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Hier plane ich den Artikel über das Annuitätendarlehen zu überarbeiten. Jegliche Anregungen sind erwünscht.

Annuitätendarlehen

Bei einem Annuitätendarlehen bekommt der Schuldner von dem Gläubiger eine Kreditsumme ausgezahlt und zahlt diese über eine festgelegte Rate jährlich über eine Laufzeit von Jahren zurück. Der Begriff leitet sich aus dem lateinischen "Annus", das Jahr, ab. Die erste Rate wird genau ein Jahr nach dem Empfang der Kreditsumme fällig. Der Sinn des Annuitätendarlehens für den Schuldner besteht darin, dass er zukünftige regelmäßige jährliche Einkommen bereits heute ausgeben kann.

Grundlagen

Es wird unterstellt, dass sich das Geld mit einer konstanten Wachstumsrate pro Jahr, dem Zins , vermehrt (exponentielles Wachstum). Veranschaulicht könnte man sagen: Der Gläubiger sät die Kreditsumme zum Zeitpunkt Null. Dafür erntet er jedes Jahr die Menge und nach Jahren ist das Geld gerade aufgebraucht. Nach einem Jahr hat sich die Kreditsumme um auf vermehrt. Der Gläubiger könnte also immer ernten, ohne dass sich der Grundbestand je verringerte. Daraus folgt als heutiger Wert für eine unendliche jährliche Rente zum Zinssatz .

Was ist eine Auszahlung in Höhe von nach Jahren bei einem Zins von heute wert? Da das Geld in Jahren auf das -fache anwächst, könnte ich heute die Menge säen und das Geld würde in Jahren gerade auf anwachsen. Somit ist der heutige Wert dieser zukünftigen Auszahlung. Den heutigen Wert zukünftiger Zahlungsströme nennt man auch Kapitalwert oder Barwert.

Es sei der Kredit, der dem Schuldner zum Zeitpunkt gewährt wird. sei die jährliche Rate, die der Schuldner über die Laufzeit von Jahren zahlt und sei der jährliche Zins. Dann muss bei dem Annuitätendarlehen die Kreditsumme dem heutigen Wert aller zukünftiger Zahlungen entsprechen. Es gilt daher

mit der Formel für geometrische Reihen mit und daraus folgt

Wenn die Kreditsumme , der jährlicher Zins und die Laufzeit bekannt sind, kann die Rate über

berechnet werden.


Der Ausdruck wird auch Annuitätenfaktor genannt und ist der Kehrwert des Rentenbarwertfaktors. Er wird häufig leicht umgeformt mit angegeben. Den Rentenbarwertfaktors kann man sich auch anschaulich anders herleiten, nämlich als Differenz zweier unendlicher Renten, die um Jahre versetzt sind. ist der heutige Wert einer unendlichen Rente mit der ersten Auszahlung nach einem Jahr und ist der heutige Wert einer unendlichen Rente mit der ersten Auszahlung nach Jahren. Somit gilt

In der Praxis wird häufig anstatt der Laufzeit eine Anfangstilgung vorgegeben. Diese gibt an, um welchen Anteil sich die Kreditsumme nach dem ersten Jahr durch die Rate verringert. Es gilt

In der folgenden Tabelle sind alle Bezeichnungen und deren jeweilige Bedeutung aufgelistet.

Bezeichnung Bedeutung Einheit
Kreditsumme EUR
Jährliche Rate EUR
Jährlicher Zins -
Anfangstilgung -
Laufzeit Jahre
Restschuld nach Jahren EUR
Tilgungsrate im -ten Jahr EUR
Zinslast im -ten Jahr EUR
Tilgung im -ten Jahr -
Monatliche Rate EUR
Monatlicher Zins -
Nominalzins nach Definition der Banken -
Anfangstilgung nach Definition der Banken -
Jährliche Rate nach Definition der Banken EUR

Berechnungen

Wir betrachten nun die fünf Größen Kreditsumme , jährliche Rate , jährlicher Zins , Laufzeit und Anfangstilgung . Bekannt sind die beiden Gleichungen

Wenn drei der fünf Größen vorgegeben sind, können wir die restlichen zwei über die Gleichungen bestimmen. Die relevanten Fälle werden im Folgenden vorgestellt.

