahl <math>\tbinom nk</math> der {{nowrap|1=<math>k</math>-elementigen}} Teilmengen einer {{nowrap|1=<math>n</math>-elementigen}} Menge multiplizieren müssen. Denn genau so viele Möglichkeiten gibt es, aus allen <math>n</math> Versuchen die <math>k</math> erfolgreichen auszuwählen.

Die zur Erfolgswahrscheinlichkeit <math>p</math> komplementäre Ausfallwahrscheinlichkeit <math>1-p</math> wird häufig mit <math>q</math> abgekürzt.

Wie für eine Wahrscheinlichkeitsverteilung notwendig, müssen sich die Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Werte <math>k</math> zu 1 summieren. Dies ergibt sich aus dem [[Binomischer Lehrsatz|binomischen Lehrsatz]] wie folgt:
:<math>\sum_{k=0}^n \binom nk p^k (1-p)^{n-k} = \left(p + \left(1-p\right)\right)^n = 1^n = 1</math>

Eine nach <math>B(\cdot\mid p,n)</math> verteilte Zufallsgröße <math>X</math> heißt dementsprechend ''binomialverteilt'' mit den Parametern <math>n</math> und <math>p</math> sowie der [[Verteilungsfunktion]]

:<math>F_X(x)=\operatorname P(X\le x) = \sum_{k=0}^{\lfloor x \rfloor}\binom nk p^k (1-p)^{n-k}</math>,

wobei <math>\lfloor x \rfloor</math> die [[Abrundungsfunktion]] bezeichnet.

Weitere gebräuchliche Schreibweisen der kumulierten Binomialverteilung sind <math>F(k \mid p,n)</math>, <math>F(n,p,k)</math><ref>Peter Kissel: ''MAC08 Stochastik.'' Teil 2. Studiengemeinschaft Darmstadt 2014, S. 23.</ref> und <math>F(n;p;k)</math>.<ref>Bigalke,/ Köhler: ''Mathematik 13.2 Grund- und Leistungskurs.'' Cornelsen, Berlin 2000, S. 144 ff.</ref>

=== Herleitung als Laplace-Wahrscheinlichkeit ===
Versuchsschema: Eine [[Urnenmodell|Urne]] enthält <math>N</math> Bälle, davon sind <math>M</math> schwarz und <math>N-M</math> weiß.
Die Wahrscheinlichkeit <math>p</math>, einen schwarzen Ball zu ziehen, ist also <math>p = \frac{M}{N}</math>.
Es werden nacheinander zufällig <math>n</math> Bälle entnommen, ihre Farbe bestimmt und wieder zurückgelegt.

Wir berechnen die Anzahl der Möglichkeiten, in denen man <math>k</math> schwarze Bälle findet, und daraus die sogenannte ''[[Wahrscheinlichkeitstheorie#Spezielle Eigenschaften im Fall diskreter Wahrscheinlichkeitsräume|Laplace-Wahrscheinlichkeit]]'' („Anzahl der für das Ereignis günstigen Möglichkeiten, geteilt durch die Gesamtanzahl der (gleichwahrscheinlichen) Möglichkeiten“).

Bei jeder der <math>n</math> Ziehungen gibt es <math>N</math> Möglichkeiten, insgesamt also <math>N^n</math> Möglichkeiten für die Auswahl der Bälle. Damit genau <math>k</math> dieser <math>n</math> Bälle schwarz sind, müssen genau <math>k</math> der <math>n</math> Ziehungen einen schwarzen Ball aufweisen. Für jeden schwarzen Ball gibt es <math>M</math> Möglichkeiten, und für jeden weißen Ball <math>N-M</math> Möglichkeiten.
Die <math>k</math> schwarzen Bälle können noch auf <math>\tbinom nk</math> mögliche Weisen über die <math>n</math> Ziehungen verteilt sein, also gibt es
:<math>\binom nk M^k(N-M)^{n-k}</math>
Fälle, bei denen genau <math>k</math> schwarze Bälle ausgewählt worden sind. Die Wahrscheinlichkeit <math>p_k</math>, unter <math>n</math> Bällen genau <math>k</math> schwarze zu finden, ist also:
:<math>\begin{align}
p_k &= \binom nk \frac{M^k(N-M)^{n-k}}{N^n}\\
    &= \binom nk \left(\frac MN\right)^k\left(\frac{N-M}N\right)^{n-k}\\
    &= \binom nk p^k (1-p)^{n-k}
\end{align}</math>

== Beispiele ==

=== Spielwürfel ===
Die [[Wahrscheinlichkeit]], mit einem normalen [[Spielwürfel]] eine 6 zu würfeln, beträgt <math>p = \tfrac{1}{6}</math>. Die Wahrscheinlichkeit <math>q</math>, dass dies nicht der Fall ist, beträgt <math>q = 1 - p = \tfrac{5}{6}</math>. Angenommen, man würfelt 10-mal (<math>n=10</math>), dann beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass kein einziges Mal eine 6 gewürfelt wird, <math>q^{10} = (1 - p)^{10} = \left(\tfrac{5}{6}\right)^{10} = \tfrac{9765625}{60466176} \approx 0{,}162</math>. Die Wahrscheinlichkeit, dass genau 2-mal eine 6 gewürfelt wird, beträgt <math>\binom{10}{2} \left(\tfrac{1}{6}\right)^{2} \left(\tfrac{5}{6}\right)^{8}</math>. Allgemein wird die Wahrscheinlichkeit, dass man <math>k</math>-mal eine solche Zahl würfelt <math>(0 \le k \le 10)</math>, durch die Binomialverteilung <math>B_{10,\tfrac{1}{6}}(k)</math> beschrieben.

Häufig wird der durch die Binomialverteilung beschriebene Prozess auch durch ein sogenanntes [[Urnenmodell]] illustriert. In einer Urne seien z. B. 6 Kugeln, 1 davon weiß, die anderen schwarz. Man greife nun 10-mal in die Urne, hole eine Kugel heraus, notiere deren Farbe und lege die Kugel wieder zurück. In einer speziellen Deutung dieses Prozesses wird das Ziehen einer weißen Kugel als ''positives Ereignis'' mit der Wahrscheinlichkeit <math>p</math> verstanden, das Ziehen einer nicht-weißen Kugel als ''negatives Ereignis''. Die Wahrscheinlichkeiten sind genauso verteilt wie im Beispiel mit dem Spielwürfel.

