Erwartungswert

Der Erwartungswert (selten und doppeldeutig Mittelwert), der oft mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu} abgekürzt wird, ist ein Grundbegriff der Stochastik. Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen beschreibt die Zahl, die die Zufallsvariable im Mittel annimmt. Er ergibt sich zum Beispiel bei unbegrenzter Wiederholung des zugrunde liegenden Experiments als Durchschnitt der Ergebnisse. Das Gesetz der großen Zahlen beschreibt, in welcher Form genau die Durchschnitte der Ergebnisse bei wachsender Anzahl der Experimente gegen den Erwartungswert streben, oder anders gesagt, wie die Stichprobenmittelwerte bei wachsender Stichprobengröße gegen den Erwartungswert konvergieren.

Er bestimmt die Lokalisation (Lage) der Verteilung der Zufallsvariablen und ist vergleichbar mit dem empirischen arithmetischen Mittel einer Häufigkeitsverteilung in der deskriptiven Statistik, jedoch mit einem wichtigen Unterschied: Der Erwartungswert ist der "wahre" Mittelwert einer Zufallsvariablen (Mittelwert der Grundgesamtheit), während sich das arithmetische Mittel in der Regel nur auf eine Stichprobe von Werten bezieht (Stichprobenmittel). Eine neue Stichprobe wird einen unterschiedlichen arithmetischen Mittelwert liefern, jedoch bleibt der Erwartungswert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu} immer gleich.

Er berechnet sich als nach Wahrscheinlichkeit gewichtetes Mittel der Werte, die die Zufallsvariable annimmt. Er muss selbst jedoch nicht einer dieser Werte sein. Insbesondere kann der Erwartungswert die Werte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pm \infty} annehmen.

Weil der Erwartungswert nur von der Wahrscheinlichkeitsverteilung abhängt, wird vom Erwartungswert einer Verteilung gesprochen, ohne Bezug auf eine Zufallsvariable. Der Erwartungswert einer Zufallsvariablen kann als Schwerpunkt der Wahrscheinlichkeitsmasse betrachtet werden und wird daher als ihr erstes Moment bezeichnet.

Motivation

Die Augenzahlen beim Würfelwurf können als unterschiedliche Ausprägungen einer Zufallsvariablen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} betrachtet werden. Weil die (tatsächlich beobachteten) relativen Häufigkeiten sich gemäß dem Gesetz der großen Zahlen mit wachsendem Stichprobenumfang Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} den theoretischen Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Augenzahlen annähern, muss der Mittelwert gegen den Erwartungswert von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} streben. Zu dessen Berechnung werden die möglichen Ausprägungen mit ihrer theoretischen Wahrscheinlichkeit gewichtet.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{lcl}\operatorname{E}(X) & = & 1\cdot P(X=1)+2\cdot P(X=2)+3\cdot P(X=3)+4\cdot P(X=4)+5\cdot P(X=5)+6\cdot P(X=6)\\ & = & (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)\cdot \tfrac16 = 3{,}5. \end{array}}

Wie die Ergebnisse der Würfelwürfe ist der Mittelwert vom Zufall abhängig. Im Unterschied dazu ist der Erwartungswert eine feste Kennzahl der Verteilung der Zufallsvariablen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} .

Die Definition des Erwartungswerts steht in Analogie zum gewichteten Mittelwert von empirisch beobachteten Zahlen. Hat zum Beispiel eine Serie von zehn Würfelversuchen die Ergebnisse 4, 2, 1, 3, 6, 3, 3, 1, 4, 5 geliefert, kann der zugehörige Mittelwert

${\bar {x}}=(4+2+1+3+6+3+3+1+4+5)\cdot {\tfrac {1}{10}}=3{,}2$

alternativ berechnet werden, indem zunächst gleiche Werte zusammengefasst und nach ihrer relativen Häufigkeit gewichtet werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \bar x = \tfrac 2{10}\cdot 1 + \tfrac 1{10}\cdot 2 + \tfrac 3{10}\cdot 3 + \tfrac 2{10}\cdot 4 + \tfrac 1{10}\cdot 5 + \tfrac 1{10}\cdot 6 = 3{,}2} .

