Kettensatz (Allgemeine Topologie)

In der Allgemeinen Topologie, einem der Teilgebiete der Mathematik, behandelt der Kettensatz die Frage, unter welchen Bedingungen in einem topologischen Raum die Vereinigung zusammenhängender Unterräume ihrerseits zusammenhängend ist.

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich formulieren wie folgt:

Gegeben seien ein topologischer Raum $X$ und darin eine Familie $(A_{i})_{i\in I}$ zusammenhängender Unterräume.

Die Unterraumfamilie sei verkettet in folgendem Sinne:

Zu je zwei Indizes $p,q\in I$ gebe es darin stets eine endliche Teilfamilie $(A_{i_{1}},\ldots ,A_{i_{n}})\;(n\in \mathbb {N} )$ mit:

(a) $A_{p}=A_{i_{1}}$ und $A_{q}=A_{i_{n}}$

(b) Je zwei aufeinanderfolgende Mengen der endlichen Teilfamilie mögen sich überschneiden; Für $r=1,\ldots ,n-1$ gelte stets $A_{i_{r}}\cap A_{i_{r+1}}\neq \emptyset$.

Dann gilt:

Die Vereinigung

$V=\bigcup _{i\in I}A_{i}$

bildet einen zusammenhängenden Unterraum von $X$.

Verschärfung

Die obige Bedingung (b) lässt sich - bei gleicher Behauptung! - dahingehend abschwächen, dass man lediglich folgendes fordert:

(b') Von je zwei aufeinanderfolgende Unterräumen der endlichen Teilfamilie enthalte stets mindestens einer der beiden einen Berührpunkt des anderen; m. a. W.: Für $r=1,\ldots ,n-1$ gelte stets ${\overline {A_{i_{r}}}}\cap A_{i_{r+1}}\neq \emptyset$ oder $A_{i_{r}}\cap {\overline {A_{i_{r+1}}}}\neq \emptyset$ .

Folgerungen

Der Kettensatz zieht - schon in seiner einfachen Version! - folgende Resultate unmittelbar nach sich:

(1) Hat in einem topologischen Raum eine Familie zusammenhängender Unterräume nichtleeren Durchschnitt, so bildet die Vereinigung dieser Unterräume ihrerseits einen zusammenhängenden Unterraum.

(2) Wenn je zwei Punkte eines topologischen Raums in einem zusammenhängenden Unterraum dieses Raums enthalten sind, so ist dieser Raum zusammenhängend.

(3) In einem topologischen Raum ist die Zusammenhangskomponente eines Punktes gleich der Vereinigung all derjenigen zusammenhängenden Unterräume, welche diesen Punkt enthalten, also der größte unter allen zusammenhängenden Unterräumen, denen dieser Punkt zugehört.

In der verschärften Version des Kettensatzes ergibt sich auch sogleich das folgende Resultat:

(4) In einem topologischen Raum bildet eine Vereinigung zusammenhängender Unterräume, bei denen von je zweien stets mindestens einer der beiden einen Berührpunkt des anderen enthält, einen zusammenhängenden Unterraum.

Literatur

• P. Alexandroff, H. Hopf: Topologie. Erster Band. Berichtigter Reprint (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 45). Springer Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1974 (MR0185557). 
• Thorsten Camps, Stefan Kühling, Gerhard Rosenberger: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie (= Berliner Studienreihe zur Mathematik. Band 15). Heldermann Verlag, Lemgo 2006, ISBN 3-88538-115-X (MR2172813). 
• Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Vieweg Verlag, Braunschweig 1977, ISBN 3-528-03059-3. 
• K. D. Joshi: Introduction to General Topology. Wiley Eastern Limited, New Delhi / Bangalore / Bombay / Calcutta 1983, ISBN 0-85226-444-5. 
• Willi Rinow: Lehrbuch der Topologie (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 79). VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975 (MR0514884). 
• Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 (MR0423277).