S, i, n vorgegeben, Berechnung von R, t

S, i, t vorgegeben, Berechnung von R, n

S, i, R vorgegeben, Berechnung von n, t

S, R, n vorgegeben, Berechnung von i

Der Zins lässt sich bei gegebenen nicht explizit berechnen. Dieses ist nur iterativ z.B. mit dem Newton-Verfahren möglich. Dieses Verfahren konvergiert quadratisch, ist aber nur lokal konvergent - man benötigt also einen guten Startwert. Voraussetzung für einen sinnvollen Zins ist . Wir setzen

ist eine stetige Funktion und mit dem Fixpunktsatz von Banach konvergiert die Fixpunktiteration in einer geeigneten Umgebung der Nullstellen von gegen diese. Die Ableitung lautet

Ausgehend von einem guten Startwert können wir uns über die Rekursion

sukzessive dem Zinssatz annähern. Ein guter Startwert unter den Voraussetzungen und ist

Wegen ist hier gewährleistet.

Berechnung der Restschuld nach k Jahren

Bei einem Annuitätendarlehen lässt sich die Restschuld nach Jahren mit wie folgt bestimmen

S, R, Sk vorgegeben, Berechnung von i

Der Zins lässt sich auch hier nicht explizit berechnen. Hier wird wieder ein Verfahren auf Basis des Newton-Verfahrens vorgestellt. Voraussetzung für einen sinnvollen Zins ist . Wir setzen

ist eine stetige Funktion und mit dem Banachschen Fixpunktsatz konvergiert die Fixpunktiteration in einer geeigneten Umgebung der Nullstellen von gegen diese. Die Ableitung lautet

Ausgehend von einem guten Startwert können wir uns über die Rekursion

sukzessive dem Zinssatz annähern. Ein guter Startwert unter den Voraussetzungen und ist hier

Rekursive Berechnungen der Restschuld, jährlichen Zinslast und Tilgungsraten

Die rekursive Darstellung ist insbesondere für Tabellenkalkulationsprogramme hilfreich. Es sei die Restschuld in Euro, die Tilgungsrate in Euro und die Zinslast in Euro jeweils zu Beginn des -ten Jahres. Außerdem sei die relative Tilgung durch -te Rate. Dann gelten die Beziehungen

Hieraus folgt

und es folgen die weiteren Rekursionen

Anhand der letzten Gleichung ergibt sich sofort, dass bei fester Anfangstilgung die relativen Tilgungen in Periode höher sind, je größer der Zins ist. Das bedeutet, dass bei fester Anfangstilgung die Laufzeit geringer ist je höher der Zins ist. Insbesondere gilt für .

Die Rekursionen für monatliche Größen ergibt sich, indem man die jährlichen Größen in den Formeln jeweils durch die entsprechenden monatlichen Größen ersetzt.

Unterjährige Ratenzahlung

In vielen Fällen macht es Sinn, die jährliche Rate auf kleinere Raten zu verteilen, die dann mehrmals im Jahr zu zahlen sind. So kann es z.B. bei Arbeitnehmern, die ein monatliches Einkommen beziehen, sinnvoll sein, auch die Raten eines Darlehens monatlich zu zahlen. Das gibt dem Gläubiger eine größere Sicherheit und führt für den Schuldner zu einer besseren Planbarkeit seines monatlichen Budgets. Nun stellt sich die Frage: Wenn das Geld in einem Jahr um wächst, um wie viel wächst es dann in einem Monat? Das monatliche Wachstum bezeichnen wir mit . Wenn wir die Dauer eines Monats als ein Zwölftel der Dauer eines Jahres definieren, folgt aufgrund des exponentiellen Wachstums

als Wachstumsrate in einem Monat. Die erste jährliche Rate ist zum Zeitpunkt 0 etwas weniger Wert, da sie ja im ersten Jahr mit dem Wachstumsfaktor wächst. Die monatliche Rate , die zum ersten Mal einen Monat nach Empfang der Kreditsumme zu entrichten wäre, ergibt sich daher durch

und es folgt

Die Fälle anderer unterjähriger Zahlungen lassen sich analog behandeln, in dem man die 12 in den Formeln jeweils durch die Anzahl der Zahlungen pro Jahr ersetzt. Voraussetzung ist, dass die Zahlungen regelmäßig erfolgen und zum ersten Mal nach des Jahres. Die Laufzeit ändert sich durch eine unterjährige Ratenzahlung nicht!