=== Münzwurf ===
Eine Münze wird 7-mal geworfen. Wenn die diskrete [[Zufallsvariable]] <math>X</math> die Anzahl der Würfel zählt, mit denen "Zahl" geworfen wird, ergibt sich für <math>X</math> die Binomialverteilung <math>B(i\mid \tfrac{1}{2},7)=\begin{cases}
  \binom 7k \tfrac{1}{2}^i (1-\tfrac{1}{2})^{7-i} &\text{falls} \quad i\in\left\{0,1,2,3,4,5,6,7\right\}\\
  0            & \text{sonst.}\end{cases}</math> mit <math>n = 7</math> und <math>p = \frac{1}{2}</math>. Die Werte und ihre [[Wahrscheinlichkeit|Wahrscheinlichkeiten]] lassen sich in folgender Tabelle zusammenfassen:
{| class="wikitable zebra left" style="text-align:center"
|<math>X=x_i</math>
|<math>0</math>
|<math>1</math>
|<math>2</math>
|<math>3</math>
|<math>4</math>
|<math>5</math>
|<math>6</math>
|<math>7</math>
|-
|<math>P(X=x_i)=p_i</math>
|<math>\frac{1}{128}</math>
|<math>\frac{7}{128}</math>
|<math>\frac{21}{128}</math>
|<math>\frac{35}{128}</math>
|<math>\frac{35}{128}</math>
|<math>\frac{21}{128}</math>
|<math>\frac{7}{128}</math>
|<math>\frac{1}{128}</math>
|}
Der [[Erwartungswert]] beträgt

: <math>{\color{BrickRed}\mu} = np = 7 \cdot \frac{1}{2} = {\color{BrickRed}3{,}5}</math>.

Die Varianz ist demnach gegeben durch

: <math>\begin{align}
\sigma^2 &= \sum_{i = 0}^7 (x_i - {\color{BrickRed}\mu})^2 p_i = (0 - {\color{BrickRed}3{,}5})^2 \cdot \frac{1}{128} + (1 - {\color{BrickRed}3{,}5})^2 \cdot \frac{7}{128} + (2 - {\color{BrickRed}3{,}5})^2 \cdot \frac{21}{128} + (3 - {\color{BrickRed}3{,}5})^2 \cdot \frac{35}{128}
\\ & \quad + (4 - {\color{BrickRed}3{,}5})^2 \cdot \frac{35}{128} + (5 - {\color{BrickRed}3{,}5})^2 \cdot \frac{21}{128} + (6 - {\color{BrickRed}3{,}5})^2 \cdot \frac{7}{128} + (7 - {\color{BrickRed}3{,}5})^2 \cdot \frac{1}{128} = \frac{7}{4} = 1{,}75
\end{align}</math>

Mit dem [[Verschiebungssatz (Statistik)|Verschiebungssatz]] erhält man ebenfalls den gleichen Wert für die Varianz:

: <math>\sigma^2=\left(\sum_{i = 0}^7 x_i^2 p_i \right) - \left(\sum_{i = 0}^7 x_i p_i \right)^2 = 0^2 \cdot \frac{1}{128} + 1^2 \cdot \frac{7}{128} + 2^2 \cdot \frac{21}{128} + 3^2 \cdot \frac{35}{128} + 4^2 \cdot \frac{35}{128} + 5^2 \cdot \frac{21}{128} + 6^2 \cdot \frac{7}{128} + 7^2 \cdot \frac{1}{128} - {\color{BrickRed}3{,}5}^2 = 1{,}75</math>.

Für die Standardabweichung ergibt sich damit:

: <math>\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{1{,}75} \approx 1{,}323</math>.

== Eigenschaften ==

=== Symmetrie ===
* Die Binomialverteilung ist in den Spezialfällen <math>p = 0</math>, <math>p = 0{,}5</math> und <math>p = 1</math> [[Symmetrische Wahrscheinlichkeitsverteilung|symmetrisch]] und ansonsten asymmetrisch.
* Die Binomialverteilung besitzt die Eigenschaft <math>B(k|p,n) = B(n-k|1-p,n).</math>

=== Erwartungswert ===
Die Binomialverteilung besitzt den [[Erwartungswert]] <math>np</math>.

'''Beweis'''

Den Erwartungswert <math>\mu</math> errechnet man direkt aus der Definition <math>\mu=\sum_{i=1}^n x_i p_i</math> und dem [[Binomischer Lehrsatz|binomischen Lehrsatz]] zu
:<math>\begin{align}
  \mu &= \sum_{k=0}^n k\binom nk p^k (1-p)^{n-k}\\
                     &= np\sum_{k=0}^n k\frac{(n-1)!}{(n-k)!k!}p^{k-1} (1-p)^{(n-1)-(k-1)}\\
                     &= np\sum_{k=1}^n \frac{(n-1)!}{(n-k)!(k-1)!}p^{k-1} (1-p)^{(n-1)-(k-1)}\\
                     &= np\sum_{k=1}^n \binom{n-1}{k-1} p^{k-1} (1-p)^{(n-1)-(k-1)}\\
                     &= np\sum_{\ell=0}^{n-1} \binom{n-1}\ell p^\ell (1-p)^{(n-1)-\ell}\quad\text{mit } \ell:=k-1\\
                     &= np\sum_{\ell=0}^m \binom m\ell p^\ell (1-p)^{m-\ell}\qquad\text{mit } m:=n-1\\
                     &= np\left(p+\left(1-p\right)\right)^m=np1^m=np.
\end{align}</math>
Alternativ kann man verwenden, dass eine <math>B(\cdot\mid p,n)</math>-verteilte Zufallsvariable <math>X</math> als eine Summe von <math>n</math> unabhängigen [[Bernoulli-Verteilung|Bernoulli-verteilten]] Zufallsvariablen <math>X_i</math> mit <math>\operatorname{E}(X_i)=p</math> geschrieben werden kann. Mit der [[Erwartungswert#Linearität|Linearität des Erwartungswertes]] folgt dann
:<math>\operatorname E(X) = \operatorname E(X_1+\dotsb+X_n)= \operatorname E(X_1)+\dotsb+\operatorname E(X_n) = np.</math>

Alternativ kann man ebenfalls mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes folgenden Beweis geben: Differenziert man bei der Gleichung

:<math>(a+b)^n=\sum_{k=0}^n \tbinom nk a^k b^{n-k}</math>
beide Seiten nach <math>a</math>, ergibt sich
:<math>n(a+b)^{n-1}=\sum_{k=0}^n k\tbinom n ka^{k-1} b^{n-k}</math>,
also
:<math>na(a+b)^{n-1}=\sum_{k=0}^n k\tbinom n ka^k b^{n-k}</math>.

Mit <math>a=p</math> und <math>b=1-p</math> folgt das gewünschte Ergebnis.

=== Varianz ===
Die Binomialverteilung besitzt die [[Varianz (Stochastik)|Varianz]] <math>npq</math> mit <math>q=1-p</math>.

