Arbeit (Physik)

Name

Arbeit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W}

Größen- und Einheitensystem	Einheit	Dimension
SI	J = kg·m²·s⁻² = N·m = W·s	L²·M·T⁻²
cgs	erg	L²·M·T⁻²

Die Definition der mechanischen Arbeit lautet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W = F \cdot s } oder Arbeit ist gleich Kraft mal Weg (das Formelzeichen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W} entsteht aus englisch work). Dabei wirkt die Kraft Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F } auf einen Körper, der in Richtung dieser Kraft die Strecke Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s} zurücklegt. Wirkt eine Kraft nicht genau parallel zum zurückgelegten Weg, ist für die Berechnung der Arbeit nur die zum Weg parallele Komponente zu berücksichtigen. Diese physikalische Definition entspricht auch der umgangssprachlichen Bedeutung von mechanischer Arbeit und ist auf alle mechanischen Vorgänge anwendbar, beim gleichzeitigen Einwirken mehrerer Kräfte auch für jede Kraft einzeln.

Der physikalische Begriff der Arbeit ergibt sich daraus, dass einem Körper, der durch eine Kraft bewegt wird, eine Energiemenge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W} zugeführt wird, die gleichzeitig dem physikalischen System entzogen wird, das die Kraft hervorbringt (mechanischer Energieerhaltungssatz). Neben der obigen, auf dem Kraftbegriff aufbauenden Definition der Arbeit gibt es eine zweite Begriffsbildung, die den gesamten Energieinhalt eines physikalischen Systems zur Grundlage nimmt. Der Energieinhalt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E } kann sich nur dadurch ändern, dass von einem zweiten physikalischen System aus am ersten System Arbeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W} geleistet und/oder Wärme Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q} übertragen wird. Für die Änderung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta E } gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta E =W+Q} (allgemeiner Energieerhaltungssatz). Die Arbeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W} ermittelt sich dann daraus, welche Kräfte bei der Veränderung von äußeren Parametern des ersten Systems gewirkt haben und wie groß die jeweilige Veränderung war. Beispiele sind etwa das Anheben einer Last um eine Strecke, oder das Zusammendrücken der Luft in der Fahrradluftpumpe. Die Wärme Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q} gibt die Energiemenge an, die allein aufgrund unterschiedlicher Temperaturen über die Systemgrenzen in das System hinein oder aus ihm herausfließt. Für die Anwendung dieses Arbeitsbegriffs muss außer dem Prozess auch die Grenze zwischen den beiden betrachteten physikalischen Systemen genau angegeben werden.

Für rein mechanische Vorgänge ergibt dieser allgemeinere Arbeitsbegriff dasselbe Ergebnis Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W} wie die erstgenannte Definition, wenn die Systemgrenze so festgelegt ist, dass die Kraft, für die die Arbeit berechnet werden soll, die einzige äußere Kraft auf das System ist. Denn nur Kräfte, die von außerhalb eines Systems einwirken, können dessen Energie erhöhen oder erniedrigen, während innere Kräfte zwischen Teilen des Systems das nicht können.^[1]

Dimension und SI-Einheit (Joule, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 1 \, \mathrm{J} = 1 \, \mathrm{N\, m} = 1 \, \mathrm{W\,s}} ) sind für Arbeit, Wärme und Energie gleich. Negative Werte zeigen an, dass eine Arbeit vom Betrag Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |W| } vom System geleistet wurde bzw. die Energiemengen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\Delta E |} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |Q|} vom System abgegeben wurden. Ein System mit einer mechanischen Leistung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} verrichtet in der Zeitspanne Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} die Arbeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W = P \cdot t} .

Entwicklung des Begriffs

Mechanische Arbeit

Der mechanische Arbeitsbegriff entwickelte sich aus dem Studium der Kraftübertragung mit Hebeln, Seilen und Rollen. Man beobachtete dabei schon im Altertum, dass eine bestimmte schwere Last durch verschieden großen Kräfte im Gleichgewicht gehalten werden kann, wenn diese mittels eines Kraftwandlers (Hebel, Flaschenzug oder die schiefe Ebene) auf die Last wirken. Zur Ermittlung der jeweils nötigen Kraft setzte man das Produkt aus der Kraft und der Strecke, die der Angriffspunkt der Kraft bei einem Anheben der Last zurücklegen müsste, mit dem entsprechenden Produkt aufseiten der Last gleich. In moderner Ausdrucksweise setzte man damit die Gesamtarbeit bei einer virtuellen Verschiebung gleich null. Der eigentliche Begriff und Name der mechanischen Arbeit – französisch travail – wurde im Sinne seiner heutigen Definition zuerst von den Franzosen Gaspard Gustave de Coriolis und Jean-Victor Poncelet benutzt und zwar seit 1826 in Publikationen mit dem Ziel, die Funktion technischer Anlagen mit Hilfe der Gesetze der Mechanik genauer zu beschreiben und zu optimieren. Coriolis formulierte dabei als erster eine genaue mathematische Definition der mechanischen Arbeit.^[2]

