Zusammenhängender Raum

Zusammenhängende und nicht zusammenhängende Unterräume von ℝ² : A ist einfach zusammenhängend, B (das gesamte Blaue) ist unzusammenhängend. Die Komplemente von A und B sind zusammenhängend, aber nicht einfach zusammenhängend.

In der mathematischen Topologie gibt es verschiedene Begriffe, die die Art und Weise des Zusammenhangs eines topologischen Raumes beschreiben. Im Allgemeinen heißt ein topologischer Raum $X$ zusammenhängend, falls es nicht möglich ist, ihn in zwei disjunkte, nichtleere, offene Teilmengen aufzuteilen. Ein Teilraum eines topologischen Raumes heißt zusammenhängend, wenn er unter der induzierten Topologie zusammenhängend ist.

Eine maximale zusammenhängende Teilmenge eines topologischen Raumes heißt Zusammenhangskomponente.

Formale Definition

Für einen topologischen Raum ${\big (}X,{\mathcal {O}}{\big )}$ sind folgende Aussagen äquivalent:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} ist zusammenhängend.
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} kann nicht in zwei disjunkte nichtleere offene Mengen zerlegt werden:
$\forall O_{1},O_{2}\in {\mathcal {O}},O_{1}\neq \emptyset ,O_{2}\neq \emptyset :O_{1}\cap O_{2}=\emptyset \Rightarrow O_{1}\cup O_{2}\neq X$
$X$ kann nicht in zwei disjunkte nichtleere abgeschlossene Mengen zerlegt werden:
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \forall O_1, O_2 \in \mathcal{O}, O_1 \neq \emptyset, O_2 \neq \emptyset: (X \setminus O_1) \cap (X \setminus O_2) = \emptyset\Rightarrow (X \setminus O_1) \cup (X \setminus O_2) \neq X}
$X$ und $\emptyset$ sind die beiden einzigen Mengen, die zugleich offen und abgeschlossen sind.
Die einzigen Mengen mit leerem Rand sind $X$ und $\emptyset$ .
$X$ kann nicht als Vereinigung zweier nichtleerer getrennter Mengen geschrieben werden.
Jede stetige Abbildung von $X$ in einen diskreten topologischen Raum ist konstant.
Jede lokal konstante Funktion von $X$ in eine beliebige Menge ist konstant.

Eine Teilmenge eines topologischen Raumes nennt man zusammenhängend, wenn sie in der Teilraumtopologie ein zusammenhängender Raum ist (siehe anschließendes Beispiel).

Manche Autoren betrachten den leeren topologischen Raum nicht als zusammenhängend (obwohl er die acht äquivalenten Bedingungen erfüllt). Dies hat gewisse Vorteile, zum Beispiel ist ein Raum mit dieser Definition genau dann zusammenhängend, wenn er genau eine Zusammenhangskomponente besitzt.

Beispiel

Sei $X:=\left[0,1\right[\cup \left[3,4\right[\subseteq \mathbb {R}$ . In Worten ist $X$ also die disjunkte Vereinigung von zwei Intervallen. Diese Menge ist wie üblich mit der von $\mathbb {R}$ induzierten Topologie (Teilraumtopologie, Spurtopologie) versehen. Dies bedeutet, dass die in $X$ offenen Mengen gerade die Mengen von der Form $V\cap X$ sind, wobei $V$ eine in $\mathbb {R}$ offene Menge ist. Eine Menge ist also genau dann in $X$ offen, wenn sie sich als Schnitt einer in $\mathbb {R}$ offenen Menge mit $X$ schreiben lässt.

Das Intervall $V_{1}:=\left]-1,2\right[$ ist in $\mathbb {R}$ offen. Also ist der Schnitt von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V_1} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} in $X$ offen. Dies ergibt gerade $[0,1[$ . Also ist die Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [0,1[} in $X$ offen, obwohl $[0,1[$ natürlich nicht in $\mathbb {R}$ offen ist.

