Benutzer:WeJay/Arcsin Verteilung

WeJay/Arcsin Verteilung
Dichtefunktion
Verteilungsfunktion
Parameter	keine
Träger	$x\in [0,1]$
Erwartungswert	${\frac {1}{2}}$

Die arcsin-Verteilung ist eine univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Definition

Die arcsin-Verteilung ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf $[0,1]$. Sie ist definiert durch ihre Verteilungsfunktion

$F(x)={\frac {2}{\pi }}\arcsin \left({\sqrt {x}}\right),\ \ \ x\in [0,1]$

und ihrer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion

$f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{\pi {\sqrt {x(1-x)}}}}&{\text{wenn}}\;x\in (0,1)\\0&{\text{wenn}}\;x\in \{0,1\}\\\end{cases}}$.

Eigenschaften

Es sei $X$ eine arcsin-verteilte Zufallsvariable.

Erwartungswert

Der Erwartungswert ergibt sich zu

$\operatorname {E} (X)={\frac {1}{2}}$.

Verwendung

• Arcsin-Gesetz nach Levy
• Arcsin-Gesetz nach Erdős und Kac
• In der Fluktuationstheorie konnte Erik Sparre Andersen zeigen, dass die diskrete Verteilung mit der Wahrscheinlichkeitsfunktion

$(-1)^{n}{\binom {-{\frac {1}{2}}}{m}}{\binom {-{\frac {1}{2}}}{n-m}},\ \ \ n\in \mathbb {N} \cup \{0\},m\leq n$

von Bedeutung ist. Für jedes $x\in [0,1]$ gilt

$\lim _{n\rightarrow \infty }\sum \limits _{m\in [0,nx]\cap \mathbb {N} \cup \{0\}}(-1)^{n}{\binom {-{\frac {1}{2}}}{m}}{\binom {-{\frac {1}{2}}}{n-m}}=F(x)$.

Aufgrund diesem asymptotischen Verhaltens wird diese Verteilung häufig endliche oder diskrete arcsin-Verteilung genannt.

Literatur

• Feller, William: An introduction to probability theory and its applications. Band 2. Wiley, 1971. 
• Paul Erdös, Mark Kac: On the number of postive sums of independent random variables, Bull. Amer. Math. Soc. 53, no. 10. 1947. 
• Paul Lévy: Sur certains processus stochastiques homogènes, Compositio Mathematica. Band 7, 1939, S. 283–339 (numdam.org). 

Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung