Kettensatz (Allgemeine Topologie)

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In der Allgemeinen Topologie, einem der Teilgebiete der Mathematik, behandelt der Kettensatz die Frage, unter welchen Bedingungen in einem topologischen Raum die Vereinigung zusammenhängender Unterräume ihrerseits zusammenhängend ist.[1]

Formulierung des Satzes

Der Satz lässt sich formulieren wie folgt:[1][2][3][4]

Gegeben seien ein topologischer Raum und darin eine Familie zusammenhängender Unterräume.
Die Unterraumfamilie sei verkettet in folgendem Sinne:
Zu je zwei Indizes gebe es darin stets eine endliche Teilfamilie mit:
(a) und
(b) Je zwei aufeinanderfolgende Mengen der endlichen Teilfamilie mögen sich überschneiden; Für gelte stets .
Dann gilt:
Die Vereinigung
bildet einen zusammenhängenden Unterraum von .

Verschärfung

Die obige Bedingung (b) lässt sich - bei gleicher Behauptung! - dahingehend abschwächen, dass man lediglich folgendes fordert:[4]

(b') Von je zwei aufeinanderfolgende Unterräumen der endlichen Teilfamilie enthalte stets mindestens einer der beiden einen Berührpunkt des anderen; m. a. W.: Für gelte stets oder .

Folgerungen

Der Kettensatz zieht - schon in seiner einfachen Version! - folgende Resultate unmittelbar nach sich:

(1) Hat in einem topologischen Raum eine Familie zusammenhängender Unterräume nichtleeren Durchschnitt, so bildet die Vereinigung dieser Unterräume ihrerseits einen zusammenhängenden Unterraum. [2][5][6]
(2) Wenn je zwei Punkte eines topologischen Raums in einem zusammenhängenden Unterraum dieses Raums enthalten sind, so ist dieser Raum zusammenhängend. [7]
(3) In einem topologischen Raum ist die Zusammenhangskomponente eines Punktes gleich der Vereinigung all derjenigen zusammenhängenden Unterräume, welche diesen Punkt enthalten, also der größte unter allen zusammenhängenden Unterräumen, denen dieser Punkt zugehört. [8][2][7][9]

In der verschärften Version des Kettensatzes ergibt sich auch sogleich das folgende Resultat:

(4) In einem topologischen Raum bildet eine Vereinigung zusammenhängender Unterräume, bei denen von je zweien stets mindestens einer der beiden einen Berührpunkt des anderen enthält, einen zusammenhängenden Unterraum.[10]

Literatur

  • P. Alexandroff, H. Hopf: Topologie. Erster Band. Berichtigter Reprint (= Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Band 45). Springer Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1974 (MR0185557).
  • Thorsten Camps, Stefan Kühling, Gerhard Rosenberger: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie (= Berliner Studienreihe zur Mathematik. Band 15). Heldermann Verlag, Lemgo 2006, ISBN 3-88538-115-X (MR2172813).
  • Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. Vieweg Verlag, Braunschweig 1977, ISBN 3-528-03059-3.
  • K. D. Joshi: Introduction to General Topology. Wiley Eastern Limited, New Delhi / Bangalore / Bombay / Calcutta 1983, ISBN 0-85226-444-5.
  • Willi Rinow: Lehrbuch der Topologie (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 79). VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975 (MR0514884).
  • Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 (MR0423277).

Einzelnachweise und Anmerkungen

  1. a b Thorsten Camps et al.: Einführung in die mengentheoretische und die algebraische Topologie. 2006, S. 87
  2. a b c Lutz Führer: Allgemeine Topologie mit Anwendungen. 1977, S. 86
  3. P. Alexandroff, H. Hopf: Topologie. 1974, S. 48
  4. a b Willi Rinow: Lehrbuch der Topologie. 1975, S. 141–142
  5. Horst Schubert: Topologie. 1975, S. 38
  6. Tatsächlich folgt aus (1) auch direkt der Kettensatz in seiner einfachen Version; vgl. Thorsten Camps et al., op. cit., S. 86–87.
  7. a b Alexandroff/Hopf, op. cit., S. 49
  8. Thorsten Camps et al., op. cit., S. 94
  9. Schubert, op. cit., S. 39
  10. K. D. Joshi: Introduction to General Topology. 1983, S. 145