Ebenso ist das Intervall $V_{2}:=\left]2,5\right[$ in $\mathbb {R}$ offen. Also ist der Schnitt von $V_{2}$ mit unserem Raum $X$ in $X$ offen. Dieser Schnitt ist nun gerade die Menge $[3,4[$ . Also ist $[3,4[$ eine offene Teilmenge des Raumes $X$ .

Damit kann man den Raum $X$ als disjunkte Vereinigung von zwei in $X$ offenen Teilmengen schreiben, die beide nicht leer sind. Also ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} nicht zusammenhängend.

Dies lässt sich alternativ auch folgendermaßen sehen: Das Intervall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [0,2]} ist in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}} abgeschlossen. Also ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [0,2]\cap X} in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} abgeschlossen. Dieser Schnitt ist die Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [0,1[} , also ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [0,1[} in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} abgeschlossen, obwohl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [0,1[} nicht in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}} abgeschlossen ist.

Da wie oben erläutert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [0,1[} in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} auch offen ist, existiert mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [0,1[} eine Teilmenge von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} , die gleichzeitig sowohl offen als auch abgeschlossen (in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} ) ist, aber nicht leer ist und auch nicht ganz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} . Also kann Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} nicht zusammenhängend sein.

Zusammenhangskomponente

In einem topologischen Raum ist die Zusammenhangskomponente eines Punktes gleich der Vereinigung all derjenigen zusammenhängenden Teilräume, welche diesen Punkt enthalten, also der größte unter allen zusammenhängenden Teilräumen, denen dieser Punkt zugehört.^[1]^[2]^[3]^[4]^[5]

Besonderheiten

Besonderheiten zusammenhängender Teilräume des reellen Koordinatenraums

Im reellen Koordinatenraum haben zusammenhängende Teilräume mehrere Besonderheiten. Hervorzuheben sind vor allem zwei davon.

Zusammenhängende Teilräume der reellen Zahlen

Hier handelt es sich um die reellen Intervalle. Es gilt nämlich:^[6]^[7]

Die zusammenhängenden Teilräume von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R} sind die reellen Intervalle jeden Typs. Es handelt sich im Einzelnen also um die der leere Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \emptyset} , die einpunktigen Teilmengen sowie um alle offenen, halboffenen, abgeschlossenen, beschränkten und unbeschränkten Intervalle mit mindestens zwei Punkten, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R} selbst eingeschlossen.

Es lässt sich nämlich zeigen, dass ein Teilraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T \subseteq \R} dann und nur dann zusammenhängend ist, wenn für je zwei Punkte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a \; , \; b \in T} auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [a,b] \subseteq T } gilt.

Gebiete

Hinsichtlich der zusammenhängenden Teilräume des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^n \; (n \in \N)} ist vor allem die folgende Besonderheit bemerkenswert:^[8]^[9]

Eine nichtleere offene Menge bildet genau dann einen zusammenhängenden Teilraum (und damit ein Gebiet), wenn sie wegzusammenhängend (s. u.) ist.^[10]

Dabei gilt sogar schärfer, dass sich in einem solchen Gebiet je zwei Punkte stets durch einen ganz in diesem Gebiet liegenden Streckenzug verbinden lassen.

Besonderheit kompakter metrischer Räume

Diese Besonderheit besteht in folgender Eigenschaft:^[11]^[12]

Ist ein metrischer Raum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (X,d)} kompakt, so ist er genau dann zusammenhängend, wenn je zwei seiner Punkte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a,b \in X} für jedes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \epsilon > 0} Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \epsilon} -verkettet in dem Sinne, dass endlich viele Punkte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1, \ldots, x_n \in X \; (n= n(a,b,\epsilon) \in \N)} existieren mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a=x_1} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b=x_n} sowie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(x_i,x_{i+1}) < \epsilon \; (i=1, \ldots, n-1)} .