Als Vorläufer der Begriffsbildung werden auch Descartes und G. W. Leibniz genannt.^[3] Leibniz analysierte 1686 auf der Suche nach einem Maß für die „lebendige Kraft“ („vis viva“, heute: kinetische Energie) den freien Fall. Er ging davon aus, dass „tote Kraft“ („vis mortua“, heute Potentielle Energie) sich dabei in lebendige Kraft umwandelt. Die umgewandelte Menge toter Kraft setzte er proportional zur Fallstrecke an, also proportional zur mechanischen Arbeit, die beim Anheben des betreffenden Körpers zu leisten wäre, um die Ausgangssituation des freien Falls wieder herzustellen.^[4]

Beziehung zur Wärme

Der erweiterte Arbeitsbegriff entstand nach der Erfindung der Dampfmaschine aus der Frage, wie viel mechanische Arbeit aus der Zufuhr einer bestimmten Wärmemenge, gegeben durch Verbrennen einer bestimmten Menge Kohle, gewonnen werden kann. Dass Wärme selbst eine Form von Energie darstellt, die sich in unerschöpflicher Menge durch mechanische Arbeit erzeugen lässt, sich dann aber nur teilweise in mechanische Arbeit zurückverwandeln lässt, war durch die Beobachtungen beim Bohren von Kanonenrohren (siehe Benjamin Thompson) und die Dampfmaschine (und ihre Vorläufer) in der ersten Hälfte des 19. Jahrhunderts bekannt. Sadi Carnot erkannte 1824, dass der höchst unterschiedliche Wirkungsgrad der Erzeugung von Arbeit aus Wärme nicht nur mit Reibungs- und Wärmeverlusten zu tun hatte, sondern durch einen grundlegenden Unterschied von Wärme und Arbeit erklärt werden musste. James Prescott Joule wies ab 1843 in einer Reihe von Experimenten nach, dass die Umwandlung einer bestimmten Menge von mechanischer oder elektrischer Arbeit in Wärme immer dieselbe Wärmemenge ergibt. Nachdem Hermann von Helmholtz 1847 den allgemeinen Energieerhaltungssatz formuliert hatte, fand Rudolf Clausius 1850 die Gleichung für den 1. Hauptsatz der Thermodynamik, in heutiger Schreibweise Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta U = W + Q} .^[5] Darin ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U} die Innere Energie des Systems, wobei angenommen wird, dass es sich im thermodynamischen Gleichgewicht und in Ruhe befindet. Die Gesamtenergie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E} des Systems ergibt sich aus der inneren Energie, wenn man die kinetische Energie seiner Schwerpunktsbewegung und/oder Rotation addiert.

Chemische Energie/Reaktionsenergie

1873 gelang es Josiah Willard Gibbs, die Energieumsätze chemischer Reaktionen in den 1. Hauptsatz einzufügen.^[6] Er lautet dann Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta U = W_\text{mech} + \Delta E_\text{chem} + Q } . Darin ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta E_\text{chem} = \Sigma_i \mu_i \Delta N_i } . Der Index Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i} nummeriert die im System vorhandenen Stoffarten, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta N_i } ist die Änderung der Menge der Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i} -ten Stoffart und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu_i } deren chemisches Potential (alles in heutiger Notation). Gibbs bezeichnete jede Form der Energieänderung, die nicht durch den Austausch von Wärme gegeben ist, als Arbeit, das gilt auch für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta E_\text{chem}} . Eine entsprechende Bezeichnung wie „chemische Arbeit“^[7] wird aber nur vereinzelt benutzt und hat sich nicht eingebürgert. Als „Wärme“ sollte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta E_\text{chem}} aber auch nicht bezeichnet werden, denn dieser Energiebeitrag erfüllt nicht das in der Physik seit etwa 1920 zugrundegelegte Kriterium, nach dem Wärme eine Energieform ist, die von außen in das System eingebracht wird. Dagegen entspricht Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta E_\text{chem}} dem Unterschied der Bindungsenergien der Moleküle vor und nach der Reaktion und wird mit Reaktionsenergie bezeichnet. Die Summe von Reaktionsenergie und der mechanischen Arbeit, die bei der Reaktion unter konstant gehaltenem Druck durch Volumenänderung geleistet wird, ist die in der Chemie häufig gebrauchte Reaktionsenthalpie. Dessen ungeachtet wird der chemische Energiebeitrag Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta E_\text{chem}} auch öfter noch Wärme genannt und auch mit dem Symbol Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q} bezeichnet, z. B. im Alltag („Verbrennung erzeugt Wärme“), aber auch im Bereich der Chemie.