'''Beweis'''

Es sei <math>X</math> eine <math>B(n, p)</math>-verteilte Zufallsvariable. Die Varianz bestimmt sich direkt aus dem [[Verschiebungssatz (Statistik)|Verschiebungssatz]] <math>\operatorname{Var}(X)=\operatorname E\left(X^2\right)-\left(\operatorname E\left(X\right)\right)^2</math> zu
:<math>\begin{align}
\operatorname{Var}(X) &= \sum_{k=0}^n k^2 \cdot P(X=k)-(np)^2\\
&= \sum_{k=0}^n k^2 \cdot {n \choose k} p^k (1-p)^{n-k}-n^2p^2\\
&= \cancel{n^2p^2} - np^2 + np \cancel{- n^2p^2}\\
&= np(1-p) \\
&= npq
\end{align}</math>
:
oder alternativ aus der [[Gleichung von Bienaymé]], angewendet auf die Varianz unabhängiger Zufallsvariablen, wenn man berücksichtigt, dass die identischen Einzelprozesse <math>X_i</math> der [[Bernoulli-Verteilung]] mit <math>\operatorname{Var}(X_i) = p(1-p)= pq</math> genügen, zu

:<math>\operatorname{Var}(X)=\operatorname{Var}(X_1+\dotsb+X_n)=\operatorname{Var}(X_1)+\dotsb+\operatorname{Var}(X_n)=n \operatorname{Var}(X_1)=np\left(1-p\right)=npq.</math>
Die zweite Gleichheit gilt, weil die Einzelexperimente unabhängig sind, sodass die Einzelvariablen unkorreliert sind.

=== Variationskoeffizient ===
Aus Erwartungswert und Varianz erhält man den [[Variationskoeffizient]]en
:<math>\operatorname{VarK}(X) = \sqrt{\frac{1-p}{np}}.</math>

=== Schiefe ===
Die [[Schiefe (Statistik)|Schiefe]] ergibt sich zu
:<math>\operatorname v(X) = \frac{1-2p}{\sqrt{np(1-p)}}.</math>

=== Wölbung ===
Die [[Wölbung (Statistik)|Wölbung]] lässt sich ebenfalls geschlossen darstellen als
:<math>\beta_2 = 3+\frac{1-6pq}{npq}.</math>

Damit ist der [[Wölbung (Statistik)#Exzess|Exzess]]
:<math>\gamma_2 = \frac{1-6pq}{npq}.</math>

=== Modus ===
Der [[Modus (Stochastik)|Modus]], also der Wert mit der maximalen Wahrscheinlichkeit, ist für <math>p<1</math> gleich <math>k=\lfloor np+p\rfloor</math> und für <math>p=1</math> gleich <math>n</math>. Falls <math>np+p</math> eine natürliche Zahl ist, ist <math>k= np+p-1</math> ebenfalls ein Modus. Falls der Erwartungswert eine natürliche Zahl ist, ist der Erwartungswert gleich dem Modus.

'''Beweis'''

Sei ohne Einschränkung <math>0<p<1</math>. Wir betrachten den Quotienten

:<math>\alpha_k:=\frac {B(k+1 \mid p,n)}{B(k \mid p,n)} =\frac {\,\frac {n!}{(k+1)!(n-k-1)!}\,}{\frac {n!}{k!(n-k)!}}\cdot\frac{p^{k+1}(1-p)^{n-k-1}}{p^k (1-p)^{n-k}}=\frac{n-k}{k+1}\cdot\frac p{1-p}</math>.

Nun gilt <math>\alpha_k>1</math>, falls <math>k<np+p-1</math> und <math>\alpha_k<1</math>, falls <math>k>np+p-1</math>. Also:

:<math>\begin{align}
k > (n+1)p-1 \Rightarrow \alpha_k < 1 \Rightarrow B(k+1 \mid p,n) < B(k \mid p,n) \\
k = (n+1)p-1 \Rightarrow \alpha_k = 1 \Rightarrow B(k+1 \mid p,n) = B(k \mid p,n) \\
k < (n+1)p-1 \Rightarrow \alpha_k > 1 \Rightarrow B(k+1 \mid p,n) > B(k \mid p,n)
\end{align}</math>

Und nur im Fall <math>np+p-1\in\N</math> hat der Quotient den Wert 1, d.&nbsp;h. <math>B(np+p-1\mid n,p)=B(np+p \mid n,p)</math>.

=== Median ===
Es ist nicht möglich, eine allgemeine Formel für den Median der Binomialverteilung anzugeben. Daher sind verschiedene Fälle zu betrachten, die einen geeigneten Median liefern:

* Ist <math>np</math> eine natürliche Zahl, dann stimmen Erwartungswert, Median und Modus überein und sind gleich <math>np</math>.<ref>{{cite journal|last=Neumann|first=P.|year=1966|title=Über den Median der Binomial- and Poissonverteilung|journal=Wissenschaftliche Zeitschrift der Technischen Universität Dresden|volume=19|pages=29–33|language=German}}</ref><ref>Lord, Nick. (July 2010). "Binomial averages when the mean is an integer", [[The Mathematical Gazette]] 94, 331–332.</ref>
* Ein Median <math>m</math> liegt im Intervall <math>\lfloor np \rfloor \leq m \leq \lceil np \rceil</math>.<ref name="KaasBuhrman">{{cite journal|first1=R.|last1=Kaas|first2=J.M.|last2=Buhrman|title=Mean, Median and Mode in Binomial Distributions|journal=Statistica Neerlandica|year=1980|volume=34|issue=1|pages=13–18|doi=10.1111/j.1467-9574.1980.tb00681.x}}</ref> Hierbei bezeichnen <math>\lfloor \cdot \rfloor</math> die [[Abrundungsfunktion]] und <math>\lceil \cdot \rceil</math> die [[Aufrundungsfunktion]].
* Ein Median <math>m</math> kann nicht zu stark vom Erwartungswert abweichen: <math>|m-np| \leq \min \{ \ln 2 , \max \{p,1-p\} \}</math>.<ref name="Hamza">{{Cite journal
| last1 = Hamza | first1 = K.
| doi = 10.1016/0167-7152(94)00090-U
| title = The smallest uniform upper bound on the distance between the mean and the median of the binomial and Poisson distributions
| journal = Statistics & Probability Letters
| volume = 23
| pages = 21–25
| year = 1995
| pmid = 
| pmc = 
}}</ref>
* Der Median ist eindeutig und stimmt mit <math>m =</math> [[Rundung|round]]<math>(np)</math> überein, wenn entweder <math>p \leq 1- \ln 2</math> oder <math>p \geq \ln 2</math> oder <math>|m-np| \leq \min \{p, 1-p\}</math> (außer wenn <math>p=1/2</math> und <math>n</math> gerade ist).<ref name="KaasBuhrman" /><ref name="Hamza" />
* Ist <math>p=1/2</math> und <math>n</math> ungerade, so ist jede Zahl <math>m</math> im Intervall <math>1/2(n-1) \leq m \leq 1/2(n+1)</math> ein Median der Binomialverteilung mit Parametern <math>p</math> und <math>n</math>. Ist <math>p=1/2</math> und <math>n</math> gerade, so ist <math>m = n/2</math> der eindeutige Median.