Globale Zusammenhangsbegriffe

Die folgenden Begriffe beziehen sich immer auf den ganzen Raum, sind also globale Eigenschaften:

Total unzusammenhängend

Ein Raum ist total unzusammenhängend, falls er keine zusammenhängende Teilmenge mit mehr als einem Punkt besitzt, wenn also alle Zusammenhangskomponenten einpunktig sind. Jeder diskrete topologische Raum ist total unzusammenhängend. In diesem Fall sind die (einpunktigen) Zusammenhangskomponenten offen. Ein Beispiel für einen nicht diskreten total unzusammenhängenden Raum ist die Menge der rationalen Zahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb Q} mit der von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb R} induzierten Topologie.

Wegzusammenhängend

Dieser Unterraum von R² ist wegzusammenhängend, da je zwei seiner Punkte durch einen Weg verbunden sind.

Datei:Sinuseinsdurchx.png

Dieser Unterraum von R² ist zwar zusammenhängend, doch nicht wegzusammenhängend.

Ein topologischer Raum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} ist wegzusammenhängend (oder pfad-zusammenhängend oder kurvenweise zusammenhängend oder bogenweise zusammenhängend), falls es für jedes Paar von Punkten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} einen Weg Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} gibt, d. h. eine stetige Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p\colon [0,1] \to X} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p(0) = x} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p(1) = y} .

Wegzusammenhängende Räume sind immer zusammenhängend. Etwas überraschend ist auf den ersten Blick jedoch vielleicht, dass es Räume gibt, die zusammenhängend, aber nicht wegzusammenhängend sind. Ein Beispiel ist die Vereinigung des Graphen von

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (0,\infty) \to \mathbb R, \quad x\mapsto \sin (1/x)}

mit einem Abschnitt der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} -Achse zwischen −1 und 1, mit der von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb R^2} induzierten Topologie. Da in jeder Umgebung der Null auch ein Stück des Graphen liegt, kann man die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} -Achse nicht vom Graphen als eine offene Teilmenge abtrennen; die Menge ist also zusammenhängend. Andererseits gibt es keinen Weg von einem Punkt auf dem Graphen zu einem Punkt auf der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} -Achse, also ist diese Vereinigung nicht wegzusammenhängend.

Eine maximale wegzusammenhängende Teilmenge eines topologischen Raumes heißt Wegzusammenhangskomponente.

Einfach zusammenhängend

Zusammenhängende und nicht zusammenhängende Unterräume von R² : C ist einfach zusammenhängend; D und sein Komplement sind es dagegen nicht.

Ein Raum ist einfach zusammenhängend, falls er wegzusammenhängend ist und sich jeder geschlossene Weg auf einen Punkt zusammenziehen lässt, d. h. nullhomotop ist. Die zweite Bedingung ist dazu äquivalent, dass die Fundamentalgruppe trivial ist.

So sind in der nebenstehenden Abbildung sowohl der pinkfarbene Raum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C} als auch sein weißes Komplement „einfach zusammenhängend“, ersterer allerdings erst dadurch, dass eine Trennlinie die Umrundung des weiß gezeichneten Komplements verhindert. Im unteren Teilbild dagegen sind weder der orangefarbene Raum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D} noch sein weiß gezeichnetes Komplement „einfach zusammenhängend“ – interpretiert man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D} als Darstellung der Topologie einer „Kugel mit vier Henkeln“, wären das Komplement die vier „Löcher“ der Henkelkugel.

Im Unterschied zu Teilräumen des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb R^2} , die, sobald sie einen oder mehrere nicht zu dem Raum gehörende Punkte („Löcher“) enthalten, dadurch auch nicht mehr „einfach zusammenhängend“ sind, gilt dies für Teilräume des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb R^3} zunächst einmal nicht: Ein Raum mit der Topologie eines (ganzen) Schweizer Käses etwa bleibt dennoch (und unabhängig von der Zahl der Löcher in seinem Inneren) „einfach zusammenhängend“, weil jeder geschlossene Weg in einem solchen Raum sich unter Umgehung der Löcher zu einem Punkt zusammenziehen lässt. Wird der Raum dagegen von einer Kurve, z. B. einer Geraden, komplett durchquert, deren Punkte allesamt nicht zu dem Raum gehören, entsteht die Situation des Volltorus: Ein sich um die Gerade schließender Weg kann damit nicht mehr auf einen einzelnen Punkt zusammengezogen werden.