Deutung durch Statistische Physik

Eine tiefere mikroskopische Deutung der Begriffe Arbeit und Wärme ergibt sich in der Beschreibung eines Systems sehr vieler Teilchen. Das einfache Modellsystem nicht wechselwirkender Teilchen erlaubt eine mikroskopische Deutung von Wärme und Arbeit. Sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N } solcher Teilchen mit Besetzungszahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_i } auf die Niveaus (oder auf die Phasenraumzellen) mit Energien Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_i } verteilt, dann ist die Gesamtenergie

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_\text{ges} = \sum_{i=1}^N n_i\, E_i.}

Eine infinitesimale Änderung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_\text{ges} } ist dann

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm d E_\text{ges} = \sum_{i=1}^N E_i\,\mathrm d n_i + \sum_{i=1}^N n_i\, \mathrm d E_i \ .}

Wenn sich das Teilchensystem in einem thermodynamischen Gleichgewichtszustand befindet, dann ist die Gesamtenergie gerade die innere Energie (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_\text{ges} = U } ) und es lässt sich zeigen, dass die beiden Summanden in dieser Gleichung den beiden Summanden im 1. Hauptsatz in der Form Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm d U = Q + W} entsprechen. Der erste Summand stellt die durch Wärme Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q } zugeführte Energie dar, der zweite Summand die am System geleistete Arbeit, im einfachsten Fall z. B. die Volumenarbeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W = -p\,\mathrm d V } .^[8]^[9] Das gleiche Ergebnis folgt auch bei quantenmechanischer Behandlung.^[10] Wärme ohne Arbeit bedeutet demnach, dass sich die Gesamtenergie durch Änderung der Besetzungszahlen der Energieniveaus erhöht oder erniedrigt, während Arbeit ohne Wärme die Besetzungszahlen unverändert lässt, aber die Lage der Niveaus verschiebt. Letzteres stellt damit das mikroskopische Kriterium für einen adiabatischen Prozess dar.

Arbeit und Kraft

Einführung

Eine anschauliche Bedeutung der physikalischen Größe Arbeit ist die „Mühe“, die man beim Anheben eines schweren Gegenstandes hat. Zwar kann man sich diese Aufgabe scheinbar erleichtern, indem man eine schiefe Ebene, einen Flaschenzug, einen Hydraulikheber oder ein ähnliches Hilfsmittel verwendet. Derlei Hilfsmittel werden Kraftwandler genannt, denn durch sie wird die erforderliche Kraft tatsächlich geringer. Dies erkauft man sich jedoch damit, dass der Angriffspunkt der Kraft eine weitere Strecke zurücklegen muss. Beispielsweise ist der geneigte Weg auf der schiefen Ebene länger als die Höhendifferenz, um die der Gegenstand gehoben wird. Wenn man von Reibung und ähnlichen Störeinflüssen absieht, zeigt sich, dass die Strecke um denselben Faktor zunimmt, um den die Kraft verringert wird (siehe Goldene Regel der Mechanik). Das Produkt „Kraft mal Weg“ ist also in allen Fällen gleich.

Daher erscheint es sinnvoll, eine physikalische Größe zu definieren, die diesen Arbeitsaufwand unabhängig von der angewendeten Methode beziffert. Diese Größe erhält die Bezeichnung Arbeit mit der Berechnungsgleichung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W = Fs}

Hierbei ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W} die Arbeit, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} die Kraft und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s} die zurückgelegte Strecke. (Zunächst wird vorausgesetzt, dass die Kraft konstant ist und in die Bewegungsrichtung zeigt. Eine allgemeinere Definition folgt weiter unten).

Die Einheit der Arbeit ergibt sich aus der Definitionsgleichung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [W] = [F][s] = 1 \,\mathrm{N \cdot m} = 1 \,\mathrm{J (Joule)}}

(Anmerkung: Formal gleicht die Einheit der Arbeit derjenigen des Drehmoments: „Newtonmeter“. Da aber die physikalischen Hintergründe völlig verschieden sind, sollten die Einheiten nicht gleichgesetzt werden.)

Die Arbeit hat somit die Dimension der Energie.

Weitere Präzisierung ergibt:

Ohne dass der Angriffspunkt der Kraft einen Weg zurücklegt, ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W = 0} , d. h. es wird keine mechanische Arbeit geleistet (zum Beispiel nicht von der ruhenden Unterlage, wenn sie ein ruhendes Gewicht einfach trägt).
Wird der Weg in mehreren Teilstücken zurückgelegt, ist die Summe der entsprechenden Teilarbeiten, unabhängig von der getroffenen Aufteilung, immer dieselbe Arbeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W} .
Lässt man die Kraft mit einer anderen Richtung als der (jeweils momentanen) Bewegungsrichtung des Angriffspunkts einwirken, zählt für die Arbeit nur die zum Weg parallele Kraftkomponente. Sind Kraft und Weg rechtwinklig zueinander, so ist die Arbeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W = 0} (z. B. wird keine Arbeit gegen die Schwerkraft geleistet, wenn ein Kofferroller horizontal gerollt wird). Ist diese Kraftkomponente der Bewegung entgegengerichtet, ist die Arbeit negativ zu nehmen. Dann wird dem System, auf das die Kraft wirkt, nicht Energie zugeführt, sondern entzogen.

