Diskussion:Binomialverteilung

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Median

Im Text gibt es zuvor und auch jetzt zwei unterschiedene Formeln für den Median. Nijdam (Diskussion) 14:57, 16. Jan. 2016 (CET)

Definitionsmenge?

Hallo allerseits, kann mal jemand der Vollprofis etwas zum Definitionsbereich bzw. der Definitionsmenge der Binomialverteilung schreiben? Das nämlich ist ein Thema, mit dem man sehr schnell im dunklen Wald landen kann. So würde ich meinerseits erst einmal davon ausgehen, dass es sich bei dieser Verteilung um eine Funktion handelt, die eine Teilmenge der natürlichen Zahlen {0,...,n} auf das reelle Intervall [0;1] abbildet. Ok, soweit, so gut. Doch sobald man, wie es im Zusammenhang mit der "Standardisierung der Binomialverteilung" passiert, statt der Variablen k ∈ N die Variable k-n·p bzw. k-µ zu benutzen beginnt, verlässt man damit den Boden des ursprünglichen Definitionsbereichs. Was ich dazu noch (als Notbehelf?) in einigen universitären Formelsammlungen (u.a. [1], S.17) finden konnte, war, die Binomialverteilung stattdessen wie folgt zu definieren:

$f(x)={\begin{cases}B(x|p;n),&{\text{für }}x\in \lbrace 0,...,n\rbrace \\0,&{\text{für }}x\in \mathbb {R} \setminus \lbrace 0,...,n\rbrace \end{cases}}$

Mit diesem Konstrukt ist die Definitionsmenge der Binomialverteilung immerhin schon mal auf alle reellen Zahlen erweitert und man könnte damit dann auch alternative Mengen derjenigen Argumente definieren, für die B(x|p;n) berechenbar bleibt. Eine andere Möglichkeit, das Problem zu lösen und auf diese Weise auch gleich die aus den Mathebüchern bekannten Histogramme der Binomialverteilung zu erhalten, wäre es, mit einer Ersatzfunktion der Form

$f(x)=B(\lfloor x+0,5\rfloor |p;n)\quad {\text{oder }}\quad f(x)=B(\lceil x-0,5\rceil |p;n)$

zu arbeiten - auch hier lassen sich diese Funktion damit mittels geeigneter additiver Konstanten beliebig auf dem reellen Zahlenstrahl verschieben, ohne dass die Berechnungsformel dadurch ins Leere läuft.
In der Schulmathematik dagegen macht man sich darum anscheinend keine Sorgen - da wird das Histogramm dann einfach munter um µ nach links verschoben, auch wenn die Berechnungsformel dadurch ggf. gar nicht mehr greift. Kurzum: Weiß jemand, wie dieses Dilemma zu lösen ist (oder bereits gelöst wurde), und gibt es dazu irgendwelche Einzelnachweise? --Qniemiec (Diskussion) 17:16, 15. Mai 2016 (CEST)

Ich glaube, so ganz verstehe ich das Dilemma noch nicht. Wenn man eine Binomialverteilung verschiebt und skaliert, dann ist es keine Binomialverteilung mehr, aber das wird auch gar nicht behauptet. Bei der Definitionsmenge muss man die Verteilung selbst (als Wahrscheinlichkeitsmaß) und ihre Wahrscheinlichkeitsfunktion unterscheiden. Die erstere bildet (messbare) Teilmengen der reellen Zahlen auf ihre Wahrscheinlichkeiten in [0, 1] ab. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung ist auf {0,…,n} definiert und ordnet dem Ereignis {k} seine Wahrscheinlichkeit zu. Wenn man unbedingt will könnte man die Wahrscheinlichkeitsfunktion, wie du oben geschrieben hast, durch 0 auf ganz $\mathbb {R}$ fortsetzen. Spezielle Wahrscheinlichkeitsfunktionen für die verschobene Binomialverteilung braucht man aber eigentlich nicht. Grüße -- HilberTraum (d, m) 14:05, 17. Mai 2016 (CEST)