n-zusammenhängend

Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} eine nichtnegative ganze Zahl, so heißt ein topologischer Raum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} -zusammenhängend, falls alle Homotopiegruppen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi_{\,k\,}(X)} für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0\leq k\leq n} trivial sind. „0-zusammenhängend“ ist also ein Synonym für „wegzusammenhängend“, und „1-zusammenhängend“ bedeutet dasselbe wie „einfach zusammenhängend“ im oben definierten Sinne.

Zusammenziehbar

Ein Raum X ist zusammenziehbar, falls er homotopieäquivalent zu einem Punkt ist, das heißt die Identität auf X homotop zu einer konstanten Abbildung ist. Zusammenziehbare Räume haben daher aus topologischer Sicht ähnliche Eigenschaften wie ein Punkt, insbesondere sind sie immer einfach zusammenhängend. Aber die Umkehrung gilt nicht: n-Sphären mit festem Radius sind nicht zusammenziehbar, obwohl sie für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n\ge 2} einfach zusammenhängend sind.

Lokale Zusammenhangsbegriffe

Kamm: zusammenhängend, aber nicht lokal zusammenhängend

Die folgenden Begriffe sind lokale Eigenschaften, sie machen also Aussagen über das Verhalten in Umgebungen von Punkten:

Lokal zusammenhängend

Ein Raum ist lokal zusammenhängend, falls es zu jeder Umgebung eines Punktes eine zusammenhängende kleinere Umgebung dieses Punktes gibt. Jeder Punkt besitzt dann eine Umgebungsbasis aus zusammenhängenden Mengen.

Ein lokal zusammenhängender Raum kann durchaus aus mehreren Zusammenhangskomponenten bestehen. Aber auch ein zusammenhängender Raum muss nicht unbedingt lokal zusammenhängend sein: Der „Kamm“, bestehend aus der Vereinigung der Intervalle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \{0\} \times [0,1]} , Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [0,1]\times \{0\}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [0,1]\times \{1/n\}} , ist zusammenhängend, doch jede genügend kleine Umgebung des Punktes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (1,0)} enthält unendlich viele nicht zusammenhängende Intervalle.

Datei:Zushang buch bild.png

Buch: wegzusammenhängend, aber nicht lokal wegzusammenhängend

Lokal wegzusammenhängend

Ein Raum ist lokal wegzusammenhängend oder lokal bogenweise zusammenhängend, falls jeder Punkt eine Umgebungsbasis besitzt, die aus wegzusammenhängenden Umgebungen besteht. Ein lokal wegzusammenhängender Raum ist wegzusammenhängend genau dann, wenn er zusammenhängend ist. Das oben gegebene Beispiel mit dem Graphen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sin(1/x)} und der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle y} -Achse ist daher nicht lokal wegzusammenhängend. Fügt man auch noch die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} -Achse hinzu bekommt man einen zusammenhängenden, wegzusammenhängenden, aber nicht lokal wegzusammenhängenden Raum („Warschauer Kreis“). Weiterhin ist das „Buch“ wegzusammenhängend, aber nicht lokal wegzusammenhängend für alle Punkte auf der Mittelsenkrechten mit Ausnahme des Schnittpunktes aller Geradenstücke.

Hawaiische Ohrringe: nicht semilokal einfach zusammenhängend und auch nicht lokal einfach zusammenhängend

Lokal einfach zusammenhängend

Ein Raum ist lokal einfach zusammenhängend, wenn jede Umgebung eines Punktes eine evtl. kleinere, einfach zusammenhängende Umgebung enthält.

Mannigfaltigkeiten sind lokal einfach zusammenhängend.