Allgemein lässt der Mittelwert der Augenzahlen in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} Würfen sich wie

$1\cdot h_{n}(1)+2\cdot h_{n}(2)+3\cdot h_{n}(3)+4\cdot h_{n}(4)+5\cdot h_{n}(5)+6\cdot h_{n}(6),$

schreiben, worin Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h_n(k)} die relative Häufigkeit der Augenzahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k} bezeichnet.

Begriff und Notation

Begriff

Das Konzept des Erwartungswertes geht auf Christiaan Huygens zurück. In einer Abhandlung über Glücksspiele von 1656, „Van rekeningh in spelen van geluck“ bezeichnet Huygens den erwarteten Gewinn eines Spiels als „het is my soo veel weerdt“. Frans van Schooten verwendete in seiner Übersetzung von Huygens' Text ins Lateinische den Begriff expectatio. Bernoulli übernahm in seiner Ars conjectandi den von van Schooten eingeführten Begriff in der Form valor expectationis.

Notation

Das Symbol E für Erwartungswert oder Expectation wurde in der englischsprachigen Literatur erst ab dem 20. Jahrhundert eingeführt. Heute wird in der englischsprachigen und deutschsprachigen mathematischen Literatur häufig die Schreibweise Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{E}\left(X\right)} oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{E}\left(X\right)} oder auch mit eckigen Klammern Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{E}\left[X\right]} bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{E}\left[X\right]} für den Erwartungswert der Zufallsvariable $X$ verwendet. Gelegentlich werden auch geschweiften Klammern verwendet.

In der russischsprachigen Literatur findet sich die Bezeichnung $M(X)$.

Gelegentlich werden auch die Klammern um die Zufallsvariable weggelassen, was der Schreibweise für Operatoren entspricht: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{\it E}X} oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{\it M}X} . Mit der auch vorkommenden Notation Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{E}X} besteht hierbei nicht die Gefahr, dass der Operator $\mathbb {E}$ mit einer Zufallsvariable verwechselt wird. Die Notation Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{E}\left[X\right]} mit den eckigen Klammern hebt speziell die Tatsache hervor, dass es sich hier um ein Funktional handelt.

Die Bezeichnung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu_X} des Erwartungswerts der Zufallsvariable Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} betont die Eigenschaft als nicht vom Zufall abhängiges erstes Moment. In der Physik findet die Bra-Ket-Notation Verwendung. Insbesondere wird Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle X \rangle} statt $\operatorname {E} (X)$ für den Erwartungswert einer Größe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} geschrieben.

Definitionen

Ist eine Zufallsvariable diskret oder besitzt sie eine Dichte, so existieren die folgenden Formeln für den Erwartungswert.

Erwartungswert einer diskreten reellen Zufallsvariable

Im reellen diskreten Fall errechnet sich der Erwartungswert als die Summe der Produkte aus den Wahrscheinlichkeiten jedes möglichen Ergebnisses des Experiments und den „Werten“ dieser Ergebnisse.

Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} eine reelle diskrete Zufallsvariable, die die Werte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x_i)_{i \in I}} mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (p_i)_{i \in I}} annimmt (mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I} als abzählbarer Indexmenge), so errechnet sich der Erwartungswert $\operatorname {E} (X)$ im Falle der Existenz mit:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{E}(X)=\sum_{i\in I} x_i p_i=\sum_{i \in I} x_i P(X=x_i)}

Es ist zu beachten, dass dabei nichts über die Reihenfolge der Summation ausgesagt wird (siehe summierbare Familie).

Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I = \mathbb{N}} , so besitzt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} genau dann einen endlichen Erwartungswert $\operatorname {E} (X)$, wenn die Konvergenzbedingung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{a\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^a |x_i|p_i = \sum_{i=1}^\infty |x_i|p_i <\infty} erfüllt ist, d. h. die Reihe für den Erwartungswert absolut konvergent ist.

Für nichtnegative ganzzahlige Zufallsvariablen ist oft die folgende Eigenschaft hilfreich

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{E}(X)=\sum\limits_{i=1}^\infty P(X\geq i).}

Diese Eigenschaft wird im Abschnitt über den Erwartungswert einer nicht-negativen Zufallsvariablen bewiesen.

Erwartungswert einer reellen Zufallsvariable mit Dichtefunktion

Der Erwartungswert balanciert die Wahrscheinlichkeitsmasse – hier die Masse unter der Dichte einer Beta(α,β)-Verteilung mit Erwartungswert α/(α+β). Dies entspricht der Interpretation des Erwartungswertes als Massenmittelpunkt.