=== Kumulanten ===
Analog zur [[Bernoulli-Verteilung]] ist die [[kumulantenerzeugende Funktion]]
:<math>g_X(t)=n \ln (pe^t+q)</math>.
Damit sind die ersten [[Kumulante]]n <math>\kappa_1=np, \kappa_2=npq</math> und es gilt die Rekursionsgleichung
:<math>\kappa_{k+1}=p (1-p) \frac{d\kappa_k}{dp}.</math>

=== Charakteristische Funktion ===
Die [[Charakteristische Funktion (Stochastik)|charakteristische Funktion]] hat die Form
:<math>\phi_X(s) = \left(\left(1-p\right)+p\mathrm{e}^{\mathrm{i}s}\right)^n = \left(q+p\mathrm{e}^{\mathrm{i}s}\right)^n.</math>

=== Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion ===
Für die [[wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion]] erhält man
:<math>g_X(s) = (ps+(1-p))^n.</math>

=== Momenterzeugende Funktion ===
Die [[momenterzeugende Funktion]] der Binomialverteilung lautet
:<math>
\begin{align}
m_X(s) & = \operatorname E\left(e^{sX}\right) \\
& = \sum_{k=0}^n \mathrm{e}^{sk} \cdot \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \\
& = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (\mathrm{e}^s p)^k (1-p)^{n-k} \\
& = \left(p \cdot\mathrm{e}^s + \left(1-p\right)\right)^n.
\end{align}</math>

=== Summe binomialverteilter Zufallsgrößen ===
Für die Summe <math>Z=X+Y</math> zweier unabhängiger binomialverteilter Zufallsgrößen <math>X</math> und <math>Y</math> mit den Parametern <math>n_1</math>, <math>p</math> und <math>n_2</math>, <math>p</math> erhält man die Einzelwahrscheinlichkeiten durch Anwendung der [[Vandermondesche Identität|Vandermondeschen Identität]]
:<math>\begin{align}
  \operatorname P(Z=k) &= \sum_{i=0}^k\left[\binom{n_1}i p^i (1-p)^{n_1-i}\right]\left[\binom{n_2}{k-i} p^{k-i} (1-p)^{n_2-k+i}\right]\\
                       &= \binom{n_1+n_2}k p^k (1-p)^{n_1+n_2-k} \qquad (k=0, 1, \dotsc, n_1+n_2),
\end{align}</math>
also wieder eine binomialverteilte Zufallsgröße, jedoch mit den Parametern <math>n_1+n_2</math> und <math>p</math>. Somit gilt für die [[Faltung (Stochastik)|Faltung]]
:<math>\operatorname{Bin}(n,p)*\operatorname{Bin}(m,p)=\operatorname{Bin}(n+m,p)</math>

Die Binomialverteilung ist also [[Reproduktivität|reproduktiv]] für fixiertes <math>p</math> bzw. bildet eine [[Faltungshalbgruppe]].

Wenn die Summe <math>Z=X+Y</math> bekannt ist, folgt jede der Zufallsvariablen <math>X</math> und <math>Y</math> unter dieser Bedingung einer hypergeometrischen Verteilung. Dazu berechnet man die [[bedingte Wahrscheinlichkeit]]:

:<math>\begin{align}
  P(X=\ell|Z=k) &= \frac{P(X=\ell\cap Z=k)}{P(Z=k)}\\
                &= \frac{P(X=\ell\cap Y=k-\ell)}{P(Z=k)}\\
                &= \frac{P(X=\ell) P(Y=k-\ell)}{P(Z=k)}\\
                &= \frac{\binom{n_1}\ell p^\ell (1-p)^{n_1-\ell} \binom{n_2}{k-\ell} p^{k-\ell} (1-p)^{n_2-k+\ell}} {\binom{n_1+n_2}k p^k (1-p)^{n_1+n_2-k}}\\
                &= \frac{\binom{n_1}\ell \binom{n_2}{k-\ell}} {\binom{n_1+n_2}k}\\
                &=h(\ell;n_1+n_2;n_1;k)
\end{align}</math>

Dies stellt eine [[hypergeometrische Verteilung]] dar.

Allgemein gilt: Wenn die <math>m</math> [[Zufallsvariable]]n <math>X_i</math> stochastisch unabhängig sind und den Binomialverteilungen <math>B(n_i,p)</math> genügen, dann ist auch die Summe <math>X_1+X_2+\dotsb+X_m</math> binomialverteilt, jedoch mit den Parametern <math>n_1+n_2+\dotsb+n_m</math> und <math>p</math>. Addiert man binomialverteilte Zufallsvariablen <math>X_1, X_2</math> mit <math> p_1 \neq p_2</math>, dann erhält man eine [[verallgemeinerte Binomialverteilung]].

== Beziehung zu anderen Verteilungen ==
=== Beziehung zur Bernoulli-Verteilung ===
Ein Spezialfall der Binomialverteilung für <math>n = 1</math> ist die [[Bernoulli-Verteilung]]. Die Summe von unabhängigen und identischen Bernoulli-verteilten Zufallsgrößen genügt demnach der Binomialverteilung.

=== Beziehung zur verallgemeinerten Binomialverteilung ===
Die Binomialverteilung ist ein Spezialfall der [[Verallgemeinerte Binomialverteilung|verallgemeinerten Binomialverteilung]] mit <math>p_i=p_j</math> für alle <math>i,j \in \{1, \dotsc, n\}</math>.
Genauer ist sie für festen Erwartungswert und feste Ordnung diejenige verallgemeinerte Binomialverteilung mit maximaler [[Entropie (Informationstheorie)|Entropie]].<ref name="Harremoes2001">{{cite journal|author=Peter Harremoës |date=2001 |title=Binomial and Poisson Distributions as Maximum Entropy Distributions |publisher=[[IEEE Information Theory Society]] |journal=[[IEEE Transactions on Information Theory]] |volume=47 |pages=2039–2041 |doi=10.1109/18.930936}}</ref>

=== Übergang zur Normalverteilung ===
Nach dem [[Satz von Moivre-Laplace]] konvergiert die Binomialverteilung im Grenzfall <math>n\to\infty</math> gegen eine [[Normalverteilung]], d.&nbsp;h., die Normalverteilung kann als brauchbare Näherung der Binomialverteilung verwendet werden, wenn der Stichprobenumfang hinreichend groß und der Anteil der gesuchten Ausprägung nicht zu klein ist. Mit dem [[Galtonbrett]] kann man die Annäherung an die Normalverteilung experimentell nachempfinden.

