Benutzer:Pyrrhocorax/Weg (Physik)

Der Weg ist der Teil einer Bahnkurve, den ein physikalisches Objekt im Rahmen seiner Bewegung in gewisser Zeit zurück legt. Im engeren Sinne bezeichnet der Weg die Länge dieses Kurvenstücks. Der Weg wird im internationalen Einheitensystem in der Einheit Meter angegeben und üblicherweise mit dem Symbol $s$ bezeichnet.

Grundlagen

Die Bahnkurve eines Körpers kann durch die Orte ${\vec {r}}(t)$, die er in der Zeit durchläuft, beschrieben werden. Zwei beliebige Bahnpunkte werden durch den Vektor

${\vec {s}}={\vec {r}}(t_{2})-{\vec {r}}(t_{1})$

verbunden. Die Länge dieses Vektors ist in aller Regel kürzer als die tatsächliche Wegstrecke zwischen diesen beiden Punkten, außer bei geradlinigen Bewegungen. Je enger die beiden Punkte beieinander liegen, umso mehr stimmen Richtung und Länge des Vektors mit dem tatsächlichen Verlauf der Bewegung überein. Im infinitesimalen Grenzfall kommt man zu dem vektoriellen Wegelement:

$\mathrm {d} {\vec {s}}\equiv \mathrm {d} {\vec {r}}$

Durch Parametrisierung wird daraus

$\mathrm {d} {\vec {s}}={\dot {\vec {r}}}(t)\,\mathrm {d} t={\vec {v}}(t)\,\mathrm {d} t$

mit der Momentaneschwindigkeit ${\vec {v}}(t)$. Bildet man davon den Betrag, so erhält man das skalare Wegelement:

$\mathrm {d} s\equiv |\mathrm {d} {\vec {s}}|=|{\vec {v}}(t)|\mathrm {\,} dt$

Durch Integration erhält man einerseits

${\vec {s}}=\int \limits _{(1)}^{(2)}\mathrm {d} {\vec {s}}=\int \limits _{(1)}^{(2)}{\vec {v}}\,\mathrm {d} t={\vec {r}}(t_{2})-{\vec {r}}(t_{1})$,

also den Wegvektor zwischen Anfangs- und Endpunkt der Bewegung, und andererseits

$s=\int \limits _{(1)}^{(2)}\mathrm {d} s=\int \limits _{(1)}^{(2)}|{\vec {v}}(t)|\,\mathrm {d} t$,

also die Länge des gekrümmten Weges. Wählt man als untere Integrationsgrenze 0 und als obere Integrationsgrenze den Zeitpunkt $t$, so ist das Ergebnis $s(t)$ die zu diesem Zeitpunkt zurückgelegte Strecke.

Anwendungsbeispiele

Kreisbewegung

Bewegt sich ein Körper mit der konstanten Umfangsgeschwindigkeit $v$ auf einer Kreisbahn mit dem Radius $R$ um den Kreismittelpunkt, so legt er bei einer vollen Umdrehung den Umfang

$s=2\pi R$

zurück. Im infinitesimal kleinen Zeitabschnitt $\mathrm {d} t$ ergibt sich daraus das skalare Weglement

$\mathrm {d} s=R\,\mathrm {d} \varphi =\omega R\,\mathrm {d} t=v\,\mathrm {d} t$,

wobei $\omega ={\frac {\mathrm {d} \varphi }{\mathrm {d} t}}$ die Winkelgeschwindigkeit ist.

Arbeit

Die Arbeit wird für gewöhnlich als das Produkt von Kraft und Weg eingeführt:

$W=Fs$

Diese Gleichung setzt jedoch voraus, dass die Kraft konstant und stets in Wegrichtung gerichtet ist. Im allgemeinen Fall hängt die Kraft aber vom Ort ab und kann in jedem beliebigen Winkel zur Bewgungsrichtung stehen. Dann muss man die Arbeit durch das Integral

$W=\int \limits _{(1)}^{(2)}{\vec {F}}({\vec {r}})\,\mathrm {\cdot } d{\vec {r}}$

berechnen. Wenn weder die Kraftrichtung noch der Betrag der Kraft vom Ort abhängt, vereinfacht sich diese Formel zu

$W={\vec {F}}\cdot \int \limits _{(1)}^{(2)}\mathrm {d} {\vec {r}}={\vec {F}}\cdot ({\vec {r}}_{2}-{\vec {r}}_{1})={\vec {F}}\cdot {\vec {s}}$.

Im homogenen Feld ist also der Verlauf der Bewegung unerheblich und der gekrümmte weg kann durch den einfachen geradlinigen Wegvektor ersetzt werden.