Zur Alltagserfahrung der körperlichen Arbeit bestehen manche Unterschiede:

Schon beim bloßen Halten eines schweren Gegenstands ermüden die Muskeln, obwohl hier keine Arbeit im physikalischen Sinne verrichtet wird.
Das Aufteilen eines Wegs in mehrere Stücke kann die gefühlte Mühe erheblich reduzieren.

Die Unterschiede erklären sich dadurch, dass allein das Hervorbringen von Muskelkraft im Körper (chemische) Energie kostet.^[11]

Beispiele

Beschleunigungsarbeit: Eine U-Bahn mit einer Masse von 60 t wird auf einer Strecke von 100 m durch die konstante Kraft von 60 kN beschleunigt. Die Arbeit, die von den Antriebsmotoren verrichtet wird, beträgt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W = F s = 60\, \mathrm{kN} \cdot \,100 \mathrm{m} = 6000 \,\mathrm{kJ}} . Die kinetische Energie der Bahn nimmt um den Energiebetrag Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 6000 \,\mathrm{kJ}} zu.
Hubarbeit: Ein Kran hebt auf einer Baustelle eine Palette mit Steinen von 500 kg auf das Dach in 10 m Höhe. Die Gewichtskraft beträgt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G = m g = 500\, \mathrm{kg} \cdot 9{,}81 \,\mathrm{ms^{-2}} \approx 5000 \,\mathrm{N}} Dabei verrichtet der Kran eine Arbeit von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W = Gh = 5000\,\mathrm {N} \cdot 10\,\mathrm{m} = 50 \,\mathrm{kJ}} . Die potentielle Energie der Steine nimmt dabei um Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 50\,\mathrm{kJ}} zu.
Beschleunigungsarbeit: Reißt in 10 m Höhe das Seil des Krans, fällt die Palette in beschleunigter Bewegung um Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h = 10\,\mathrm{m}} nach unten. Die Gewichtskraft Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G} verrichtet dann die Beschleunigungsarbeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W = Gh = 50 \,\mathrm{kJ} } .

Allgemeine Definition der mechanischen Arbeit

Eine mechanische Arbeit ist immer gegeben, wenn ein Körper einen Weg zurücklegt und dabei eine Kraft auf ihn wirkt. Es kommt dabei nicht darauf an, ob die Kraft dafür ursächlich ist, dass der Körper den Weg zurücklegt.

Haben Kraft und Weg nicht dieselbe Richtung, sondern schließen einen Winkel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha} (mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0^\circ \le \alpha \le 180^\circ} ) ein, dann ist nur die zum Weg parallel gerichtete Komponente Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\vec F| \cos\alpha } der Kraft Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec F } zu berücksichtigen, oder - mit gleichem Ergebnis - die zur Kraft parallele Komponente des Wegs. Die von der Kraft Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec F} verrichtete oder zugeführte Arbeit ist daher durch das Skalarprodukt aus Kraft Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec F} und Weg Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec s} gegeben:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W = |\vec F| \, |\Delta \vec s| \, \cos\alpha = \vec F \cdot \Delta \vec s}

Die verrichtete Arbeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W} ist positiv, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha < 90^\circ} ist, die Kraft also eher in Richtung der Bewegung weist. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W} ist negativ, wenn die Kraft der Bewegung eher entgegen gerichtet ist (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha > 90^\circ} ), und Null, wenn sie im rechten Winkel zur Bewegungsrichtung wirkt. Wenn die Arbeit positiv ist, wird dem Körper Energie zugeführt. Ist sie negativ, bedeutet das, dass der betrachtete Körper an das System, das die Kraft Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} auf ihn ausübt, die Energie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |W|} abgibt.

Besteht der Weg aus verschiedenen Teilstücken, sind die entsprechenden Teilarbeiten längs der einzelnen Wegstücke zu addieren. Wenn die Kraftkomponente Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\vec F| \cos\alpha } längs des Wegs nicht konstant ist, denkt man sich den Weg in genügend kleine Stücke mit jeweils konstantem Wert von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\vec F| \cos\alpha } aufgeteilt und alle Beiträge zur Arbeit summiert. Das führt auf die allgemeine Formel für die mechanische Arbeit in Form eines Weg- oder Kurvenintegrals:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W = \int_{C} \vec F(\vec s)\cdot\mathrm d \vec s }

Darin ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C} der im Raum gegebene Weg, den der Angriffspunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec s} der Kraft Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec F(\vec s)} von Anfang bis Ende zurücklegt.

