Indexmenge (Mathematik)

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In der Mathematik bezeichnet Index (Plural: Indizes) ein Element einer Indexmenge, das zur Nummerierung unterschiedlichster Objekte herangezogen wird. Oftmals wird als Indexmenge die Menge der natürlichen Zahlen verwendet.

In den Anfängen der Mathematik der Neuzeit wurde auch ein Funktionswert – f(x) in moderner Schreibweise – mittels tiefgestelltem Index x als fx bezeichnet. Die Notation ai für die Glieder einer Folge (als Funktion über natürlichen Zahlen) kann als Überbleibsel dieser älteren Schreibweise angesehen werden. Je nach Bedarf können, trotz Verwechslungsgefahr mit der Potenzrechnung, auch hochgestellte Indizes ai vorkommen.

Index

Ein Index ist ein Unterscheidungszeichen, das oben oder unten, rechts oder links an ein Zeichen angeheftet wird.[1]

In der Mathematik steht das Zeichen, an das der Index angeheftet wird, für ein mathematisches Objekt und der Index selbst wird bevorzugt rechts unten an dieses Zeichen notiert. Je nach mathematischem Fachbereich und Fragestellung ist aber auch jede andere Position des Index denkbar.

Beispiele

  • Die Summe aller natürlichen Zahlen von 1 bis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} wird durch die Gleichung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle \sum_{i=1}^n i = \frac{n^2+n}2} beschrieben. Hier ist die Variable Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i} ein Summationsindex, in den der Reihe nach die natürlichen Zahlen 1, 2, 3, …, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} eingesetzt werden, der also in einer diskreten Menge von Zahlen, der Indexmenge, variiert.
  • Der Wert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z} einer Dezimalzahl ergibt sich durch Summierung ihrer Ziffern, welche vorher jeweils mit ihrem Stellenwert multipliziert werden.
,
Beispiel:   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 703{,}48 = 7 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10^1 + 3 \cdot 10^0 + 4 \cdot 10^{-1} + 8 \cdot 10^{-2}} .
  • Bei Funktionenscharen werden Scharparameter meist als Index notiert, während die „normalen“ Argumente in die Klammern hinter den Funktionsnamen geschrieben werden – z. B. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_t(x).}
  • Bei einer Matrix werden ihre Komponenten, also die einzelnen Werte in der Matrix, häufig indiziert. Die Komponentendarstellung einer Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3 \times 3} -Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} lautet beispielsweise
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}\,.}
Dabei trägt jede Komponente genau zwei Indizes. Der erste Index gibt an, in welcher Zeile, und der zweite, in welcher Spalte der Matrix die Komponente steht. Sobald nicht beide Indizes aus nur einem Symbol bestehen, setzten viele Autoren ein Komma zwischen sie: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_{m+1,n+1}} .
  • Im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie werden die Schnitte eines Vektorbündels oft in Indexschreibweise bezeichnet, um die Funktionsschreibweise für algebraische Operationen zwischen Fasern verschiedener Bündel über demselben Punkt frei zu haben.
  • In der Funktionentheorie mehrerer Veränderlicher bezeichnet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {}_n\mathcal{O}} den Ring der um 0 konvergenten Potenzreihen in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} Unbestimmten. Der Grund für die Schreibung des Index unten-links ist, dass die Position unten-rechts für Teilmengen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K\subset \Complex^n} reserviert ist, in deren Umgebung Funktionen holomorph sein sollen. Man schreibt dann Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {}_n\mathcal{O}_K} , so dass man einen linken und einen rechten Index hat. Demnach ist .
  • In der homologischen Algebra verwendet man bei Konstruktionen aus Kettenkomplexen untenstehende Indizes, für die entsprechenden Konstruktionen aus Kokettenkomplexen verwendet man obenstehende Indizes. Daher bezeichnet man Homologiegruppen mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H_n} und Kohomologiegruppen mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H^n} .

Indexmenge

Definition

Eine Menge, deren Elemente Elemente einer anderen Menge durchindizieren, wird Indexmenge genannt.

Anmerkung

Eine Indexmenge ist also keine besondere Menge, sondern es kommt vielmehr darauf an, dass man die Elemente der Menge dazu verwendet, andere Objekte zu indizieren. In vielen Fällen wird dazu die Menge der natürlichen Zahlen verwendet. Jedoch kann jede Menge ob mit endlich, abzählbar oder überabzählbar vielen Elementen als Indexmenge eingesetzt werden und fasst dann mathematische Objekte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_\bullet} zu einer Familie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (A_\lambda)_{\lambda \in \Lambda} } zusammen (hier ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Lambda} die Indexmenge). Verwendet man als Indexmenge die natürlichen Zahlen, so spricht man anstatt von einer Familie von einer Folge. Der Begriff Folge wird auch für Familien verwendet, die mit Ordinalzahlen indiziert werden.

Auswahlfunktion

In der Mathematik kann der Index mittels der Auswahlfunktion formal als Abbildung von der Indexmenge in die Menge der indizierten Objekte definiert werden.

Definition

Sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X_1,\ldots,X_n} beliebige Mengen, so kann man das n-Tupel

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = (x_1,\ldots,x_n)} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1 \in X_1, \ldots, x_n \in X_n}

als Abbildung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x\colon\, \{1,\ldots,n\} \rightarrow X_1\cup\ldots\cup X_n,\, i \mapsto x(i) =: x_i \in X_i} ,

auffassen. Man nennt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} Auswahlfunktion.[2]

Auswahlaxiom

Möchte man sich nicht auf endlich viele Mengen beschränken, sondern unendlich (insbesondere überabzählbare) viele betrachten, dann ist die Existenz der soeben definierten Auswahlfunktion nicht klar. Das heißt, es ist bei unendlich großen Indexmengen nicht immer möglich, eine konkrete Darstellung für die Auswahlfunktion zu finden und damit die Existenz dieser zu zeigen. Dass eine solche Auswahlfunktion doch existiert wird durch das Auswahlaxiom sichergestellt. Jedoch sagt das Axiom nichts über die konkrete Darstellung der Auswahlfunktion.

Siehe auch

Weblinks

Einzelnachweise

  1. ↑ Index. In: F.A. Brockhaus (Hrsg.): Der neue Brockhaus. Allbuch in fünf Bänden und einem Atlas. 3. völlig neubearbeitete Auflage. Band 2. Wiesbaden 1962, S. 608, Sp. 2.
  2. ↑ Gerd Fischer: Lineare Algebra. (Eine Einführung für Studienanfänger). 14. durchgesehene Auflage. Vieweg-Verlag, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03217-0, S. 38.
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