Hat eine reelle Zufallsvariable Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} , das heißt hat das Bildmaß Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P^X} diese Dichte bezüglich des Lebesgue-Maßes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda} , so berechnet sich der Erwartungswert im Falle der Existenz als

(1) $\displaystyle \quad \operatorname {E} (X)=\int _{\mathbb {R} }xf(x)\,\mathrm {d} \lambda (x).$

In vielen Anwendungsfällen liegt (im Allgemeinen uneigentliche) Riemann-Integrierbarkeit vor und es gilt:

(2) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle\quad \operatorname E(X)=\int_{-\infty}^\infty x f(x)\,\mathrm{d}x.}

Gleichwertig zu dieser Gleichung ist, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} Verteilungsfunktion von $X$ ist:

(3) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \displaystyle\quad\operatorname E(X)=\int_0^\infty (1-F(x))\,\mathrm{d}x - \int_{-\infty}^0 F(x)\,\mathrm{d}x.}

(2) und (3) sind unter der gemeinsamen Voraussetzung (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} ist Dichtefunktion und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} ist Verteilungsfunktion von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} ) äquivalent, was mit schulgemäßen Mitteln bewiesen werden kann.

Für nichtnegative Zufallsvariablen folgt daraus die wichtige Beziehung zur Zuverlässigkeitsfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R(t)=1-F(t)}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{E}(X) = \int_0^\infty ( 1-F(t) ) \, \mathrm{d}t = \int_0^\infty R(t) \, \mathrm{d}t.}

Allgemeine Definition

Der Erwartungswert wird entsprechend als das Lebesgue-Integral bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes definiert: Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} eine bezüglich dem Maß Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} integrierbare oder quasiintegrierbare Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\Omega,\Sigma,P)} mit Werten in Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle ({\overline {\mathbb {R} }},{\mathcal {B}})} , wobei ${\mathcal {B}}$ die Borelsche σ-Algebra über Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \overline{\R}:=\R\cup\{-\infty,\infty\}} ist, so wird definiert

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{E}(X) = \int_\Omega X \,\mathrm{d}P = \int_\Omega X(\omega)\mathrm{d}P(\omega)\,} .

Die Zufallsvariable Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} besitzt genau dann einen Erwartungswert, wenn sie quasiintegrierbar ist, also die Integrale

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int_\Omega X^+(\omega)\,\mathrm{d}P(\omega)} und $\int _{\Omega }X^{-}(\omega )\,\mathrm {d} P(\omega )$

nicht beide unendlich sind, wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X^+} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X^-} den Positiv- sowie den Negativteil von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} bezeichnen. In diesem Fall kann Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{E}(X) = \infty} oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{E}(X) = -\infty} gelten.

Der Erwartungswert ist genau dann endlich, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} integrierbar ist, also die obigen Integrale über Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X^+} und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle X^{-}} beide endlich sind. Dies ist äquivalent mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int_\Omega |X(\omega)|\,\mathrm{d}P(\omega) < \infty .}

In diesem Fall schreiben viele Autoren, der Erwartungswert existiere oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} sei eine Zufallsvariable mit existierendem Erwartungswert, und schließen damit den Fall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \infty} bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -\infty} aus.

Erwartungswert von zwei Zufallsvariablen mit gemeinsamer Dichtefunktion

Haben die integrierbaren Zufallsvariablen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y} eine gemeinsame Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x,y)} , so berechnet sich der Erwartungswert einer Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(X,Y)} von $X$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y} nach dem Satz von Fubini zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{E}(g(X,Y))=\int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty g(x,y) f(x,y)\,\mathrm{d}x \,\mathrm{d}y}

Der Erwartungswert von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(X,Y)} ist nur dann endlich, wenn das Integral

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty \left| g(x,y) \right| f(x,y)\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y}

endlich ist.

