Diskussion:Uneigentliches Integral

Fehler

Die Aussage: "Somit ist jede uneigentlich riemann-integrierbare Funktion auch uneigentlich Lebesgue-integrierbar" ist falsch. Gegenbeispiel ist die "harmonische Reihe"(siehe: http://de.wikipedia.org/wiki/Lebesgue-Integral). Weder das positive noch das negative Lebesgue-Integral ist endlich, also ist die Funktion weder lebesgue- noch quasi-Lesbegue-integrierbar. Das uneigentliche Riemanintegral existiert jedoch. Richtig wäre nur : "Jede betragsmäßig uneigentlich Riemann-integrierbare Funktion ist auch Lebesgue-integrierbar."

Oder liegt der Fehler bei mir? (nicht signierter Beitrag von 195.83.178.110 (Diskussion) 22:53, 12. Feb. 2013 (CET))

Der Knackpunkt ist der Begriff "uneigentlich Lebesgue-integrierbar", der normalerweise nicht vorkommt. Was du meinst, ist einfach "Lebesgue-integrierbar". Deine Aussage steht direkt als drittes Stichwort darunter:

• Es gibt Funktionen, die uneigentlich Riemann-integrierbar, aber nicht Lebesgue-integrierbar sind, man betrachte etwa das Integral

$\int _{1}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,\mathrm {d} x.$

(Es existiert nicht im Lebesgue-Sinn, da für jede Lebesgue-integrierbare Funktion auch ihr Absolutbetrag Lebesgue-integrierbar ist, was mit nützlichen Eigenschaften der durch das Lebesgue-Integral definierten Funktionenräume einhergeht, die somit beim uneigentlichen Lebesgue-Integral verloren gehen).

--Digamma (Diskussion) 00:28, 13. Feb. 2013 (CET)

Mir ist uneigentlich Leb.-integrierbar in freier Wildbahn noch nie untergekommen und der Artikel erklärt es auch nicht. Digammas Erklärung, warum diese Erweiterung nicht so oft vorkommt, deckt sich mit meinem Wissen aus der Analysis-III-Vorlesung: Es gibt nur "ne Handvoll" uninteressanter Funktionen, die damit integrierbar werden aber man verliert zentrale Eigenschaften des Integralbegriffs. Aber da steht auch nix zu im Artikel. Imho beziehen sich alle uneigentlichen Erweiterungen im Artikel auf Riemannsche. Gibt es überhaupt Beispiele die weder Leb.-integrierbar noch (uneigentlich) Riem.-integrierbar sind aber dafür uneigentlich Leb.-integrierbar? --χario 16:33, 18. Apr. 2013 (CEST)

Die Definition im Artikel sollte aber analog für das Lebesgue-Integral gelten. Oder übersehe ich etwas?--Christian1985 (Disk) 17:14, 18. Apr. 2013 (CEST)

Würde man so ein uneigentliches Lebesgue-Integral definieren, verlöre man z.B. dominierte Konvergenz (genau im Beispiel sin(x)/x). Mir ist der Begriff bisher in keinem Lehrbuch untergekommen. Lediglich in Prof. M. Struwes Skript zur Masstheorie findet sich "uneigentlich integrabel", jedoch dort für das, was hier als quasi-integrierbar bezeichnet wird. Ich würde wegen all dieser Verwirrungen dafür plädieren, den Absatz zu streichen.--2001:67C:10EC:3F42:8000:0:0:4D 13:44, 19. Apr. 2013 (CEST)

Ich habe bei Google-Books zwei Bücher gefunden, in denen soetwas stand wie, "uneigentlich Lebesgue-Integrale" werden analog zum uneigentlichen Riemann-Integral definiert. Aber näher sind sie dann auch nicht darauf eingegangen. Bevor der Satz nun gestrichen wird, schlage ich nochmal ein Literaturricherche vor. Ich meine nämlich mal gelesen zu haben, dass man uneigentliche Integrale (egal welches Konzept nun zu Grunde liegt) so wie im Artikel definiert.--Christian1985 (Disk) 13:53, 19. Apr. 2013 (CEST)

Die oszillierenden Interale sind eine große Klasse von Interalen, die weder uneigentlich riemann-integrierbar noch lebesgue-intergierbar sind. Insbesondere sind nach EOM für $n\geq 2$ alle uneigentlich riemann-integrierbaren Funktionen auch (eigentlich) lebesgue-Interierbar. Aus letztem Punkt folgt für uns wohl allerdings auch, dass kaum jemand präzise ein mehrdimsionales uneigentliches Integral definiert hat.--Christian1985 (Disk) 14:16, 19. Apr. 2013 (CEST)

Ich sehe den Punkt. Mir wäre einfach lieb, es gäbe einen Warnhinweis noch in der gleichen Zeile, z.b. "(aber nicht notwendigerweise Lebesgue-integrierbar, siehe unten)"--2001:67C:10EC:3F42:8000:0:0:4D 14:38, 19. Apr. 2013 (CEST)

Der Artikel schränkt sich nicht aufs Riemann-Integral ein sondern lässt beliebige Integralbegriffe zu. Eine Websuche nach „improper lebesgue integral“ ergibt übrigens viele Ergebnisse in der intendierten Bedeutung. Es erscheint mir wichtig, dass es nicht so herüberkommt, als wäre es eine besonders tolle Eigenschaft des Riemann-Integrals, damit auf uneigentliche Weise $\sin(x)/x$ integrieren zu können, was das Lebesgue-Integral nicht könnte, obgleich es sich nur um ein „Feature“ des uneigentlichen Integralbegriffs handelt (stetige Funktionen auf einem kompakten Intervall integrieren, und mehr braucht man ja nicht, um zum uneigentlichen Integral von $\sin(x)/x$ übergehen zu können, kann nunmal so gut wie jeder Integralbegriff). --Chricho ¹ ² ³ 16:54, 19. Apr. 2013 (CEST)

Konvergenzkriterien

Ein kurzer Abschnitt über Konvergenzkriterien für uneigentliche Integrale wäre meiner Meinung nach sicherlich angebracht. Insbesondere: Absolute Konvergenz -> Konvergenz, die diversen Konvergenzkriterien mit Abschätzungen, die diversen Konvergenzkriterien im Stil von 1/x^n konvergiert für n>1, falls das uneigentliche Integral stetig ergänzbar ist, konvergiert es.