Quelltext der Seite Komplexes Volumen

In der [[Mathematik]] ist das '''komplexe Volumen''' eine Invariante 3-dimensionaler Mannigfaltigkeiten. Für [[Knotenkomplement|Komplemente]] von [[Knotentheorie|Knoten]] und [[Verschlingung]]en stellt die [[Volumenvermutung]] einen Zusammenhang zwischen dem komplexen Volumen und der Asymptotik von [[Quanteninvariante]]n her. 

== Definition ==

Für eine [[Hyperbolische Mannigfaltigkeit|hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit]] endlichen Volumens <math>M</math> wird das ''komplexe Volumen'' definiert als
:<math>\operatorname{vol}_\Complex(M):=\operatorname{vol}(M)+i \, \operatorname{cs}(M)\in\Complex/4\pi^2\Z i</math>,
wobei <math>\operatorname{vol}(M)</math> das [[Hyperbolisches Volumen|hyperbolische Volumen]] und <math>\operatorname{cs}(M)</math> die SO(3)-[[Chern-Simons-Invariante]] des [[Levi-Civita-Zusammenhang]]s ist.

Allgemeiner kann man für Darstellungen <math>\rho\colon \pi_1M\to SL(n,\Complex)</math> das komplexe Volumen definieren als
:<math>\operatorname{vol}_\Complex(\rho):=i\left\langle \hat{c}_2(E_\rho),\left[M\right]\right\rangle\in\Complex/4\pi^2\Z i</math>,
wobei <math>E_\rho</math> das [[flaches Bündel|flache Bündel]] mit [[Holonomie]] <math>\rho</math>, 
:<math>\hat{c}_2(E_\rho)\in H^3(M;\Complex/4\pi^2\Z i)</math> 
seine 2. [[Cheeger-Chern-Simons-Klasse]] und 
:<math>\left[M\right]\in H_3(M;\Z)</math>
die [[Fundamentalklasse]] von <math>M</math> ist.

Die Volumen-Vermutung postuliert für [[Hyperbolischer Knoten|hyperbolische Knoten]] <math>K</math> die Gleichung
:<math>\operatorname{vol}_\Complex(S^3\setminus K)=2\pi\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\log J_N(K,e^{\frac{2\pi i}{N}})</math>,
wobei <math>J_N(K,q)</math> das <math>N</math>-te [[Gefärbtes Jones-Polynom|gefärbte Jones-Polynom]] von <math>K</math> bezeichnet.

== Literatur ==
*W. D. Neumann: ''Extended Bloch group and the Cheeger-Chern-Simons class.'' Geom. Topol. 8, 413–474 (2004). [http://arxiv.org/abs/math/0307092 pdf]
*S. Garoufalidis, D. Thurston, C. Zickert: ''The complex volume of SL(n,C)-representations of 3-manifolds''. Duke Math. J. 164, 2099–2160 (2015). [http://www2.math.umd.edu/~zickert/Complex%20volumes%20of%20representations.pdf pdf]

[[Kategorie:Topologie von 3-Mannigfaltigkeiten]]
[[Kategorie:Knoteninvariante]]