Insbesondere ist:

$\operatorname {E} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }xf(x,y)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y$

Aus der Randdichte errechnet sich der Erwartungswert wie bei univariaten Verteilungen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{E}(X)=\int_{-\infty}^\infty x f_X(x)\,\mathrm{d}x}

Dabei ist die Randdichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_X(x)} gegeben durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_X(x)=\int_{-\infty}^\infty f(x,y)\,\mathrm{d}y}

Elementare Eigenschaften

Linearität

Der Erwartungswert ist linear, es gilt also für beliebige, nicht notwendigerweise unabhängige Zufallsvariablen Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle X_{1},X_{2}} , dass

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{E}(aX_1+bX_2 )=a\operatorname{E}(X_1)+b\operatorname{E}(X_2) }

ist. Als Spezialfälle ergeben sich

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{E}(cX+d)=c\operatorname{E}(X)+d} ,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{E}(cX)=c\operatorname{E}(X)}

und

$\operatorname {E} (d)=d$.

Die Linearität lässt sich auch auf endliche Summen erweitern:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{E}\left(\sum_{i=1}^nX_i\right)=\sum_{i=1}^n\operatorname{E}(X_i)}

Die Linearität des Erwartungswertes folgt aus der Linearität des Integrals.

Monotonie

Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X \leq Y} fast sicher, und existieren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{E}(X), \operatorname{E}(Y) } , so gilt

$\operatorname {E} (X)\leq \operatorname {E} (Y)$.

Wahrscheinlichkeiten als Erwartungswerte

Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen lassen sich auch über den Erwartungswert ausdrücken. Für jedes Ereignis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{P}(A) = \operatorname{E}(\chi_A)\,} ,

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \chi_A} die Indikatorfunktion von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} ist.

Dieser Zusammenhang ist oft nützlich, etwa zum Beweis der Tschebyschow-Ungleichung.

Dreiecksungleichung

Es gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left|\operatorname E (X)\right| \leq \operatorname E (|X|) }

und

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname E (|X+Y|) \leq \operatorname E (|X|)+\operatorname E (|Y|) }

Beispiele

Würfeln

Datei:Largenumbers.svg

Eine Illustration der Konvergenz von Durchschnitten des Würfelns eines Würfels zum Erwartungswert von 3,5, wenn die Anzahl an Versuchen steigt.

Das Experiment sei ein Würfelwurf. Als Zufallsvariable Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} betrachten wir die gewürfelte Augenzahl, wobei jede der Zahlen 1 bis 6 mit einer Wahrscheinlichkeit von jeweils 1/6 gewürfelt wird.

$\operatorname {E} (X)=\sum _{i=1}^{6}i\cdot {\frac {1}{6}}=3{,}5$

Wenn beispielsweise 1000-mal gewürfelt wird, man also das Zufallsexperiment 1000-mal wiederholt und die geworfenen Augenzahlen zusammenzählt und durch 1000 dividiert, ergibt sich mit hoher Wahrscheinlichkeit ein Wert in der Nähe von 3,5. Es ist jedoch unmöglich, diesen Wert mit einem einzigen Würfelwurf zu erzielen.

Sankt-Petersburg-Paradoxon

Das Sankt-Petersburg-Paradoxon beschreibt ein Glücksspiel, dessen zufälliger Gewinn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} einen unendlichen Erwartungswert hat. Gemäß der klassischen Entscheidungstheorie, die auf der Erwartungswertregel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X \succcurlyeq Y \Leftrightarrow \operatorname{E}(X) \geq \operatorname{E}(Y)} basiert, sollte man daher einen beliebig hohen Einsatz riskieren. Da die Wahrscheinlichkeit für einen Verlust des Einsatzes aber $50\%$ beträgt, erscheint diese Empfehlung nicht rational. Eine Lösung des Paradoxons stellt die Verwendung einer logarithmischen Nutzenfunktion dar.

Zufallsvariable mit Dichte

Gegeben ist die reelle Zufallsvariable Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} mit der Dichtefunktion

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = \begin{cases} \frac 1x, & 3 \le x \le 3\mathrm{e}, \\ & \\ 0, & \text {sonst} \end{cases} }

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{e}} die Eulersche Konstante bezeichnet.