Wirken mehrere Kräfte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec F_i} auf einen Körper ein, so kann die Gleichung zur Berechnung der Arbeit auf eine einzelne davon angewendet werden. Die insgesamt von der resultierenden Kraft Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec F_\text{res.} = \Sigma \vec F_i} verrichtete Arbeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W_\text{ges.}} ist dann die Summe aller Einzelarbeiten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W_i} :

\sum _{i}W_{i}=\sum _{i}({\vec {F}}_{i}\cdot \Delta {\vec {s}})=\left[\sum _{i}{\vec {F}}_{i}\right]\cdot \Delta {\vec {s}}={\vec {F}}_{\text{res.}}\cdot \Delta {\vec {s}}=W_{\text{ges.}}

Bei der Berechnung der Gesamtarbeit kann das Ergebnis unter Umständen der Intuition widersprechen. Ist zum Beispiel beim freien Fall um eine Strecke $s$ noch unmittelbar verständlich, dass die Gewichtskraft $m\,g$ die Arbeit $m\,g\,s$ leistet, welche sich in der kinetischen Energie des Körpers wiederfindet, so ist beim Anheben die Gesamtarbeit $W_{\text{ges.}}=0$ , wenn man außer der Schwerkraft auch die entgegengesetzt gleich große Hubkraft mitrechnet. Denn die Gesamtkraft aus Gewicht und Hubkraft ist (beim langsamen Anheben) Null: ${\vec {F}}_{\text{res.}}={\vec {F}}_{\text{Gewicht}}+{\vec {F}}_{\text{Hub}}=0$ . Wenn also beide Kräfte berücksichtigt werden, verbleibt die dem Anheber entzogene Energie $m\,g\,s$ nicht beim Körper, sondern wird vollständig ans Schwerefeld weitergegeben. Das schlägt sich nun in der Erhöhung der potentiellen Energie des angehobenen Körpers nieder, die keine isolierbare Eigenschaft des Körpers allein ist, sondern eine Eigenschaft des Systems aus Körper und Schwerefeld. Eine systematische Behandlung und Auflösung solcher intuitiver Schwierigkeiten gelingt mit dem zweiten in der Einleitung genannten Arbeitsbegriff, der genau definierte Systemgrenzen voraussetzt.^[12]

Zusammenhang mit der Energieerhaltung

Wenn man von der Grundgleichung der Mechanik

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec F = m \vec a}

ausgeht und entlang eines vom Körper zurückgelegten Weges von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec s_1} nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec s_2} integriert, so erhält man

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \int_{\vec s_1}^{\vec s_2} \vec F \cdot \mathrm d \vec s = m \int_{\vec s_1}^{\vec s_2} \vec a \cdot d \vec s = \frac 1 2 m (v_2^2 - v_1^2)}

Die linke Seite ist die Arbeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W} , die die Kraft Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec F } dabei leistet, bzw. falls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W<0} , die der Körper gegen die Kraft leistet, wobei er verlangsamt wird. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v_1,\,v_2} sind die Geschwindigkeiten des Körpers am Anfang und am Ende, die rechte Seite ist also die Änderung der kinetischen Energie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T} des Körpers. Diese Beziehung lässt sich im Arbeitssatz^[13] zusammenfassen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W = \Delta T} .

Falls sich die Kraft aus einem Potentialfeld ableiten lässt (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec F = - \nabla V} ) – man spricht dann von einer konservativen Kraft – entspricht die verrichtete Arbeit gerade der (negativen) Änderung der potentiellen Energie:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W = -\Delta V}

Es gilt also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta T + \Delta V=0} oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E = T + V = \mathrm{constant}} . Das ist der Energieerhaltungssatz für einen Massenpunkt im konservativen Kraftfeld.

Des Weiteren kann die Kraft auch Formänderungen eines elastischen Körpers bewirken, die dabei geleistete Arbeit schlägt sich dann als Änderung der Formänderungsenergie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Pi} nieder:^[14]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W = \Delta\Pi}

Der mechanische Energieerhaltungssatz für elastische Körper in einem konservativen Kraftfeld. ergibt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta T+\Delta\Pi + \Delta V=0} , also die Beziehung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T + V + \Pi = \text{konst.}}

Die Arbeit, die ein konservatives Kraftfeld an einem elastischen Körper leistet, verändert seine kinetische, potentielle und Formänderungsenergie, nicht aber seine Gesamtenergie.

Es kann auch sein, dass durch die Arbeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W } alle drei Energieformen geändert werden. Das ist dann gegeben, wenn die einwirkende Kraft Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec F } die aus dem Potential abgeleitete Kraft Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec F_\mathrm{Feld} = - \nabla V} nicht kompensiert (wie z. B. bei einer startenden Rakete). Dann ist die Summe beider Kräfte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec F_\mathrm{res} = \vec F +\vec F_\mathrm{Feld}} nicht Null, sondern eine resultierende Kraft, die zu einer Beschleunigung und/oder Formänderung führt und damit die kinetische und Formänderungsenergie um soviel ändert, wie die von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec F_\mathrm{res} } geleistete Arbeit angibt.^[15] Der mechanische Energieerhaltungssatz lautet dann

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W = \Delta T +\Delta\Pi+ \Delta V }

Arbeit als Energietransfer durch Systemgrenzen

Betrachtet man ein System, das aus mehreren Körpern besteht, so kann man bei den Kräften zwischen inneren und äußeren Kräften unterscheiden. Innere Kräfte sind solche, die paarweise zwischen zwei Körpern des Systems wirken, wobei das dritte newtonsche Gesetz gilt. Bei äußeren Kräften befindet sich einer der beiden Körper, die miteinander wechselwirken, außerhalb der Systemgrenzen, und die Kraft bewirkt eine Änderung mindestens eines äußeren Parameter des Systems: z. B. Position und Orientierung des Systems in einem äußeren Feld, Größe und Form der räumlichen Ausdehnung, Stärke und Richtung eines im System herrschenden elektrischen oder magnetischen Felds. Demgegenüber schließt der allgemeine Begriff von Arbeit auch mit ein, wenn die Energie eines Systems durch Übertragung von Materie von einem zweiten System verändert wird. Dies kann auch durch eine chemische Reaktion zwischen verschiedenen im System vorhandenen Stoffen geschehen, wobei jeder Stoff wie ein eigenes System behandelt wird. Der betreffende Beitrag zur Änderung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta U } der inneren Energie wird als Reaktionsenergie oder zuweilen als chemische Arbeit bezeichnet.^[16]

Nehmen wir an, dass alle inneren Kräfte konservative Kräfte sind, also sich wie oben beschrieben aus Potentialfeldern ableiten lassen, dann bewirkt die Arbeit aller inneren Kräfte eine Änderung der gesamten potentiellen Energie des Systems: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W_\text{int.} = -\Delta V} . Nach dem oben erwähnten Arbeitssatz bewirkt aber die Arbeit aller Kräfte eine Änderung der kinetischen Energie: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W_\text{alle} = \Delta T} . Daraus folgt für die Arbeit der äußeren Kräfte:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W_\text{ext.} = W_\text{alle} - W_\text{int.} = \Delta T + \Delta V = \Delta E}

In Worten: Die Arbeit, die von äußeren Kräften an dem System verrichtet wird, bewirkt eine Veränderung der gesamten Energie des Systems. Daraus ergibt sich die Vorstellung, dass Arbeit als Energiezufuhr mittels äußerer Kräfte verstanden werden kann.

Beispiele

Arbeit im Schwerefeld

Nach der rein mechanischen Definition gilt: wenn ein Körper der Masse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} um die Höhendifferenz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} absinkt, verrichtet die Schwerkraft die Arbeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W=mgh} . Ob er dabei z. B. frei fällt (Beschleunigungsarbeit), eine schiefe Ebene hinunter gleitet (Reibungsarbeit) oder über einen Hebel eine andere Last anhebt, ist für die Berechnung der Arbeit $W$ unerheblich.

Diese Aussagen erhält man aber nur dann, wenn man die Schwerkraft als äußere Kraft betrachtet. Sie gehört nicht zum System, sondern wirkt auf das vom Körper gebildete System ein. Dieses System für sich ist dann gekennzeichnet durch die Masse und die Höhenkoordinate des Körpers, aber nicht durch die potenzielle Energie im Schwerefeld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} oder die Schwerkraft. Ändert sich die Höhenkoordinate um Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} , leistet die äußere Kraft Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle mg} an diesem System die Arbeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W=mgh} .^[17] Schließt man dagegen Schwerkraft und potenzielle Energie mit in das betrachtete System ein, handelt es sich beim Fallen um einen inneren Prozess, bei dem potenzielle Energie in kinetische umgewandelt wird, aber keine Arbeit verrichtet wird. Bei den Beispielen mit Gleiten und Hebelanwendung kommt es bei der Bestimmung der Arbeit darauf an, ob man die schiefe Unterlage bzw. den anderen Hebelarm als Teil des Systems betrachtet oder nicht.

Wird das Gewichtsstück von der äußeren Kraft Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec F = - m\vec g} (also mit konstanter Geschwindigkeit) gehoben, so wird die Arbeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W=mgh} an ihm verrichtet. Wenn die Systemgrenzen das Schwerefeld und damit auch die potentielle Energie einschließen, führt diese Arbeit dem System die entsprechende Energie zu. Wird aber auch die Schwerkraft als äußere Kraft verstanden, so gehört auch die potentielle Energie des Körpers nicht zum System „Körper“ und die Energie des Systems ändert sich nicht, weil sich beide äußere Kräfte gegenseitig kompensieren.

Arbeit beim Tauchsieder

Ein stromdurchflossener Tauchsieder erhitzt das umgebende Wasser. Legt man als Systemgrenze die ins Wasser getauchte Oberfläche des Tauchsieders fest, dann wird hierdurch nur Wärme übertragen. Die dem Wasser zugeführte Wärme erhöht dort die innere Energie, was sich (gemäß der Zustandsgleichung von Wasser) vor allem durch Temperaturerhöhung ausdrückt und nur in vernachlässigbarem Ausmaß als Volumenarbeit durch Wärmeausdehnung. Legt man die Systemgrenze aber in die Steckdose, dann wird dort elektrische Arbeit übertragen. Diese erhöht im Tauchsieder die innere Energie, was wiederum (bis auf die Wärmeausdehnung) eine Erhöhung der Temperatur bedeutet. Die Frage, ob beim Wasserkochen mit dem Tauchsieder Wärme übertragen oder Arbeit verrichtet wird, ist daher ohne vorherige Vereinbarung über die Systemgrenze nicht zu beantworten.