Es gilt <math>\mu=np</math> und <math>\sigma^2=npq.</math> Durch Einsetzen in die Verteilungsfunktion <math>\Phi</math> der Standardnormalverteilung folgt

:<math>B(k \mid p,n)\approx\Phi\left({k+0{,}5-np\over\sqrt{npq}}\right)- \ \Phi\left({k-0{,}5-np\over\sqrt{npq}}\right) \approx {1\over\sqrt{npq}} \cdot \ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \,\cdot \ \exp\left(-{{(k-np)}^2\over 2npq}\right).</math>

Wie zu sehen, ist das Ergebnis damit nichts anderes als der Funktionswert der Normalverteilung für <math>x = k</math>, <math>\mu = n\cdot p</math> sowie <math>\sigma^2 = n\cdot p\cdot q</math> (den man sich anschaulich auch als Flächeninhalt des <math>k</math>-ten Streifens des Histogramms der ''standardisierten'' Binomialverteilung mit <math>1/\sigma</math> als dessen Breite sowie <math>\Phi((k-\mu)/\sigma)</math> als dessen Höhe vorstellen kann).<ref>M. Brokate, N. Henze, F. Hettlich, A. Meister, G. Schranz-Kirlinger, Th. Sonar: ''Grundwissen Mathematikstudium: Höhere Analysis, Numerik und Stochastik.'' Springer-Verlag, 2015, S. 890.</ref> Die Annäherung der Binomialverteilung an die Normalverteilung wird bei der [[Normal-Approximation]] genutzt, um schnell die Wahrscheinlichkeit vieler Stufen der Binomialverteilung zu bestimmen, zumal dann, wenn für diese keine Tabellenwerte (mehr) vorliegen.

=== Übergang zur Poisson-Verteilung ===
Eine asymptotisch asymmetrische Binomialverteilung, deren Erwartungswert <math>np</math> für <math>n\rightarrow\infty</math> und <math>p\rightarrow 0</math> gegen eine Konstante <math>\lambda</math> konvergiert, kann man durch die [[Poisson-Verteilung]] annähern. Der Wert <math>\lambda</math> ist dann für alle in der Grenzwertbildung betrachteten Binomialverteilungen wie auch für die resultierende Poisson-Verteilung der Erwartungswert. Diese Annäherung wird auch als [[Poisson-Approximation]], Poissonscher Grenzwertsatz oder als das Gesetz seltener Ereignisse bezeichnet.

:<math>\begin{align}B(k \mid p,n) &= {n \choose k} p^{k}\, (1-p)^{n-k}
=\frac{n!}{(n-k)! \, k!}\left(\frac{np}{n}\right)^k\left(1-\frac{np}{n}\right)^{n-k}
\\ &=\frac{n (n-1)(n-2) \dotsm (n-k+1)}{n^k}\, \frac{(np)^k}{k!}\left(1-\frac{np}{n}\right)^{n-k}
\\ &=\left(1-\frac{1}{n}\right)\left(1-\frac{2}{n}\right) \dotsm \left(1-\frac{k-1}{n}\right)\frac{(np)^k}{k!} \left(1-\frac{(np)}{n}\right)^{n-k}
\\ &\to \, \frac{\lambda^k}{k!} \mathrm{e}^{-\lambda},\quad\text{mit}\quad\lambda=n\cdot{}p\quad\text{wenn}\quad n\to\infty\quad \text{und}\quad p\rightarrow 0 \end{align}</math>

Eine Faustregel besagt, dass diese Näherung brauchbar ist, wenn <math>n\geq 50</math> und <math>p\leq 0{,}05</math>.

Die Poisson-Verteilung ist also die Grenzverteilung der Binomialverteilung für große <math>n</math> und kleine <math>p</math>, es handelt sich hierbei um [[Konvergenz in Verteilung]].

=== Beziehung zur geometrischen Verteilung ===
Die Zahl der Misserfolge bis zum erstmaligen Eintritt eines Erfolgs wird durch die [[geometrische Verteilung]] beschrieben.

=== Beziehung zur negativen Binomialverteilung ===
Die [[negative Binomialverteilung]] hingegen beschreibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Anzahl der Versuche, die erforderlich sind, um in einem [[Bernoulli-Prozess]] eine vorgegebene Anzahl von Erfolgen zu erzielen.

=== Beziehung zur hypergeometrischen Verteilung ===
Bei der Binomialverteilung werden die ausgewählten Stichproben wieder in die Auswahlmenge zurückgeführt, können also zu einem späteren Zeitpunkt erneut ausgewählt werden. Werden im Gegensatz dazu die Stichproben nicht in die [[Grundgesamtheit]] zurückgegeben, kommt die [[hypergeometrische Verteilung]] zur Anwendung. Die beiden Verteilungen gehen bei großem Umfang <math>N</math> der Grundgesamtheit und geringem Umfang <math>n</math> der Stichproben ineinander über. Als Faustregel gilt, dass für <math>n/N\leq 0{,}05</math> auch bei Nichtzurücklegen der Stichproben die Binomialverteilung statt der mathematisch anspruchsvolleren hypergeometrischen Verteilung verwendet werden kann, da beide in diesem Fall nur unwesentlich voneinander abweichende Ergebnisse liefern.

=== Beziehung zur Multinomialverteilung ===
Die Binomialverteilung ist ein Spezialfall der [[Multinomialverteilung]].

=== Beziehung zur Rademacher-Verteilung ===
Ist <math>Y</math> Binomialverteilt zum Parameter <math>p=0{,}5</math> und <math>n</math>, so lässt sich <math>Y</math> als skalierte Summe von <math>n</math> [[Rademacher-Verteilung|Rademacher-verteilten]] Zufallsvariablen <math>X_1, \dotsc, X_n</math> darstellen:
:<math>Y=0{,}5\left(n+\sum_{i=1}^nX_i\right)</math>

Dies wird insbesondere beim symmetrischen [[Random Walk]] auf <math>\mathbb{Z}</math> verwendet.

=== Beziehung zur Panjer-Verteilung ===
Die Binomialverteilung ist ein Spezialfall der [[Panjer-Verteilung]], welche die Verteilungen Binomialverteilung, [[Negative Binomialverteilung]] und [[Poisson-Verteilung]] in einer Verteilungsklasse vereint.