Der Erwartungswert von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} berechnet sich als

${\begin{aligned}\operatorname {E} (X)&=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,\mathrm {d} x=\int _{-\infty }^{3}x\cdot 0\,\mathrm {d} x+\int _{3}^{3\mathrm {e} }x\cdot {\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x+\int _{3\mathrm {e} }^{\infty }x\cdot 0\,\mathrm {d} x\\&=0+\int _{3}^{3\mathrm {e} }1\,\mathrm {d} x+0=[x]_{3}^{3\mathrm {e} }=3\mathrm {e} -3=3(\mathrm {e} -1).\end{aligned}}$

Allgemeine Definition

Gegeben sei der Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega ,\Sigma ,P)$ mit Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \Omega =\{\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3}\}} , $\Sigma$ die Potenzmenge von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(\{\omega_i\})=\tfrac{1}{3}} für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i=1,2,3} . Der Erwartungswert der Zufallsvariablen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X \colon \Omega \to \R} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X(\omega_1) = X(\omega_2) = 1} und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle X(\omega _{3})=2} ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{E}(X) = \int_\Omega X \, \mathrm{d}P = X(\omega_1)P(\{\omega_1\}) + X(\omega_2)P(\{\omega_2\}) + X(\omega_3)P(\{\omega_3\}) = 1 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{3}}

Da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} eine diskrete Zufallsvariable ist mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(X=1) = P(\{\omega_1, \omega_2\}) = \tfrac{2}{3}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(X=2) = P(\{\omega_3\}) = \tfrac{1}{3}} , kann der Erwartungswert alternativ auch berechnet werden als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{E}(X) = 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2) = 1 \cdot \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{4}{3}}

Weitere Eigenschaften

Erwartungswert einer nicht-negativen Zufallsvariable

Falls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p>0} ist und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X\in L^p} fast sicher nicht-negativ ist, so gilt gemäß dem Satz von Fubini-Tonelli (hierbei bezeichnen die eckigen Klammern die Prädikatabbildung)

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \operatorname {E} (X^{p})=\int _{\Omega }X(\omega )^{p}\,\mathrm {d} P(\omega )=\int _{\Omega }\int _{0}^{\infty }px^{p-1}[x\leq X(\omega )]\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} P(\omega )=\int _{0}^{\infty }\int _{\Omega }px^{p-1}[x\leq X(\omega )]\,\mathrm {d} P(\omega )\,\mathrm {d} x=p\int _{0}^{\infty }x^{p-1}P{\big (}\{\omega \in \Omega \mid x\leq X(\omega )\}{\big )}\,\mathrm {d} x}

Also ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname E(X^p) = p \int_0^\infty x^{p-1} P(X\geq x)\,\mathrm dx =p \int_0^\infty x^{p-1} P(X>x)\,\mathrm dx.}

(Die letzte Gleichheit ist richtig, da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(X=x)=0} für fast alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x\in \mathbb R} .)

Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p=1} ergibt sich der folgende bekannte Spezialfall:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname E(X) = \int_0^\infty P(X\geq x)\,\mathrm dx = \int_0^\infty P(X>x)\,\mathrm dx.}

Für ganzzahlige, nichtnegative Zufallsvariablen gilt also wegen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int_n^{n+1} P(X>x) \,\mathrm dx=P(X\geq n+1)}

die oben genannte Formel:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname E(X)=\sum_{i=0}^\infty \int_i^{i+1} P(X>x)\,\mathrm dx=\sum_{i=0}^\infty P(X\geq i+1)=\sum_{i=1}^\infty P(X\geq i).}

Sigma-Additivität

Sind alle Zufallsvariablen $(X_{i})_{i\in \mathbb {N} }$ fast sicher nichtnegativ, so lässt sich die endliche Additivität sogar zur $\sigma$-Additivität erweitern:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{E} \left( \sum_{i=1}^\infty X_i\right)=\sum_{i=1}^\infty\operatorname{E}(X_i) }

Erwartungswert des Produkts von n stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen

Wenn die Zufallsvariablen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X_i} stochastisch voneinander unabhängig und integrierbar sind, gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{E}\!\left(\prod_{i=1}^n X_{i}\right) = \prod_{i=1}^n \operatorname{E}(X_{i})}

insbesondere auch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{E}\!\left(X_iX_j\right) = \operatorname{E}\!\left(X_i\right) \cdot \operatorname{E}\!\left(X_j\right)} für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i \neq j}

Erwartungswert des Produkts von nicht stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen

Falls die Zufallsvariablen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} und $Y$ nicht stochastisch unabhängig sind, gilt für deren Produkt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{E}\!\left(XY\right) =\operatorname{E}\!\left(X\right)\operatorname{E}\!\left(Y\right)+\operatorname{Cov}\!\left(X,Y\right)}

Dabei ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Cov}\!\left(X,Y\right)} die Kovarianz zwischen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} und $Y$.

