Fundamentallemma der homologischen Algebra

Das Fundamentallemma der homologischen Algebra (auch Hauptlemma der homologischen Algebra) ist ein technisches Lemma aus dem mathematischen Gebiet der homologischen Algebra, es garantiert die Fortsetzbarkeit von Kettenabbildungen zwischen Kettenkomplexen.

Das Fundamentallemma zeigt, dass die Definition von Homologiegruppen unabhängig von Wahlmöglichkeiten bei gewissen Konstruktionen ist.

Lemma

Es seien $(C_{*},d_{*})$ und $(C_{*}^{\prime },d_{*}^{\prime })$ zwei Kettenkomplexe. Für eine ganze Zahl $r$ sei

$(f_{i}\colon C_{i}\to C_{i}^{\prime })_{i\leq r}$

eine Familie von Homomorphismen mit

$d_{i}^{\prime }f_{i}=f_{i-1}d_{i}$ für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i\le r} .

Wir nehmen an, dass alle $C_{i}$ mit $i>r$ projektive Moduln sind und dass ab Grad $r$ die Homologie von $C^{\prime }$ verschwindet, also $H_{i}(C^{\prime })=0$ für alle $i\geq r$.

Dann lässt sich $(f_{i}\colon C_{i}\to C_{i}^{\prime })_{i\leq r}$ zu einem Kettenhomomorphismus

$f\colon C\to C^{\prime }$

mit $f=f_{i}$ für $i\leq r$ fortsetzen und diese Fortsetzung ist eindeutig bis auf Kettenhomotopie. Zu je zwei Fortsetzungen kann die Kettenhomotopie $h$ so gewählt werden, dass $h_{i}=0$ für $i\leq r$.

Folgerungen

Eine unmittelbare Folgerung aus dem Fundamentallemma ist der folgende Lehrsatz:

Zu je zwei projektiven Auflösungen $F$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F^\prime} eines Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R} -Moduls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} gibt es eine (bis auf Kettenhomotopie eindeutige) augmentierungs-erhaltende Kettenhomotopieäquivalenz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\colon F\to F^\prime} .

Eine typische Anwendung dieser Tatsache findet sich bei der Definition von Homologiegruppen. Zum Beispiel wird die Gruppenhomologie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H_*(G,A)} einer Gruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} mit Koeffizienten in einer abelschen Gruppe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} (bspw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A=\Z} oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A=\R} ) definiert als Homologie des Kettenkomplexes

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F_*\otimes_{\Z G}\Z} ,

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F_*} eine beliebige projektive Auflösung des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Z G} -Moduls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} (mit der trivialen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Z G} -Wirkung) bezeichnet. Aus dem obigen Satz ergibt sich die Unabhängigkeit der so definierten Homologiegruppen von der Wahl der projektiven Auflösung. Für konkrete Berechnungen ist es oft sehr hilfreich, dass man zur Bestimmung der Homologie die projektive Auflösung beliebig wählen kann.

Eine andere Anwendung ist die Definition des Tor-Funktors, der ebenfalls mittels projektiver Auflösungen definiert wird und wo ebenso aus dem obigen Satz die Unabhängigkeit des Funktors von der gewählten projektiven Auflösung folgt.

Allgemein kann obiger Satz zum Beweis der Wohldefiniertheit linksderivierter Funktoren herangezogen werden.

Duale Version

Das Fundamentallemma hat auch eine duale Version für Kokettenkomplexe.

Es seien Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (C^*,d^*)} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle ({C^\prime}^*,{d^\prime}^*)} zwei Kokettenkomplexe. Für eine ganze Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r} sei

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (f_i\colon C^i\to {C^\prime}^i)_{i\le r}}

eine Familie von Homomorphismen mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {d^\prime}^if_i=f_{i+1}d^i} für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i\le r} .

Wir nehmen an, dass alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C_i} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i>r} injektive Moduln sind und dass ab Grad Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r} die Kohomologie von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C^\prime} verschwindet, also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H^i(C^\prime)=0} für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i\ge r} .

Dann lässt sich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (f_i\colon C_i\to {C^\prime}^i)_{i\le r}} zu einem Kettenhomomorphismus

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\colon C\to C^\prime}

mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f=f_i} für $i\leq r$ fortsetzen und diese Fortsetzung ist eindeutig bis auf Kettenhomotopie. Zu je zwei Fortsetzungen kann die Kettenhomotopie $h$ so gewählt werden, dass $h_{i}=0$ für $i\leq r$.

Die duale Version wird bei der Definition von Kohomologiegruppen benutzt, zum Beispiel bei der Gruppenkohomologie, oder bei der Definition des Ext-Funktors.

Literatur

• K. S. Brown: Cohomology of groups. Corrected reprint of the 1982 original. Graduate Texts in Mathematics, 87. Springer-Verlag, New York, 1994. ISBN 0-387-90688-6
• E. Ossa: Topologie. Vieweg Studium: Aufbaukurs Mathematik, 42. Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1992. ISBN 3-528-07242-3

Weblinks

• C. Schweigert: Höhere Algebra: Darstellungstheorie und homologische Algebra (Kapitel 6)
• T. Bauer: Homologische Algebra und Gruppenkohomologie (Kapitel 3)
• J. F. Davis, P. Kirk: Lectures in Algebraic Topology (Chapter 2)