Das Riesz-Mittel ist eine bestimmte Mittelwert-Bildung für Werte in eine Reihe in der Mathematik. Sie wurden von Marcel Riesz 1911 als Verbesserung zum Cesàro-Mittel eingeführt.[1][2] Das Riesz-Mittel sollte nicht mit dem Bochner-Riesz-Mittel oder dem Strong-Riesz-Mittel verwechselt werden.
Definition
Gegeben sei eine Reihe
. Das Riesz-Mittel der Reihe ist definiert durch
![{\displaystyle s^{\delta }(\lambda )=\sum _{n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }s_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/634a44d0687a0af77cefc1ceb59d189b96e6db89)
Manchmal wird ein verallgemeinertes Riesz-Mittel definiert als
![{\displaystyle R_{n}={\frac {1}{\lambda _{n}}}\sum _{k=0}^{n}(\lambda _{k}-\lambda _{k-1})^{\delta }s_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a293bb308ae3956bcc6fc0b2336a634a1f6e6dc)
Dabei sind die
eine Folge mit
und mit
, wenn
. Die anderen
sind beliebig.
Das Riesz-Mittel wird oft verwendet, um die Summierbarkeit von Folgen zu untersuchen. Üblicherweise untersuchen Sätze zur Summierbarkeit der
für Folgen
. Normalerweise ist eine Folge summierbar, wenn der Grenzwert
vorhanden ist oder der Grenzwert
existiert, obgleich die exakten Sätze zur Summierbarkeit oft noch zusätzliche Bedingungen voraussetzen.
Spezialfälle
Sei
für alle
. Dann gilt
![{\displaystyle \sum _{n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (s)}{\Gamma (1+\delta +s)}}\zeta (s)\lambda ^{s}\,ds={\frac {\lambda }{1+\delta }}+\sum _{n}b_{n}\lambda ^{-n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcd283da5e44ef75ba3482c120b6d05de9da563d)
Dabei muss
sein,
ist die Gammafunktion und
ist die Riemannsche Zeta-Funktion. Es kann gezeigt werden, dass die Potenzreihe
![{\displaystyle \sum _{n}b_{n}\lambda ^{-n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/368a66f93e03919a91d381fcfae5ee77a86d9106)
für
konvergent ist. Es ist anzumerken, dass das Integral von der Form einer inversen Mellin-Transformation ist.
Ein anderer interessanter Fall, der mit der Zahlentheorie verknüpft ist, entsteht durch Setzen von
, wobei
die Mangoldt-Funktion ist. Dann ist
![{\displaystyle \sum _{n\leq \lambda }\left(1-{\frac {n}{\lambda }}\right)^{\delta }\Lambda (n)=-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (s)}{\Gamma (1+\delta +s)}}{\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}\lambda ^{s}\,ds={\frac {\lambda }{1+\delta }}+\sum _{\rho }{\frac {\Gamma (1+\delta )\Gamma (\rho )}{\Gamma (1+\delta +\rho )}}+\sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42dd76bff62a8e2aac82dadb65e84b75ef59b01d)
Erneut muss c > 1 sein. Die Summe über ρ ist die Summe über die Nullen der Riemannschen Zeta-Funktion und
![{\displaystyle \sum _{n}c_{n}\lambda ^{-n}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dc7247949ff68f390dd956b777d253986ae2cf2d)
ist konvergent für ρ > 1.
Die Integrale, die hierbei auftreten ähneln dem Nörlund-Rice-Integral. Sie hängen über Perron's-Formel zusammen.
Siehe auch
Literatur
- ↑ M. Riesz: Comptes Rendus, 12. Juni 1911 (englisch)
- ↑ G.H. Hardy and J.E. Littlewood: Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes, Acta Mathematica, 41 (1916) pp.119–196. (englisch)