Getrennte Mengen

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In der Topologie und verwandten Gebieten der Mathematik sind getrennte Mengen Paare von Teilmengen eines gegebenen topologischen Raumes, die auf eine Art miteinander in Beziehung stehen. Ob zwei Mengen getrennt sind oder nicht, ist sowohl für den Begriff von zusammenhängenden Mengen als auch für die Trennungsaxiome für topologische Räume von Bedeutung.

Definitionen

Es existieren verschiedene Versionen dieses Konzeptes. Die Begriffe sind nachfolgend definiert. Dabei sei X ein topologischer Raum.

Zwei Teilmengen $A$ und $B$ von $X$ heißen disjunkt, falls deren Durchschnitt leer ist. Diese Eigenschaft hat nichts mit der Topologie zu tun, sondern ist ein Begriff der Mengenlehre. Wir erwähnen diese Eigenschaft hier, da sie die schwächste der hier betrachteten Trennungseigenschaften ist. Siehe dazu auch den Artikel zu disjunkten Mengen.

$A$ und $B$ heißen getrennt in $X$, falls beide Mengen disjunkt zum Abschluss der anderen Menge sind. Es wird aber nicht gefordert, dass die beiden Abschlüsse disjunkt sein sollen. So sind zum Beispiel die Intervalle $\left[0,1\right)$ und $\left(1,2\right]$ getrennt in $\mathbb {R}$, obwohl $1$ zum Abschluss beider Mengen gehört. Weiter sind getrennte Mengen immer disjunkt.

$A$ und $B$ sind durch Umgebungen getrennt, falls disjunkte Umgebungen $U$ von $A$ und $V$ von $B$ existieren. In gewissen Büchern werden offene Umgebungen $U$ und $V$ gefordert. Diese Definition ist aber zur Vorangehenden äquivalent. Zum Beispiel sind $A=\left[0,1\right)$ und $B=\left(1,2\right]$ durch Umgebungen getrennt, denn die $U=(-1,1)$ und $V=(1,3)$ sind disjunkte Umgebungen von $A$ bzw. $B$. Offensichtlich sind Mengen, die durch Umgebungen getrennt sind, auch getrennt.

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Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} heißen durch Funktionen getrennt, falls eine stetige Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} in die reellen Zahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R} existiert, so dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(A) = \left\{0\right\}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(B) = \left\{1\right\}} . In der Literatur wird manchmal zusätzlich gefordert, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} die Werte im Intervall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left[0,1\right]} annimmt. Diese Definition ist aber zu obiger äquivalent. Die beiden Mengen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left[0,1\right)} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left(1,2\right]} sind nicht durch Funktionen getrennt, denn es ist nicht möglich, die Funktion am Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1} stetig zu wählen. Mengen, die durch Funktionen getrennt sind, sind auch durch abgeschlossene Umgebungen getrennt; als abgeschlossene Umgebungen können die Urbilder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U:=f^{-1}(\left[-\epsilon,\epsilon\right])} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V:=f^{-1}(\left[1-\epsilon,1+\epsilon\right])} für ein Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0 < \epsilon < \tfrac{1}{2}} gewählt werden. Welche Räume dies erfüllen, wird im Lemma von Urysohn deutlich.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} sind scharf durch eine Funktion getrennt, falls eine stetige Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} in die reellen Zahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R} existiert, so dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f^{-1}(0)=A} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f^{-1}(1)=B} . Auch hier kann zusätzlich gefordert werden, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} sein Bild in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left[0,1\right]} hat. Scharf durch Funktionen getrennte Mengen sind auch durch Funktionen getrennt. Da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\{0\right\}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\{1\right\}} abgeschlossene Teilmengen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R} sind, können nur abgeschlossene Mengen scharf durch Funktionen getrennt sein. Doch aus der Tatsache, dass abgeschlossene Mengen durch Funktionen getrennt sind, kann nicht gefolgert werden, dass sie scharf durch Funktionen getrennt sind.

Beziehung zu den Trennungsaxiomen und separierten Räumen

Die Trennungsaxiome sind Bedingungen, die an topologische Räume gestellt werden und mit Hilfe der verschiedenen Typen von getrennten Mengen ausgedrückt werden können. So sind die separierten topologischen Räume genau diejenigen, welche das Trennungsaxiom T₂ erfüllen. Genauer ist ein topologischer Raum genau dann separiert, wenn für zwei verschiedene Punkte x und y die einelementigen Mengen {x} und {y} durch Umgebungen getrennt sind. Solche Räume heißen auch Hausdorff-Räume oder T₂ -Räume.

Beziehung zu zusammenhängenden Räumen

Manchmal ist es nützlich, für eine Teilmenge A eines topologischen Raumes zu wissen, ob sie vom eigenen Komplement getrennt ist. Dies ist sicher richtig, falls A die leere Menge oder der ganze Raum X ist. Aber dies sind nicht die einzigen Beispiele. Ein topologischer Raum heißt zusammenhängend, falls die leere Menge und der ganze Raum X die einzigen Mengen sind, welche diese Eigenschaft erfüllen. Falls eine nichtleere Teilmenge A von ihrem Komplement getrennt ist und falls die einzige echte Teilmenge von A, welche diese Eigenschaft hat, die leere Menge ist, dann ist A eine offen-zusammenhängende Komponente von X.

Beziehung zu topologisch unterscheidbaren Punkten

In einem topologischen Raum X heißen zwei Punkte x und y topologisch unterscheidbar, falls eine offene Menge existiert, so dass genau einer der beiden Punkte zu ihr gehört. Für topologisch unterscheidbare Punkte sind die einelementigen Mengen {x} und {y} disjunkt. Sind andererseits die Mengen {x} und {y} getrennt, so sind die Punkte x und y topologisch unterscheidbar.