Flaches Bündel

In der Mathematik kommen flache Bündel unter anderem in Differentialgeometrie und Mathematischer Physik vor.

Definition

Ein flaches Bündel ist ein Prinzipalbündel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P\rightarrow M} , das einen flachen Zusammenhang besitzt.

Ein Zusammenhang Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega} heißt flach, falls seine Krümmung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega} verschwindet, also falls

$\Omega :=d\omega +{\tfrac {1}{2}}[\omega \wedge \omega ]=0.$

Geometrische Interpretation

Nach dem Satz von Ambrose-Singer misst die Krümmung die infinitesimale Holonomie. Für ein Prinzipalbündel mit flachem Zusammenhang muss die Holonomie also infinitesimal (aber nicht unbedingt global) trivial sein, d. h. homotope Wege haben dieselbe Holonomie. Insbesondere induziert die Holonomie eine wohldefinierte Darstellung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi_1 M\rightarrow G} der Fundamentalgruppe der Basis in die Strukturgruppe des Prinzipalbündels.

Holonomie-Darstellung

Flache G-Bündel über einer zusammenhängenden Mannigfaltigkeit $M$ sind in Bijektion mit Darstellungen

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \rho :\pi _{1}M\rightarrow G} .

Das zu einer Darstellung assoziierte flache Bündel erhält man – mit Hilfe der Wirkung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi_1M} auf der universellen Überlagerung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \widetilde{M}} – als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_\rho:= \widetilde{M}\times G/\sim}

mit der Äquivalenzrelation Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\gamma x,g)\sim(x,\rho(\gamma)g)} für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma\in\pi_1M,x\in\widetilde{M}, g\in G} .

Schnitte in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_\rho} entsprechen eindeutig den Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho} -äquivarianten Abbildungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\colon \widetilde{M}\to G} , der $f$ entsprechende Schnitt ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s(x)=\left[\widetilde{x},f(\tilde{x})\right]} für ein (beliebiges) zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x\in M} projizierendes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tilde{x}\in\widetilde{M}} .

Literatur

• Morita, Shigeyuki: Geometry of characteristic classes. Translated from the 1999 Japanese original. Translations of Mathematical Monographs, 199. Iwanami Series in Modern Mathematics. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. ISBN 0-8218-2139-3
• Kamber, Franz W.; Tondeur, Philippe: Foliated bundles and characteristic classes. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 493. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1975.