=== Beziehung zur Betaverteilung ===
Für viele Anwendungen ist es nötig, die Verteilungsfunktion
:<math>\sum_{i=0}^k B(i \mid p,n)</math>
konkret auszurechnen (beispielsweise bei statistischen Tests oder für [[Konfidenzintervall einer unbekannten Wahrscheinlichkeit|Konfidenzintervalle]]).

Hier hilft die folgende Beziehung zur [[Betaverteilung]]:
:<math>\sum_{i=0}^k \binom{n}{i} \cdot p^i \cdot (1-p)^{n-i}=\operatorname{Beta}(1-p;n-k;k+1)</math>

Diese lautet für ganzzahlige positive Parameter <math>a</math> und <math>b</math>:
:<math>\operatorname{Beta}(x;a;b)={(a + b - 1)!\over (a-1)! \cdot (b-1)!}\int_0^x u^{a-1} (1-u)^{b-1}\, \mathrm{d}u</math>

Um die Gleichung
:<math>\sum_{i=0}^k \binom{n}{i} \cdot p^i \cdot (1-p)^{n-i} = {n!\over (n-k-1)! \cdot k!}\int_0^{1-p} u^{n-k-1} (1-u)^{k}\, \mathrm{d}u</math>
zu beweisen, kann man folgendermaßen vorgehen:
* Die linke und rechte Seite stimmen für <math>p=0</math> überein (beide Seiten sind gleich 1).
* Die Ableitungen nach <math>p</math> stimmen für die linke und rechte Seite der Gleichung überein, sie sind nämlich beide gleich <math>-{n!\over (n-k-1)! \cdot k!} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k-1}</math>.

=== Beziehung zur Beta-Binomialverteilung ===
Eine Binomialverteilung, deren Parameter <math>p</math> Beta-verteilt ist, nennt man eine [[Beta-Binomialverteilung]]. Sie ist eine [[Mischverteilung]].

=== Beziehung zur Pólya-Verteilung ===
Die Binomialverteilung ist ein Spezialfall der [[Pólya-Verteilung]] (wähle <math>c=0</math>).

== Beispiele ==
=== Symmetrische Binomialverteilung (''p'' = 1/2) ===
<gallery widths="280" heights="200">
   Bindis-plain.png|''p'' = 0,5 und ''n'' = 4, 16, 64
   Bindis-sym.png|Mittelwert abgezogen
   Bindis-rescaled.png|Skalierung mit Standardabweichung
</gallery>

Dieser Fall tritt auf beim <math>n</math>-fachen Münzwurf mit einer fairen Münze (Wahrscheinlichkeit für Kopf gleich der für Zahl, also gleich 1/2). Die erste Abbildung zeigt die Binomialverteilung für <math>p=0{,}5</math> und für verschiedene Werte von <math>n</math> als Funktion von <math>k</math>. Diese Binomialverteilungen sind spiegelsymmetrisch um den Wert <math>k=n/2</math>:

[[Datei:Bindis gauss.png|250px|mini|Binomialverteilungen mit ''p'' = 0,5 (mit Verschiebung um −''n''/2 und Skalierung) für ''n''&nbsp;= 4, 6, 8, 12, 16, 23, 32, 46]]
[[Datei:Bindis-log.png|250px|mini|Die gleichen Daten in halblogarithmischer Auftragung]]

:<math>B(k \mid 1/2;n) =B(n-k \mid 1/2;n)</math>
Dies ist in der zweiten Abbildung veranschaulicht.
Die Breite der Verteilung wächst proportional zur [[Standardabweichung (Wahrscheinlichkeitstheorie)|Standardabweichung]] <math>\sigma = \frac{\sqrt{n}}{2}</math>. Der Funktionswert bei <math>k=n/2</math>, also das Maximum der Kurve, sinkt proportional zu <math>\sigma</math>.

Dementsprechend kann man Binomialverteilungen mit unterschiedlichem <math>n</math> aufeinander [[Skalierung|skalieren]], indem man die [[Abszisse]] <math>k-n/2</math> durch <math>\sigma</math> teilt und die [[Ordinate]] mit <math>\sigma</math> multipliziert (dritte Abbildung oben).

Die nebenstehende Graphik zeigt noch einmal reskalierte Binomialverteilungen, nun für andere Werte von <math>n</math> und in einer Auftragung, die besser verdeutlicht, dass sämtliche Funktionswerte mit steigendem <math>n</math> gegen eine gemeinsame Kurve [[Konvergenz (Mathematik)|konvergieren]]. Indem man die [[Stirling-Formel]] auf die [[Binomialkoeffizient]]en anwendet, erkennt man, dass diese Kurve (im Bild schwarz durchgezogen) eine [[Normalverteilung|Gaußsche Glockenkurve]] ist:
:<math>f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\, {\mathrm e}^{-\frac{x^2}{2}}</math>.
Dies ist die [[Wahrscheinlichkeitsdichte]] zur [[Normalverteilung|Standardnormalverteilung]] <math>\mathcal{N}(0,1)</math>. Im [[Zentraler Grenzwertsatz|zentralen Grenzwertsatz]] wird dieser Befund so verallgemeinert, dass auch Folgen anderer diskreter Wahrscheinlichkeitsverteilungen gegen die Normalverteilung konvergieren.

Die zweite nebenstehende Graphik zeigt die gleichen Daten in einer halblogarithmischen Auftragung. Dies ist dann zu empfehlen, wenn man überprüfen möchte, ob auch seltene Ereignisse, die um mehrere Standardabweichungen vom Erwartungswert abweichen, einer Binomial- oder Normalverteilung folgen.

=== Ziehen von Kugeln ===
In einem Behälter befinden sich 80 Kugeln, davon sind 16 gelb. Es wird 5-mal eine Kugel entnommen und anschließend wieder zurückgelegt. Wegen des Zurücklegens ist die Wahrscheinlichkeit, eine gelbe Kugel zu ziehen, bei allen Entnahmen gleich groß, und zwar 16/80 = 1/5. Der Wert <math>B\left(k \mid\tfrac{1}{5}; 5\right)</math> gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass genau <math>k</math> der entnommenen Kugeln gelb sind. Als Beispiel rechnen wir <math>k=3</math>:
:<math>B\left(3 \mid\tfrac{1}{5};5\right)=\binom{5}{3}\cdot\left(\frac{1}{5}\right)^3\cdot\left(\frac{4}{5}\right)^2 = \frac{5\cdot 4}{1\cdot 2}\cdot\frac{1}{125}\cdot\frac{16}{25}=\frac{64}{1250}=0{,}0512</math>
In ungefähr 5 % der Fälle zieht man also genau 3 gelbe Kugeln.