Erwartungswert einer zusammengesetzten Zufallsvariable

Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y } eine zusammengesetzte Zufallsvariable, sprich sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N, X_1, X_2, \dots } unabhängige Zufallsvariablen und sind die $X_{i}$ identisch verteilt und ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N } auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{N}_0 } definiert, so lässt sich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y } darstellen als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y:=\sum_{i=1}^NX_i } .

Existieren die ersten Momente von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N, X_1, X_2, \dots } , so gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{E}(Y)=\operatorname{E}(N)\operatorname{E}(X_1) } .

Diese Aussage ist auch als Formel von Wald bekannt. Sie wird z. B. in der Schadensversicherungsmathematik benutzt.

Monotone Konvergenz

Sind die nichtnegativen Zufallsvariablen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (X_i)_{i \in \mathbb{N}} } fast sicher punktweise monoton wachsend und konvergieren fast sicher gegen eine weitere Zufallsvariable Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X } , so gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{i \to \infty} \operatorname{E}(X_i)=\operatorname{E}(X) } .

Dies ist der Satz von der monotonen Konvergenz in der wahrscheinlichkeitstheoretischen Formulierung.

Berechnung mittels der kumulantenerzeugenden Funktion

Die kumulantenerzeugende Funktion einer Zufallsvariable ist definiert als

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle g_{X}(t)=\ln \operatorname {E} (e^{tX})} .

Wird sie abgeleitet und an der Stelle 0 ausgewertet, so ist der Erwartungswert:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{E}(X) = g'_X(0) } .

Die erste Kumulante ist also der Erwartungswert.

Berechnung mittels der charakteristischen Funktion

Die charakteristische Funktion einer Zufallsvariable Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X } ist definiert als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi_X(t):=\operatorname{E}(e^{itX}) } . Mit ihrer Hilfe lässt sich durch Ableiten der Erwartungswert der Zufallsvariable bestimmen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{E}(X)=\frac{\varphi_X'(0)}{\mathrm i} } .

Berechnung mittels der momenterzeugenden Funktion

Ähnlich wie die charakteristische Funktion ist die momenterzeugende Funktion definiert als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M_X(t):=\operatorname{E}\left(e^{tX}\right)} .

Auch hier lässt sich der Erwartungswert einfach bestimmen als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{E}(X)=M_X'(0) } .

Dies folgt daraus, dass der Erwartungswert das erste Moment ist und die k-ten Ableitungen der momenterzeugenden Funktion an der 0 genau die k-ten Momente sind.

Berechnung mittels der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion

Wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} nur natürliche Zahlen als Werte annimmt, lässt sich der Erwartungswert für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} auch mithilfe der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m_X(t):=\operatorname{E}\left(t^X\right)} .

berechnen. Es gilt dann

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{E}\left[X \right] = \lim_{t \uparrow 1} m_X'(t)} ,

falls der linksseitige Grenzwert existiert.

Beste Approximation

Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X } eine Zufallsgröße auf einem Wahrscheinlichkeitsraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\Omega,\Sigma,P)} , so beschreibt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{E} \left( X \right)} die beste Approximation an Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X } im Sinne der Minimierung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{E} \left( \left( X-a \right)^2 \right) } , wobei a eine reelle Konstante ist. Dies folgt aus dem Satz über die beste Approximation, da

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle X-\operatorname{E}(X), b \rangle =0 }

für alle konstanten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b } ist, wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle .,. \rangle } das Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L^2 } -Standardnormalskalarprodukt bezeichne. Diese Auffassung des Erwartungswertes macht die Definition der Varianz als minimaler mittlerer quadratischer Abstand sinnvoll, siehe auch Fréchet-Prinzip.

Erwartungswerte von Funktionen von Zufallsvariablen

Wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y=g(X)} wieder eine Zufallsvariable ist, so kann der Erwartungswert von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y} , statt mittels der Definition, auch mittels der Formel bestimmt werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{E}(Y)=\operatorname{E}(g(X))=\int_{-\infty}^\infty g(x) f_X(x)\,\mathrm{d}x.}

Auch in diesem Fall existiert der Erwartungswert nur, wenn

$\int _{-\infty }^{\infty }\left|g(x)\right|f_{X}(x)\,\mathrm {d} x$

konvergiert.

