Komplexes Volumen

In der Mathematik ist das komplexe Volumen eine Invariante 3-dimensionaler Mannigfaltigkeiten. Für Komplemente von Knoten und Verschlingungen stellt die Volumenvermutung einen Zusammenhang zwischen dem komplexen Volumen und der Asymptotik von Quanteninvarianten her.

Definition

Für eine hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit endlichen Volumens $M$ wird das komplexe Volumen definiert als

$\operatorname {vol} _{\mathbb {C} }(M):=\operatorname {vol} (M)+i\,\operatorname {cs} (M)\in \mathbb {C} /4\pi ^{2}\mathbb {Z} i$,

wobei $\operatorname {vol} (M)$ das hyperbolische Volumen und $\operatorname {cs} (M)$ die SO(3)-Chern-Simons-Invariante des Levi-Civita-Zusammenhangs ist.

Allgemeiner kann man für Darstellungen $\rho \colon \pi _{1}M\to SL(n,\mathbb {C} )$ das komplexe Volumen definieren als

$\operatorname {vol} _{\mathbb {C} }(\rho ):=i\left\langle {\hat {c}}_{2}(E_{\rho }),\left[M\right]\right\rangle \in \mathbb {C} /4\pi ^{2}\mathbb {Z} i$,

wobei $E_{\rho }$ das flache Bündel mit Holonomie $\rho$,

${\hat {c}}_{2}(E_{\rho })\in H^{3}(M;\mathbb {C} /4\pi ^{2}\mathbb {Z} i)$

seine 2. Cheeger-Chern-Simons-Klasse und

$\left[M\right]\in H_{3}(M;\mathbb {Z} )$

die Fundamentalklasse von $M$ ist.

Die Volumen-Vermutung postuliert für hyperbolische Knoten $K$ die Gleichung

$\operatorname {vol} _{\mathbb {C} }(S^{3}\setminus K)=2\pi \lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\log J_{N}(K,e^{\frac {2\pi i}{N}})$,

wobei $J_{N}(K,q)$ das $N$-te gefärbte Jones-Polynom von $K$ bezeichnet.

Literatur

• W. D. Neumann: Extended Bloch group and the Cheeger-Chern-Simons class. Geom. Topol. 8, 413–474 (2004). pdf
• S. Garoufalidis, D. Thurston, C. Zickert: The complex volume of SL(n,C)-representations of 3-manifolds. Duke Math. J. 164, 2099–2160 (2015). pdf