Das gefärbte Jones-Polynom ist eine Invariante aus dem mathematischen Gebiet der Knotentheorie. Es hängt von einem Parameter
ab und ordnet einer Verschlingung
ein Laurent-Polynom
in einer Variablen
zu.
Für
erhält man das Jones-Polynom.
Definition
Das gefärbte Jones-Polynom ist die der N-dimensionalen irreduziblen Darstellung von
entsprechende Quanteninvariante. Explizit wird sie mit der R-Matrix
![{\displaystyle R_{kl}^{ij}:=\sum _{m=0}^{N-1-j,i}\delta _{l,i+m}\delta _{k,j-m}{\frac {\left\{l\right\}!\left\{N-1-k\right\}!}{\left\{i\right\}!\left\{m\right\}!\left\{N-1-j\right\}!}}q^{(-i-{\frac {N-1}{2}})(j-{\frac {N-1}{2}})-m{\frac {i-j}{2}}-{\frac {m(m+1)}{4}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9058c23759147b7dea67da6919f4a91d76aef4fc)
und dem durch
gegebenen Isomorphismus
konstruiert, siehe Quanteninvariante#Konstruktion via R-Matrizen. Hierbei ist
und
.
Alternativ kann man
als das Jones-Polynom der aus
zu
parallelen Verschlingungen bestehenden Verschlingung definieren. Dieser Ansatz ist aber für konkrete Berechnungen völlig unpraktikabel, weil die Zahl der Überkreuzungen quadratisch in
wächst.
Beispiel
Das gefärbte Jones-Polynom der Kleeblattschlinge ist
.
Das gefärbte Jones-Polynom des Achterknotens ist
.
Eigenschaften
- Das gefärbte Jones-Polynom ist multiplikativ unter verbundener Summe:
.
- Das gefärbte Jones-Polynom erfüllt eine Rekurrenzrelation.[1]
Kashaev-Invariante
Die Kashaev-Invariante ist der Wert des gefärbten Jones-Polynoms an der N-ten Einheitswurzel:
.
Die Volumenvermutung stellt einen Zusammenhang zwischen der Kashaev-Invariante und dem komplexen Volumen eines hyperbolischen Knotens her.
Literatur
- Wladimir Turajew: Quantum invariants of knots and 3-manifolds. Second revised edition. de Gruyter Studies in Mathematics, 18. Walter de Gruyter & Co., Berlin, 2010. ISBN 978-3-11-022183-1
- P. M. Melvin, H. R. Morton: The coloured Jones function. Comm. Math. Phys. 169 (1995), no. 3, 501–520.
Weblinks
Einzelnachweise
- ↑ Garoufalidis, Stavros; Lê, Thang T. Q. The colored Jones function is q-holonomic. Geom. Topol. 9 (2005), 1253–1293