Bei einer diskreten Zufallsvariablen wird eine Summe verwendet:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{E}(Y)=\operatorname{E}(g(X))=\sum_i g(x_i) p_X(x_i).}

Ist die Summe nicht endlich, dann muss die Reihe absolut konvergieren, damit der Erwartungswert existiert.

Verwandte Konzepte und Verallgemeinerungen

Lageparameter

→ Hauptartikel: Lagemaß (Stochastik)

Wird der Erwartungswert als Schwerpunkt der Verteilung einer Zufallsvariable aufgefasst, so handelt es sich um einen Lageparameter. Dieser gibt an, wo sich der Hauptteil der Verteilung befindet. Weitere Lageparameter sind

1. Der Modus: Der Modus gibt an, an welcher Stelle die Verteilung ein Maximum hat, sprich bei diskreten Zufallsvariablen die Ausprägung mit der größten Wahrscheinlichkeit und bei stetigen Zufallsvariable die Maximastellen der Dichtefunktion. Der Modus existiert zwar im Gegensatz zum Erwartungswert immer, muss aber nicht eindeutig sein. Beispiele für nichteindeutige Modi sind bimodale Verteilungen.
2. Der Median ist ein weiterer gebräuchlicher Lageparameter. Er gibt an, welcher Wert auf der x-Achse die Wahrscheinlichkeitsdichte so trennt, dass links und rechts des Medians jeweils die Hälfte der Wahrscheinlichkeit anzutreffen ist. Auch der Median existiert immer, muss aber (je nach Definition) nicht eindeutig sein.

Momente

Wird der Erwartungswert als erstes Moment aufgefasst, so ist er eng verwandt mit den Momenten höherer Ordnung. Da diese wiederum durch den Erwartungswert in Verknüpfung mit einer Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(\cdot ) } definiert werden, sind sie gleichsam ein Spezialfall. Einige der bekannten Momente sind:

• Die Varianz: Zentriertes zweites Moment, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(X)=(X-\mu_X)^2} . Hierbei ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu_X } der Erwartungswert.
• Die Schiefe: Zentriertes drittes Moment, normiert auf die dritte Potenz der Standardabweichung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_X } . Es ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(X)=\frac{(X-\mu_X)^3}{\sigma_X^3} } .
• Die Wölbung: Zentriertes viertes Moment, normiert auf $\sigma _{X}^{4}$. Es ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(X)=\frac{(X-\mu_X)^4}{\sigma_X^4} } .

Bedingter Erwartungswert

Der bedingte Erwartungswert ist eine Verallgemeinerung des Erwartungswertes auf den Fall, dass gewisse Ausgänge des Zufallsexperiments bereits bekannt sind. Damit lassen sich bedingte Wahrscheinlichkeiten verallgemeinern und auch die bedingte Varianz definieren. Der bedingte Erwartungswert spielt eine wichtige Rolle in der Theorie der stochastischen Prozesse.

Quantenmechanischer Erwartungswert

Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \psi(r,t)=\langle r|\psi(t)\rangle} die Wellenfunktion eines Teilchens in einem bestimmten Zustand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\psi(t)\rangle} und ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat O} ein Operator, so ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle \hat O \rangle_{|\psi(t)\rangle}:= \langle\psi(t)|\hat O |\psi(t)\rangle= \int_{M^2} \mathrm{d}^n r\, \mathrm{d}^n r^\prime\, \psi^\star (r,t)\langle r|\hat O|r^\prime\rangle\psi(r^\prime,t)}

der quantenmechanische Erwartungswert von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat O} im Zustand $|\psi (t)\rangle$. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} ist hierbei der Ortsraum, in dem sich das Teilchen bewegt, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} ist die Dimension von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} , und ein hochgestellter Stern steht für komplexe Konjugation.

Lässt sich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat O} als formale Potenzreihe Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle O({\hat {r}},{\hat {p}})} schreiben (und das ist oft so), so wird die Formel verwendet

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle \hat O\rangle_\psi = \int_M \mathrm{d}^n r\, \psi^\star(r,t) O(r,\frac{\hbar}{i}\nabla_r)\psi(r,t).}

Der Index an der Erwartungswertsklammer wird nicht nur wie hier abgekürzt, sondern manchmal auch ganz weggelassen.

Beispiel

Der Erwartungswert des Aufenthaltsorts in Ortsdarstellung ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle\hat r\rangle = \int_M \mathrm{d}^n r\, \psi^\star(r,t)r\psi(r,t)= \int_M \mathrm{d}^n r\, r|\psi(r,t)|^2 =\int_M \mathrm{d}^n r\, rf(r,t).}

Der Erwartungswert des Aufenthaltsorts in Impulsdarstellung ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle\hat r\rangle = \int_M \mathrm{d}^n p\,\Psi^\star(p,t)i\hbar\vec\nabla_p\Psi(p,t),}

wobei wir die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Quantenmechanik im Ortsraum identifiziert haben.

Erwartungswert von Matrizen und Vektoren

→ Hauptartikel: Kovarianzmatrix

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{X}} eine stochastische Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m \times n} -Matrix, mit den stochastischen Variablen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (X_{i,j})} als Elementen, dann ist der Erwartungswert von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{X}} definiert als:

$\operatorname {E} \left(\mathbf {X} \right)=\operatorname {E} {\begin{pmatrix}X_{1,1}&X_{1,2}&\cdots &X_{1,n}\\X_{2,1}&X_{2,2}&\cdots &X_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\X_{m,1}&X_{m,2}&\cdots &X_{m,n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\operatorname {E} (X_{1,1})&\operatorname {E} (X_{1,2})&\cdots &\operatorname {E} (X_{1,n})\\\operatorname {E} (X_{2,1})&\operatorname {E} (X_{2,2})&\cdots &\operatorname {E} (X_{2,n})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\operatorname {E} (X_{m,1})&\operatorname {E} (X_{m,2})&\cdots &\operatorname {E} (X_{m,n})\end{pmatrix}}$.

Falls ein Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n \times 1} -Zufallsvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{X}} vorliegt gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{E}(\mathbf{X}) = \operatorname{E}\begin{pmatrix} X_1 \\ X_2 \\ \vdots \\ X_n \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \operatorname{E}(X_1) \\ \operatorname{E}(X_2) \\ \vdots \\ \operatorname{E}(X_n) \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} \mu_1 \\ \mu_2 \\ \vdots \\ \mu_n \end{pmatrix}=\boldsymbol \mu} .

Siehe auch

• Erwartungsnutzenfunktion
• Erwartungswertregel
• Erwartungstreue Schätzfunktion

Literatur

• Krishna B. Athreya, Soumendra N. Lahiri: Measure Theory and Probability Theory (= Springer Texts in Statistics). Springer Verlag, New York 2006, ISBN 0-387-32903-X (MR2247694). 
• Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie (= De Gruyter Lehrbuch). 5., durchgesehene und verbesserte Auflage. de Gruyter, Berlin, New York 2002, ISBN 3-11-017236-4 (MR1902050). 
• Kai Lai Chung: A Course in Probability Theory. Academic Press, Inc., San Diego (u. a.) 2001, ISBN 0-12-174151-6 (R1796326). 
• Walter Greiner: Quantenmechanik. 6. überarb. und erw. Auflage. Verlag Harri Deutsch, Zürich [u. a.] 2005, ISBN 3-8171-1765-5. 
• Erich Härtter: Wahrscheinlichkeitsrechnung für Wirtschafts- und Naturwissenschaftler. 10. Auflage. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1974, ISBN 3-525-03114-9. 
• Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger. 10. Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2013, ISBN 978-3-658-03076-6, doi:10.1007/978-3-658-03077-3. 
• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3., überarbeitete und ergänzte Auflage. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-6. 
• Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung (= Springer-Lehrbuch). 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1. 
• M. Loève: Probability Theory I (= Graduate Texts in Mathematics. Band 45). 4. Auflage. Springer Verlag, Berlin, Heidelberg 1977, ISBN 3-540-90210-4 (MR0651017). 
• Vladimir Spokoiny, Thorsten Dickhaus: Basics of Modern Mathematical Statistics (= Springer Texts in Statistics). Springer-Verlag, Heidelberg, New York, Dordrecht, London 2015, ISBN 978-3-642-39908-4 (MR3289985). 

Weblinks

• Interaktive Visualisierung von Würfelbeispiel