{| cellspacing="3" cellpadding="2"
|-
|colspan="2" style="background:NavajoWhite; font-size:larger; text-align:center;"| '''B(k | 0,2; 5)'''
|-
|style="background:NavajoWhite; text-align:right"| k
|style="background:NavajoWhite"| Wahrscheinlichkeit in %
|-
|style="background:NavajoWhite; text-align:right"| 0 ||style="background:LemonChiffon"| {{0|00}}32,768
|-
|style="background:NavajoWhite; text-align:right"| 1 ||style="background:LemonChiffon"| {{0|00}}40,96
|-
|style="background:NavajoWhite; text-align:right"| 2 ||style="background:LemonChiffon"| {{0|00}}20,48
|-
|style="background:NavajoWhite; text-align:right"| 3 ||style="background:LemonChiffon"| {{0|000}}5,12
|-
|style="background:NavajoWhite; text-align:right"| 4 ||style="background:LemonChiffon"| {{0|000}}0,64
|-
|style="background:NavajoWhite; text-align:right"| 5
|style="background:LemonChiffon"| {{0|000}}0,032
|-
|style="background:NavajoWhite"| ∑ ||style="background:LemonChiffon"| {{0|0}}100
|-
|style="background:NavajoWhite"| Erw.Wert ||style="background:LemonChiffon"| {{0|000}}1
|-
|style="background:NavajoWhite"| Varianz ||style="background:LemonChiffon"| {{0|000}}0.8
|}

=== Anzahl der Personen mit Geburtstag am Wochenende ===
Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person in diesem Jahr an einem Wochenende Geburtstag hat, betrage (der Einfachheit halber) 2/7. In einem Raum halten sich 10 Personen auf. Der Wert <math>B(k \mid 2/7; 10)</math> gibt (im vereinfachten Modell) die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass genau <math>k</math> der Anwesenden in diesem Jahr an einem Wochenende Geburtstag haben.

{| cellspacing="3" cellpadding="2"
|-
|colspan="2" style="background:NavajoWhite; font-size:larger; text-align:center;"| '''B(k | 2/7; 10)'''
|-
|style="background:NavajoWhite; text-align:right"| k
|style="background:NavajoWhite"| Wahrscheinlichkeit in % (gerundet)
|-
|style="background:NavajoWhite; text-align:right"| 0
|style="background:LemonChiffon"| {{0|000}}3,46
|-
|style="background:NavajoWhite; text-align:right"| 1
|style="background:LemonChiffon"| {{0|00}}13,83
|-
|style="background:NavajoWhite; text-align:right"| 2
|style="background:LemonChiffon"| {{0|00}}24,89
|-
|style="background:NavajoWhite; text-align:right"| 3
|style="background:LemonChiffon"| {{0|00}}26,55
|-
|style="background:NavajoWhite; text-align:right"| 4
|style="background:LemonChiffon"| {{0|00}}18,59
|-
|style="background:NavajoWhite; text-align:right"| 5
|style="background:LemonChiffon"| {{0|000}}8,92
|-
|style="background:NavajoWhite; text-align:right"| 6
|style="background:LemonChiffon"| {{0|000}}2,97
|-
|style="background:NavajoWhite; text-align:right"| 7
|style="background:LemonChiffon"| {{0|000}}0,6797
|-
|style="background:NavajoWhite; text-align:right"| 8
|style="background:LemonChiffon"| {{0|000}}0,1020
|-
|style="background:NavajoWhite; text-align:right"| 9
|style="background:LemonChiffon"| {{0|000}}0,009063
|-
|style="background:NavajoWhite; text-align:right"| 10
|style="background:LemonChiffon"| {{0|000}}0,0003625
|-
|style="background:NavajoWhite"| ∑ ||style="background:LemonChiffon"| {{0|0}}100
|-
|style="background:NavajoWhite"| Erw.Wert
|style="background:LemonChiffon"| {{0|000}}2,86
|-
|style="background:NavajoWhite"| Varianz
|style="background:LemonChiffon"| {{0|000}}2,04
|}

=== Gemeinsamer Geburtstag im Jahr ===
253 Personen sind zusammengekommen. Der Wert <math>B(k \mid 1/365; 253)</math> gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass genau <math>k</math> Anwesende an einem zufällig gewählten Tag Geburtstag haben (ohne Beachtung des Jahrganges).

{| cellspacing="3" cellpadding="2"
|-
|colspan="2" style="background:NavajoWhite; font-size:larger; text-align:center;"| '''B(k | 1/365; 253)'''
|-
|style="background:NavajoWhite; text-align:right"| k
|style="background:NavajoWhite"| Wahrscheinlichkeit in % (gerundet)
|-
|style="background:NavajoWhite; text-align:right"| 0
|style="background:LemonChiffon"| {{0|0}}49,95
|-
|style="background:NavajoWhite; text-align:right"| 1
|style="background:LemonChiffon"| {{0|0}}34,72
|-
|style="background:NavajoWhite; text-align:right"| 2
|style="background:LemonChiffon"| {{0|0}}12,02
|-
|style="background:NavajoWhite; text-align:right"| 3
|style="background:LemonChiffon"| {{0|00}}2,76
|-
|style="background:NavajoWhite; text-align:right;"| 4
|style="background:LemonChiffon"| {{0|00}}0,47
|}

Die Wahrscheinlichkeit, dass „irgendjemand“ dieser 253 Personen, d.&nbsp;h. eine oder mehrere Personen, an diesem Tag Geburtstag hat, beträgt somit <math>1 - B(0 \mid 1/365; 253) = 50.05\,\%</math>.

Bei 252 Personen beträgt die Wahrscheinlichkeit <math>1 - B(0 \mid 1/365; 252) = 49.91\,\%</math>. Das heißt, die Schwelle der Anzahl von Personen, ab der die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine dieser Personen an einem zufällig gewählten Tag Geburtstag hat, größer als 50 % wird, beträgt 253 Personen (siehe dazu auch [[Geburtstagsparadoxon]]).