Spezialfälle

Hubarbeit: Arbeit, die an einem ruhenden Körper der Masse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} verrichtet werden muss, um ihn im homogenen Schwerefeld mit Fallbeschleunigung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} um die Hubhöhe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} zu heben

Die zum Heben benötigte Kraft beträgt (entgegen der Schwerkraft): Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F = m\, g} ,

Die zurückgelegte Strecke Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s} entspricht der Höhe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle h} .

Damit beträgt die geleistete Hubarbeit: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W = F \, s = m\, g\, h.}

Arbeit bei Drehbewegung: Bei einer Drehbewegung unter Einwirkung eines Drehmoments ist die mechanische Arbeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W= M \,\Delta \varphi } , wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M } das Drehmoment auf den Körper bezeichnet und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta \varphi } den Winkel (im Bogenmaß), um den er gedreht wird. Die Formel ergibt sich aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W = F \, s } , wenn die Kraft im Abstand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r} von der Drehachse das Drehmoment Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M = F\,r} erzeugt und ihr Angriffspunkt auf dem Kreis den Bogen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s = r \,\Delta \varphi } zurücklegt.

Spannarbeit, auch Federarbeit, um eine zunächst ungespannte Feder um die Strecke Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s} zu dehnen:

Die (Spann-)Kraft einer Feder der Federkonstante Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D} beträgt bei der Federdehnung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} : Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(x) = D\,x} .

Da die Kraft längs des Weges nicht konstant ist, tritt an Stelle des Produkts

W=F\,s

das Integral Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W = \int^s_0 F(x)\,\mathrm{d}x} .

Damit beträgt die verrichtete Spannarbeit: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W = \int^s_0 D x\,\mathrm{d}x = \tfrac{1}{2} \, D \, s^2} .

Beschleunigungsarbeit: Ein Körper der Masse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} mit der Geschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v_0} wird auf eine Geschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v} beschleunigt und legt dabei eine Strecke Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s} zurück. Seine kinetische Energie ändert sich dabei um Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta E_\text{kin}} :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W = \Delta E_\text{kin} = \tfrac{1}{2} \, m \, v^2 - \tfrac{1}{2} \, m \, v_0^2 = \tfrac{1}{2} \, m \, (v^2 - v_0^2).}

Die Formel ergibt sich aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W = F \, s } , weil die Kraft Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} am Körper die Beschleunigung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tfrac{F}{m}} erzeugt und zum Erreichen der Endgeschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v} eine Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta t = \tfrac{m}{F} \, (v-v_0)} einwirken muss. Währenddessen legt der Körper die Strecke Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s = v_0 \, \Delta t + \tfrac12 \tfrac{F}{m} \, \Delta t^2 } zurück.

Volumenarbeit oder Kompressionsarbeit: Arbeit, die an einem Gas verrichtet werden muss, um es vom Volumen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V_1} auf das Volumen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V_2} zu verdichten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W = -\int_{V_1}^{V_2} p \, \mathrm{d}V.}

Das negative Vorzeichen stammt daher, dass die Kraft auf die Fläche Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} des Kolbens Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F=-p\, A } dem Binnendruck des Gases entgegengesetzt sein muss. Der Druck Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} kann (je nach Art der Zustandsänderung) variabel oder konstant sein.

Bei konstantem Druck wird daraus die Druck-Volumen-Arbeit, z. B. bei der Förderung eines Flüssigkeitsvolumens Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V} gegen einen konstanten Druck.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W = p \, V\,.}

Verformungsarbeit: Arbeit, die von einer äußeren Kraft verrichtet wird, wenn sie einen Körper verformt.

Elektrische Arbeit: Um die Ladungsmenge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Q} von einem Punkt zu einem anderen zu bewegen, zwischen welchen die Elektrische Spannung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U} herrscht, muss die Arbeit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W = -\,Q\,U}

verrichtet werden. Die Formel ergibt sich aus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W = F\,s} , weil Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F = -\,Q\,\tfrac{U}{s}} (wenn das elektrische Feld direkt vom Anfangs- zum Endpunkt weist).

Magnetische Arbeit: Wenn sich in einem Magnetfeld ${\vec {B}}$ ein magnetischer Dipol Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec m} befindet, muss am Dipol bei Erhöhung des Magnetfelds die Arbeit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W = -\vec m \cdot \vec {\Delta B}}

verrichtet werden.^[18]

Reibungsarbeit: Produkt aus Reibungskraft und Weg, also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W = F_\text{Reib} \, s} . Es handelt sich um eine mechanische Arbeit, die an dem Material der beiden reibenden Flächen und gegebenenfalls dem Schmiermittel geleistet wird. Die zugeführte Energie verteilt sich durch Abrieb und Dissipation meist so schnell, dass sie nur als Erhöhung der inneren Energie des Materials in Erscheinung tritt, also wie Wärmezufuhr (und zum Teil Oberflächenarbeit) wirkt.^[19] Nur dieses Endergebnis ist verträglich mit der umgangssprachlichen Redeweise „Reibung verursacht Wärme“, wenn man hier den physikalischen Begriff von Wärme als einer durch Temperaturdifferenzen bewirkten Energiezufuhr meint.