Annuitätenrechnung der Banken

Bei der Anwendung der oben genannten Formeln stellt man im Vergleich mit Angeboten einer Bank oder mit Online-Annuitätenrechnern häufig Unterschiede fest. In diesem Abschnitt wird beschrieben, wie diese Unterschiede zustande kommen. Um diesen Sachverhalt möglichst anschaulich zu beschreiben, werden wir uns dabei auf den Fall der monatlichen Ratenzahlung beschränken. Alle anderen Fälle wie vierteljährliche oder halbjährliche Ratenzahlungen sind analog zu betrachten. In der folgenden Tabelle sind alle Bezeichnungen der Größen dargestellt, die im Folgenden verwendet werden.

Bezeichnung Bedeutung Einheit
Kreditsumme EUR
Jährliche Rate EUR
Jährlicher Zins -
Anfangstilgung -
Laufzeit Jahre
Restschuld nach Monaten EUR
Monatliche Rate EUR
Monatlicher Zins -
Nominalzins nach Definition der Banken -
Anfangstilgung nach Definition der Banken -
Jährliche Rate nach Definition der Banken EUR
Laufzeit Monate

Abweichung von Zins, Rate und Anfangstilgung

Die Banken werben häufig mit einem Zins, dem sogenannten Nominalzins. Dieser Nominalzins der Banken stimmt aber nur dann mit dem tatsächlichen Zins überein, wenn die Raten nicht unterjährig bezahlt werden. Bei der Berechnung von jährlicher zu monatlicher Rate teilt die Bank die jährliche Rate durch 12. Sie vernachlässigt hierbei, dass sie die jährliche Rate nun über das Jahr verteilt früher bekommt. Das erhöht den eigentlichen Zins gegenüber den von der Bank angegebenen Nominalzins. Wir bezeichnen nun die Werte wie sie von der Bank festgelegt werden mit einem Hut , wenn sie mit den tatsächlichen Werten nicht übereinstimmen. Die Werte, die in jedem Fall übereinstimmen sind die Kreditsumme , der monatliche Zins und die monatliche Rate . Die Bank geht aus von der Kreditsumme , dem jährlichen Zins und der Anfangstilgung . Die jährliche Rate berechnet sie aus

und die monatliche Rate aus

Hieraus berechnen wir nun die tatsächlichen Werte. Zunächst ergibt sich der monatliche Zins aus

Der tatsächliche Zins ergibt sich aus der Gleichung

Dieser tatsächliche Zins muss nach der Preisangabenverordnung in dem effektiven Jahreszins berücksichtigt und ausgewiesen werden. Wenn keine weiteren Gebühren anfallen, entspricht dem effektiven Jahreszins. Für die tatsächliche jährliche Rate gilt

Der tatsächliche Zins und die tatsächliche jährliche Rate sind somit bei monatlicher Ratenzahlung höher als jene, die von der Bank ausgewiesen werden. Für kleine ergeben sich kleine Abweichungen, für große jedoch sehr große Abweichungen wie folgende Beispiele zeigen:

  • Bei ergibt sich . Der tatsächliche Zins liegt also 0,5% höher als der Nominalzins der Bank.
  • Bei ergibt sich . Der tatsächliche Zins liegt also 34025% höher als der Nominalzins der Bank.

Nun bestimmen wir mit bekannten Formeln die (weiterhin auf das Jahr bezogene) tatsächliche Anfangstilgung und die Laufzeit in Jahren.

Ein Tilgungsplan auf Basis von monatlichen Größen ist somit korrekt, ein Tilgungsplan auf Basis der jährlichen Größen der Bank wäre dagegen nicht korrekt, wenn auf beschriebene Art monatliche Ratenzahlung vereinbart wird.

Berechnung der Laufzeit und der letzten Rate

Die Laufzeit ist in der Regel eine krumme Zahl. In der Praxis wird die Laufzeit in Monaten berechnet, aufgerundet und im letzten Monat dann eine kleinere Rate vereinbart. Die Anfangstilgung im ersten Monat ist definiert durch

Es sei die Laufzeit in Monaten. Dann ist die abgerundete Laufzeit in Monaten, die angibt, wie viele volle monatliche Raten gezahlt werden müssen. Die tatsächliche Laufzeit in Monaten erhält man durch aufgerundet, wobei die letzte Rate üblicherweise niedriger ist. Wir berechnen nun die letzte Monatsrate. Die Restschuld vor der letzten Rate beträgt

und die letzte Rate lässt sich daher ermitteln über

Im Übrigen gelten die folgenden nützlichen Beziehungen:

Wenn man mit die Anzahl der unterjährigen Ratenzahlungen bezeichnet, ergibt sich also allgemein für die Laufzeit in Jahren: