Diskussion:Tangentialbündel

Sollte es in dem Abschnitt über Vektorfelder nicht heißen $\pi \circ \sigma ={\operatorname {id} }_{M}$ anstatt der umgekehrten Reihenfolge?

In der Definition sollte der Link für "zusammenziehbar" eingefügt werden (siehe hierfür "kontrahierbar") -- 131.220.132.179 16:44, 25. Jun. 2011 (CEST)

Done. Ansonsten: Selbst ist der Mann/die Frau. -- Digamma 16:55, 25. Jun. 2011 (CEST)

Definition

Um ein Vektorbündel zu definieren reicht es doch nicht, den Totalraum und die Basis anzugeben. Man muss doch auch einen Atlas aus Bündelkarten angeben. Oder täusche ich mich da? --Digamma (Diskussion) 17:15, 31. Jan. 2014 (CET)

Da der Totalraum eine Mannigfaltigkeit ist, gibt es bereits Karten. Welche zusätzliche Eigenschaft der Bündelkarten fehlt dir denn? --V4len (Diskussion) 08:46, 1. Feb. 2014 (CET)

Nachtrag: Mein Verständnis von Vektorbündeln ist, dass das Bündel und der Basisraum Mannigfaltigkeiten sind. Siehe auch mein Kommentar auf der Diskussionsseite von Vektorbündel.--V4len (Diskussion)

Hallo,

ich habe gerade nochmal einen blick in das Buch "Introduction to smooth manifolds" von Lee geworfen und denke nun, dass der Artikel so richtig ist. Mittels der natürlichen Projektion vom Tantentialbündel auf die Mannigfaltigkeit erhällt man auch einen Atlas auf dem Tangentialbündel. Ich vermute, das klappt auch mit beliebigen Vektorbündel über Mannigfaltigkeiten. Bin mir da aber nicht sicher. Allerdings kann man auch Vektorbündel über anderen topologischen Räumen betrachten, dann ist das Vektorbündel keine Mannigfaltigkeit.--Christian1985 (Disk) 10:43, 1. Feb. 2014 (CET)

@V4len: Die Mannigfaltigkeitsstruktur dess Totalraums ist aber nicht angegeben. $TM$ ist nur als disjunkte Vereinigung der $T_{p}M$ definiert, das definiert nur eine Menge, aber darauf weder eine Topologie noch eine differenzierbare Struktur. Diese müssen definiert werden, zum Beispiel durch Bündelkarten.

@Christian1985: Ich habe das Buch von Lee nicht vorliegen. Aber wie soll die Projektion alleine Karten liefern? --Digamma (Diskussion) 13:31, 1. Feb. 2014 (CET)

Das Tangentialbündel ist als Vektorbündel angegeben. Daher ist es wohl eher eine Frage wie man das Vektorbündel definiert. Mir ist kein Vektorbündel bekannt, dass keine Mannigfaltigkeit ist. Gibt es dafür ein Beispiel? Wenn nicht, würde ich vorschlagen, den Vektorbündel - Artikel zu ändern. --V4len (Diskussion) (01:22, 2. Feb. 2014 (CET), Datum/Uhrzeit nachträglich eingefügt, siehe Hilfe:Signatur)

Irgendwie reden wir aneinander vorbei. Im Abschnitt Definition des Artikels steht:

Das Tangentialbündel $TM$ einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit $M$ ist ein Vektorbündel. Als Menge ist es als die disjunkte Vereinigung aller Tangentialräume von $M$ definiert:

$TM:=\bigsqcup _{p\in M}T_{p}M:=\bigcup _{p\in M}\{p\}\times T_{p}M.$

Die Vektorraumstruktur in den Fasern $\{p\}\times T_{p}M$ ist die von den Tangentialräumen geerbte Struktur. 47

Hier wird TM nur als Menge angegeben, und die Fasern als Vektorräume. Es wird aber keine Topologie und keine differenzierbare Struktur angegeben. Weiter steht da:

Ist M eine $n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit und U eine offene, zusammenziehbare Umgebung von $p\in M$, dann ist TU diffeomorph zu $U\times \mathbb {R} ^{n},$ das heißt lokal ist das Tangentialbündel TM diffeomorph zu $\mathbb {R} ^{2n}$.

So wie das da steht, ist das nicht Teil der Definition, sondern eine Aussage. Das ergibt aber keinen Sinn, weil bis dahin keine differenzierbare Struktur auf TU definiert wurde. Deshalb kann man auch nicht sagen, dass TU zu irgendetwas diffeomorph sei.

Man muss also die differenzierbare Struktur (und die Topologie) von TM angeben. Dies kann man mithilfe von Bündelkarten (lokalen Trivialisierungen) tun. Dies geschieht zum Beispiel in Jänich, Differentialtopologie, Springer 1990, Definition (3.19), S. 31:

Sei $M$ eine differenzierbare $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit und ${\mathfrak {A}}$ ein differenzierbarer Atlas von $M$. Dann ist ein differenzierbares Prä-Vektorraumbündel $(TM,\pi ,M,{\mathfrak {B}})$ wie folgt gegeben:

$TM:=\bigcup _{p\in M}T_{p}M$

$\pi \colon \quad {\text{kanonisch}}(T_{p}M\to p)$

${\mathfrak {B}}:=\{(f_{h}\mid (h,U)\in {\mathfrak {A}}\},$

wobei $f_{h}\colon \pi ^{-1}(U)\to U\times \mathbb {R} ^{n};X\mapsto p\times (v_{1},\dots ,v_{n})$

durch die „physikalischen“ Koordinaten $v_{i}=X(h_{i})$ von $X\in T_{p}M$ bezüglich $(h,U)$ gegeben ist.

Vorher zeigt er, dass durch den "Prä-Bündelatlas" ${\mathfrak {B}}$ mit differenzierbaren Übergangsfunktionen eine Toplogie und eine differenzierbare Struktur auf dem Totalraum definiert wird, wodurch das "Prä-Vektorbündel" zu einem Vektorbündel wird. --Digamma (Diskussion) 10:58, 2. Feb. 2014 (CET)

Der Ausgangspunkt der Diskussion war ja, ob nicht zusätzliche Eigenschaften für die Bündelkarten fehlen. Ich meinte zusätzlich, dass Eigenschaften wie Hausdorffsch oder Mannigfaltigkeit fehlen. Ich muss mich hier korrigieren, da ich von glatten Vektorbündeln ausgegangen bin und da ist es einfacher, wenn man den Bündelraum und den Basisraum als glatte Mannigfaltigkeit voraussetzt. Allerdings ist es natürlich möglich, dass der Basisraum $C^{1}$ ist und dann ist das Tangentialbündel keine glatte Mannigfaltigkeit mehr. Sorry für die Verwirrung.

Die Jänich-Definition scheint davon auszugehen, dass $M$ mindestens $C^{2}$ ist, da $TM$ sonst nicht differenzierbar sein kann oder übersehe ich hier etwas? (nicht signierter Beitrag von V4len (Diskussion | Beiträge) 10:11, 4. Feb. 2014 (CET))

Ich glaube, du verwechselst die Diskussionen. Dein Diskussionsbeitrag, von dem du sprichst, ist auf Diskussion:Vektorbündel. --Digamma (Diskussion) 16:05, 4. Feb. 2014 (CET)

Zu Bröcker/Jänich: Die meinen immer $C^{\infty }$, wenn sie "differenzierbar" schreiben. Das scheint in der Differentialgeometrie oder -topologie teilweise übliche zu sein. --Digamma (Diskussion) 17:49, 4. Feb. 2014 (CET)