Die direkte Berechnung der Binomialverteilung kann aufgrund der großen Fakultäten schwierig sein. Eine Näherung über die [[Poisson-Verteilung]] ist hier zulässig {{nowrap|1=(<math>n>50, p<0{,}05</math>).}} Mit dem Parameter <math>\lambda = np = 253/365</math> ergeben sich folgende Werte:<ref>Im konkreten Fall muss man für die Binomialverteilung <math>\left(\tfrac{364}{365}\right)^{253}</math> ausrechnen und für die Poisson-Verteilung <math>e^{-253/365}</math>. Beides ist mit dem Taschenrechner einfach. Bei einer Rechnung mit Papier und Bleistift benötigt man mit der Exponentialreihe 8 oder 9 Glieder für den Wert der Poisson-Verteilung, während man für die Binomialverteilung durch mehrfaches Quadrieren auf die 256.&nbsp;Potenz kommt und dann noch durch die dritte Potenz teilt.</ref>

{| cellspacing="3" cellpadding="2"
|-
|colspan="2" style="background:NavajoWhite; font-size:larger; text-align:center;"| '''P<sub>253/365</sub>(k)'''
|-
|style="background:NavajoWhite; text-align:right"| k
|style="background:NavajoWhite"| Wahrscheinlichkeit in % (gerundet)
|-
|style="background:NavajoWhite; text-align:right"| 0
|style="background:LemonChiffon"| {{0|0}}50
|-
|style="background:NavajoWhite; text-align:right"| 1
|style="background:LemonChiffon"| {{0|0}}34,66
|-
|style="background:NavajoWhite; text-align:right"| 2
|style="background:LemonChiffon"| {{0|0}}12,01
|-
|style="background:NavajoWhite; text-align:right"| 3
|style="background:LemonChiffon"| {{0|00}}2,78
|-
|style="background:NavajoWhite; text-align:right"| 4
|style="background:LemonChiffon"| {{0|00}}0,48
|}

=== Konfidenzintervall für eine Wahrscheinlichkeit ===
In einer Meinungsumfrage unter <math>n</math> Personen geben <math>k</math> Personen an, die Partei A zu wählen. Bestimme ein 95-%-Konfidenzintervall für den unbekannten Anteil der Wähler, die Partei A wählen, in der Gesamtwählerschaft.

Eine Lösung des Problems ''ohne'' Rückgriff auf die Normalverteilung findet sich im Artikel [[Konfidenzintervall für die Erfolgswahrscheinlichkeit der Binomialverteilung]].

=== Auslastungsmodell ===
Mittels folgender Formel lässt sich die Wahrscheinlichkeit dafür errechnen, dass <math>k</math> von <math>n</math> Personen eine Tätigkeit, die durchschnittlich <math>m</math> Minuten pro Stunde dauert, gleichzeitig ausführen.

:<math>P(X=k) = {n \choose k}\cdot\left(\frac{m}{60}\right)^k\cdot\left(1-\frac{m}{60}\right)^{n-k}</math>

=== Statistischer Fehler der Klassenhäufigkeit in Histogrammen ===
Die Darstellung unabhängiger Messergebnisse in einem [[Histogramm]] führt zur Gruppierung der Messwerte in Klassen.

Die Wahrscheinlichkeit für <math>n_i</math> Einträge in Klasse <math>i</math> ist gegeben durch die Binomialverteilung
:<math>B_{n,p_i}(n_i)</math> mit <math>n = \sum n_i</math> und <math>p_i = \frac{n_i}{n}</math>.

Erwartungswert und Varianz der <math>n_i</math> sind dann

:<math>E(n_i) = n p_i = n_i</math> und <math>V(n_i) = n p_i (1-p_i)= n_i\left(1-\frac{n_i}{n}\right)</math>.

Damit liegt der statistische Fehler der Anzahl von Einträgen in Klasse <math>i</math> bei

:<math>\sigma (n_i) = \sqrt{n_i\left(1-\frac{n_i}{n} \right)}</math>.

Bei großer Zahl von Klassen wird <math>p_i</math> klein und <math>\sigma (n_i) \approx \sqrt{n_i}</math>.

So lässt sich beispielsweise die statistische Genauigkeit von [[Monte-Carlo-Simulation]]en bestimmen.

== Zufallszahlen ==
Zufallszahlen zur Binomialverteilung werden üblicherweise mit Hilfe der [[Inversionsmethode]] erzeugt.

Alternativ kann man auch ausnutzen, dass die Summe von [[Bernoulli-Verteilung|Bernoulli-verteilten]] Zufallsvariablen binomialverteilt ist. Dazu erzeugt man <math>n</math> Bernoulli-verteilte Zufallszahlen und summiert sie auf; das Ergebnis ist eine binomialverteilte Zufallszahl.

== Bezeichnungen ==
Der Aufruf der Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung bei [[Taschenrechner]]n und [[Mathematische Software|Mathematischer Software]] geschieht meistens mit <code>binom</code>, <code>pdfbin</code> oder <code>Binomialpdf</code> (''Binomial probability density function''). Die kumulierte Verteilungsfunktion wird mit <code>cdfbin</code> oder <code>Binomialcdf</code> (''Binomial cumulative distribution function'') abgekürzt.<ref>{{Internetquelle |url=https://help.scilab.org/docs/6.1.1/en_US/section_33491857221a48388b878311e9f4b67e.html |titel=Scilab Online Help - Statistics|abruf=2022-01-13}}</ref>

== Weblinks ==
{{Wikibooks|Statistik: Binomialverteilung|Binomialverteilung}}
{{Wikibooks|Mathematrix: Kompass/ Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung/ Binomialverteilung|<math>\begin{smallmatrix}{\mathbf{MATHE} \mu \alpha T\mathbb R ix}\end{smallmatrix}</math> |suffix=Mathematik für die Schule}}
* [http://brinkmann-du.de/mathe/gost/stoch_01_11.htm Bernoulli-Versuche und Binomialverteilung]
* [http://matheguru.com/stochastik/binomialverteilung.html Rechner für einfache und kumulierte Wahrscheinlichkeiten der Binomialverteilung]
* [http://stattrek.com/tables/binomial.aspx Berechnung der Binomialverteilung für einfache und kumulierte Wahrscheinlichkeiten] (''{{enS}}'')
* [http://www.dl.mb-zwei.de/Mathematik/Mathematik-Binomialverteilung.pdf Umfangreiches Tabellenwerk] (PDF; 10&nbsp;MB)
* [http://www.geogebra.org/de/upload/files/dynamische_arbeitsblaetter/lwolf/binomialnormalverteilung/inhalt.html Binomial- und Normalverteilung] – Online-Lehrgang mit dynamischen Arbeitsblättern (Java-Plugin benötigt)
* [http://media.kswillisau.ch/nt/zufall/index.html Interaktive Simulation Münzwurf] – inkl. Aufgabenstellungen (HTML5 ohne Plugin)
* [http://www.uni-konstanz.de/FuF/wiwi/heiler/os/vt-bin.html Interaktive Animation] – Universität Konstanz (Java-Plugin benötigt)
* [http://www.hutschdorf.de/flash/binomial.htm Interaktive Animation] (Flash-Plugin benötigt)
* [http://www.leidenuniv.nl/fsw/verduin/stathist/1stword.htm Earliest Known Uses of Some of the Words of Probability & Statistics] – Kees Verduin.

== Einzelnachweise ==
<references />

{{Navigationsleiste Wahrscheinlichkeitsverteilungen}}

[[Kategorie:Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung]]
[[Kategorie:Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung]]