Ein Beispiel für einen nicht lokal einfach zusammenhängenden Raum sind die Hawaiischen Ohrringe: Die Vereinigung von Kreisen mit Radien Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1/n} als Teilmenge des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb R^2} , so dass sich alle Kreise in einem Punkt berühren. Dann enthält jede Umgebung um den Berührpunkt einen geschlossenen Kreis und ist daher nicht einfach zusammenhängend.

Semilokal einfach zusammenhängend

Ein Raum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} ist semilokal einfach zusammenhängend, falls jeder Punkt eine Umgebung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U} besitzt, so dass sich jede Schleife in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U} in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} zusammenziehen lässt (in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U} muss sie nicht notwendigerweise zusammenziehbar sein, daher nur semilokal).

Semilokal einfach zusammenhängend ist eine schwächere Bedingung als lokal einfach zusammenhängend: Ein Kegel über den Hawaiischen Ohrringen ist semilokal einfach zusammenhängend, da sich jede Schleife über die Kegelspitze zusammenziehen lässt. Er ist aber (aus dem gleichen Grund wie die Hawaiischen Ohrringe selbst) nicht lokal einfach zusammenhängend.

Literatur

P. Alexandroff, H. Hopf: Topologie (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 45). Erster Band. Berichtigter Reprint. Springer Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1974 (MR0185557).
Thorsten Camps, Stefan Kühling, Gerhard Rosenberger: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie (= Berliner Studienreihe zur Mathematik. Band 15). Heldermann Verlag, Lemgo 2006, ISBN 3-88538-115-X (MR2172813).
Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Vieweg Verlag, Braunschweig 1977, ISBN 3-528-03059-3.
Klaus Jänich: Topologie (= Springer-Lehrbuch). 7. Auflage. Springer Verlag, Berlin (u. a.) 2001, ISBN 3-540-41284-0.
James R. Munkres: Topology. 2. Auflage. Prentice Hall, Upper Saddle River NJ 2000, ISBN 0-13-181629-2.
B. v. Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 2., neubearbeitete und erweiterte Auflage. Springer Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1979 (MR0639901).
Willi Rinow: Lehrbuch der Topologie (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 79). VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975 (MR0514884).
Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 (MR0423277).

Weblinks

Eric W. Weisstein: Connected Set. In: MathWorld (englisch).
Connected space in der Springer Encyclopedia of Mathematics

Einzelnachweise

↑ Dies ergibt sich als Folgerung aus dem Kettensatz.
↑ Thorsten Camps et al.: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie. 2006, S. 94
↑ P. Alexandroff, H. Hopf: Topologie. 1974, S. 49
↑ Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. 1977, S. 86
↑ Horst Schubert: Topologie. 1975, S. 39
↑ Camps et al., op. cit., S. 88
↑ Schubert, op. cit., S. 38
↑ P. Alexandroff, H. Hopf: Topologie. 1974, S. 50
↑ Willi Rinow: Lehrbuch der Topologie. 1975, S. 150
↑ Camps et al., op. cit., S. 98
↑ Führer, op. cit., S. 125
↑ B. v. Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 1979, S. 96

[1] Dies ergibt sich als Folgerung aus dem Kettensatz.

[TC-SK-GR_I-2] Thorsten Camps et al.: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie. 2006, S. 94

[PA-HH-3] P. Alexandroff, H. Hopf: Topologie. 1974, S. 49

[LF-4] Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. 1977, S. 86

[HS_I-5] Horst Schubert: Topologie. 1975, S. 39

[TC-SK-GR_II-6] Camps et al., op. cit., S. 88

[HS_II-7] Schubert, op. cit., S. 38

[PA-HH_I-8] P. Alexandroff, H. Hopf: Topologie. 1974, S. 50

[WR_I-9] Willi Rinow: Lehrbuch der Topologie. 1975, S. 150

[TC-SK-GR_III-10] Camps et al., op. cit., S. 98

[LF_I-11] Führer, op. cit., S. 125

[BvQ-12] B. v. Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 1979, S. 96

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