Quelltext der Seite Riesz-Mittel

Das '''Riesz-Mittel''' ist eine bestimmte [[Mittelwert]]-Bildung für Werte in eine [[Reihe (Mathematik)|Reihe]] in der Mathematik. Sie wurden von [[Marcel Riesz]] 1911 als Verbesserung zum [[Cesàro-Mittel]] eingeführt.<ref>M. Riesz: ''Comptes Rendus'', 12. Juni 1911 (englisch)</ref><ref>G.H. Hardy and J.E. Littlewood: ''Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes'', ''Acta Mathematica'', '''41''' (1916) pp.119–196. (englisch)</ref> Das Riesz-Mittel sollte nicht mit dem [[Bochner-Riesz-Mittel]] oder dem [[Strong-Riesz-Mittel]] verwechselt werden.

== Definition ==
Gegeben sei eine Reihe <math>\{s_n\}</math>. Das Riesz-Mittel der Reihe ist definiert durch

:<math>s^\delta(\lambda) = 
\sum_{n\le \lambda} \left(1-\frac{n}{\lambda}\right)^\delta s_n </math>

Manchmal wird ein verallgemeinertes Riesz-Mittel definiert als

:<math>R_n = \frac{1}{\lambda_n} \sum_{k=0}^n (\lambda_k-\lambda_{k-1})^\delta s_k</math>

Dabei sind die <math>\lambda_n</math> eine Folge mit <math>\lambda_n\to\infty</math> und mit <math>\lambda_{n+1}/\lambda_n\to 1</math>, wenn <math>n\to\infty</math>. Die anderen <math>\lambda_n</math> sind beliebig.

Das Riesz-Mittel wird oft verwendet, um die [[Cesàro-Mittel|Summierbarkeit]] von Folgen zu untersuchen. Üblicherweise untersuchen Sätze zur Summierbarkeit der <math>s_n = \sum_{k=0}^n a_n</math> für Folgen <math>\{a_n\}</math>. Normalerweise ist eine Folge summierbar, wenn der Grenzwert <math>\lim_{n\to\infty} R_n</math> vorhanden ist oder der Grenzwert <math>\lim_{\delta\to 1,\lambda\to\infty}s^\delta(\lambda)</math> existiert, obgleich die exakten Sätze zur Summierbarkeit oft noch zusätzliche Bedingungen voraussetzen.

== Spezialfälle ==
Sei <math>a_n=1</math> für alle <math>n</math>. Dann gilt

:<math> 
\sum_{n\le \lambda} \left(1-\frac{n}{\lambda}\right)^\delta
= \frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} 
\frac{\Gamma(1+\delta)\Gamma(s)}{\Gamma(1+\delta+s)} \zeta(s) \lambda^s \, ds
= \frac{\lambda}{1+\delta} + \sum_n b_n \lambda^{-n}.
</math>

Dabei muss <math>c>1</math> sein, <math>\Gamma(s)</math> ist die [[Gammafunktion]] und <math>\zeta(s)</math> ist die [[Riemannsche Zeta-Funktion]]. Es kann gezeigt werden, dass die [[Potenzreihe]]

:<math>\sum_n b_n \lambda^{-n}</math>

für <math>\lambda > 1</math> [[Konvergenz (Mathematik)|konvergent]] ist. Es ist anzumerken, dass das Integral von der Form einer inversen [[Mellin-Transformation]] ist.

Ein anderer interessanter Fall, der mit der [[Zahlentheorie]] verknüpft ist, entsteht durch Setzen von <math>a_n=\Lambda(n)</math>, wobei <math>\Lambda(n)</math> die  [[Mangoldt-Funktion]] ist. Dann ist

:<math> 
\sum_{n\le \lambda} \left(1-\frac{n}{\lambda}\right)^\delta \Lambda(n)
= - \frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} 
\frac{\Gamma(1+\delta)\Gamma(s)}{\Gamma(1+\delta+s)} 
\frac{\zeta^\prime(s)}{\zeta(s)} \lambda^s \, ds
= \frac{\lambda}{1+\delta} + 
\sum_\rho \frac {\Gamma(1+\delta)\Gamma(\rho)}{\Gamma(1+\delta+\rho)}
+\sum_n c_n \lambda^{-n}.
</math>

Erneut muss ''c'' > 1 sein. Die Summe über ''&rho;'' ist die Summe über die Nullen der Riemannschen Zeta-Funktion und
:<math>\sum_n c_n \lambda^{-n} \, </math>

ist konvergent für ''&rho;'' > 1.

Die Integrale, die hierbei auftreten ähneln dem [[Nörlund-Rice-Integral]]. Sie hängen über [[Perron's-Formel]] zusammen.

== Siehe auch ==

* [[Mittelwert]]

== Literatur ==
<references />
* I.I. Volkov: [https://encyclopediaofmath.org/wiki/Riesz_summation_method Riesz summation method], in Hazewinkel, Michiel: ''[[Encyclopaedia of Mathematics]]'', Springer, 2001, ISBN 978-1556080104 (englisch)

[[Kategorie:Mittelwert]]
[[Kategorie:Folgen und Reihen]]