Hallo, und danke erstmal für die Antwort. Gut möglich also, dass es schon eine Frage der Begrifflichkeit ist, so wie ja auch die "Normalverteilung" und die "Standardnormalverteilung" zwei verschiedene Funktionen sind (nur dass diese zum Glück dieselbe reelle Definitionsmenge besitzen, so dass hier keine grundsätzlichen Grenzen überschritten werden, wenn man die eine in die andere überführt). Das von mir angesprochene Dilemma dagegen entsteht bei der og. "Standardisierung der Normalverteilung", wie sie allenthalben im Zusammenhang mit Moivre-Laplace und dem Übergang von der Binomial- zur Normalverteilung in den Mathematik-Lehrbüchern zu finden ist: Da wird dann also, ums anschaulich zu machen, erstmal aus dem Stabdiagramm ein Histogramm, das dann um µ nach links verschoben, anschließend aufs 1/σ-fache in x-Richtung gestaucht und zu guter Letzt noch aufs σ-fache in y-Richtung gestreckt wird (worüber man dann für gewöhnlich den Graphen der Standardnormalverteilung projiziert, um zu zeigen, wohin der hase läuft ;-).
Ok, soweit, so gut, nur dass man vorher den Leuten bei Kurvendiskussionen etc. jahrelang beizubringen versuchte, bei Funktionen stets deren Definitionsmenge im Auge zu behalten etc., nun aber diese Frage plötzlich völlig ausblendet. Deshalb schon mal gut zu lesen, dass dieses verschobene und skalierte Etwas also keine irgendwie manipulierte, aber immer noch Binomialverteilung mehr ist, sondern irgendwas qualitativ Neues, möglicherweise immer noch diskreter Natur, aber eben nicht mehr mit natürlichen, sondern reellen Zahlen als Definitionsmenge (wobei ich mich mit Blick auf die Fakultäten als Sonderfälle der Gammafunktion nicht wundern würde, wenn auch hier die Binomialverteilung irgendso ein diskreter Sonderfall o.ä. ist).
Kurzum, falls es so etwas wie diese die Lehrbücher bevölkernde "standardisierte Binomialverteilung" gibt, die für unendlich groß werdendes n in die "Standardnormalverteilung" übergeht, ist sie damit kraft vorangegangener Skalierung und Verschiebung auch etwas grundsätzlich Neues, auf jeden Fall jedoch keine "Binomialverteilung" mehr? Verstehe ich das richtig? --Qniemiec (Diskussion) 23:18, 17. Mai 2016 (CEST)

Ja, das ist richtig. Wenn man „standardisierte Binomialverteilung“ googlet sieht man, dass der Begriff schon verwendet wird. Ist aber vielleicht etwas gefährlich, weil man meinen könnte, dass es sich (wie bei der Standardnormalverteilung) um eine spezielle Binomialverteilung handelt, was ja nicht stimmt. -- HilberTraum (d, m) 11:40, 18. Mai 2016 (CEST)

Null hoch null

Nach den Rechenregeln für reelle Zahlen ist bekanntlich $0^{0}$ nicht definiert. Sowohl mit der Konvention $0^{0}:=1$ als auch mit der Konvention $0^{0}:=0$ könnte man $0^{0}$ zwar sinnvoll definieren, jedoch bedarf dies einer entsprechenden Erwähnung im Artikel. Ansonsten darf die Binomialverteilung nur für $0<p<1$ definiert werden. Dann aber wäre die Binomialverteilung nur für $p=0,5$ symmetrisch. Beste Grüße --Mabit1 (Diskussion) 15:11, 11. Okt. 2020 (CEST)

Ich bin nicht der Meinung, dass "bekanntlich $0^{0}$ nicht definiert" ist. Meines Wissens ist die Konvention $0^{0}=1$ üblich, zumindest in allen Kontexten, in denen nur ganzzahlige Exponenten betrachtet werden. --Digamma (Diskussion) 20:26, 11. Okt. 2020 (CEST)

Wölbung

Im Abschnitt taucht der Wert $q$ auf. Er ist zwar vorher mal definiert worden als $q=1-p$, aber ich denke es wäre besser hier auch $1-p$ statt $q$ zu benutzen, --Sigbert (Diskussion) 06:22, 19. Sep. 2021 (CEST)

Statistischer Fehler der Klassenhäufigkeit in Histogrammen

Gibt es eine Quelle für die in diesem Abschnitt angegeben Formel? Oder ist sie in einer der schon vorhandenen Quellen enthalten?

Ich habe gerade tatsächlich Schwierigkeiten, verlässliche Quellen für diese Formel zu finden. Auch beim selbst herleiten traten Probleme auf. (nicht signierter Beitrag von 2001:4CA0:4103:200:10:153:235:75 (Diskussion) 17:14, 19. Jul. 2022 (CEST))