Oberflächenarbeit: Um eine Oberfläche Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} , in der die Oberflächenspannung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma} herrscht, um Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta A} zu vergrößern, ist die Arbeit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W_\text{A} = \sigma \Delta A} zu verrichten. Zur Herleitung der Formel siehe Oberflächenspannung#Mechanische Definition.

Ein Beispiel aus der Physiologie: Die Herzarbeit setzt sich aus der Druck-Volumen-Arbeit und der Beschleunigungsarbeit durch Addition der Arbeit der beiden Ventrikel zusammen.^[20]^[21]

Zwangskräfte leisten (sofern sie nicht explizit von der Zeit abhängen) keine Arbeit, weil sie stets orthogonal zur Bahnkurve gerichtet sind.

Literatur

Christian Gerthsen, Dieter Meschede (Hrsg.): Physik. 23. Auflage. Springer Verlag, Berlin 2006, ISBN 3-540-25421-8.
Joachim Grehn (Hrsg.): Metzler Physik. 4. Auflage. Schroedel Schulbuchverlag, Hannover 2007, ISBN 978-3-507-10710-6.
Klaus Stierstadt: Thermodynamik — Von der Mikrophysik zur Makrophysik, Springer Verlag, 2010, ISBN 978-3-642-05097-8, e-ISBN 978-3-642-05098-5, DOI:10.1007/978-3-642-05098-5
Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik Bd 4/2 Thermodynamik, Springer Verlag, 9. Auflage 2016, ISBN 978-3-662-49032-7, DOI:10.1007/978-3-662-49033-4
Rainer Müller: Klassische Mechanik - Vom Weitsprung zum Marsflug, De Gruyter, 3. Auflage 2015, ISBN 978-3-11-044530-5
Mark W. Zemansky, Richard H. Dittman: Heat and Thermodynamics, MCGrawHill 1951

Weblinks

Arbeit auf Schülerniveau erklärt (LEIFI) (gilt nur für Arbeit in der Mechanik)

Einzelnachweise

↑
Diese Aussage hat in der Mechanik den Stellenwert eines Axioms:
- In der Punktmechanik wirken innere Kräfte nach dem dritten Newton’schen Axiom immer paarweise entgegengesetzt und innere Drehmomente treten nicht auf, weil Massenpunkte nur Zentralkräfte aufnehmen können.
- In der Kontinuumsmechanik muss dem Boltzmann-Axiom zufolge jedes Volumenelement im statischen Gleichgewicht sein, sodass die resultierenden inneren Kräfte und Momente am Volumenelement null ergeben.
↑ Alexandre Moatti: Gaspard-Gustave de Coriolis (1792-1843), un mathématicien, théoricien de la mécanique appliquée. Atelier national de Reproduction des Thèses, Paris 2011, 4. La définition physique du travail, S. 60–83 und 109–131 (französisch, archives-ouvertes.fr [PDF; abgerufen am 30. Mai 2022]).
↑ István Szabó: Geschichte der mechanischen Prinzipien und ihrer wichtigsten Anwendungen. Korrigierter Nachdr. der 3., korrigierten und erw. Auflage. Birkhäuser, Basel 1996, ISBN 3-7643-1735-3, Kap. "Das Kräftemaß von Leibniz; seine lebendige und tote Kraft; der Streit um das wahre Kraftmaß", S. 62 ff.
↑ Leibniz' Dynamik. Gottfried Wilhelm Leibniz Bibliothek – Niedersächsische Landesbibliothek, abgerufen am 25. November 2021.
↑ Friedrich Hund: Geschichte der physikalischen Begriffe, Bd. 2. B.I. Hochschultaschenbücher, Mannheim 1978, S. 101 ff.
↑ J. Willard Gibbs: Thermodynamische Studien (übers. von Wilhelm Ostwald). Engelmann, Leipzig 1892, S. 102 ff.
↑ Klaus Stierstadt: Thermodynamik — Von der Mikrophysik zur Makrophysik Kap. 12.2, Springer Verlag, 2010, ISBN 978-3-642-05097-8, e-ISBN 978-3-642-05098-5, doi:10.1007/978-3-642-05098-5
↑ Klaus Stierstadt: Thermodynamik — Von der Mikrophysik zur Makrophysik Kap. 4.2, Springer Verlag, 2010, ISBN 978-3-642-05097-8, e-ISBN 978-3-642-05098-5, doi:10.1007/978-3-642-05098-5
↑ Siehe z. B. Andreas Heintz: Statistische Thermodynamik, Grundlagen und Behandlung einfacher chemischer Systeme. Kap. 2.2 ff. PDF (Memento vom 23. September 2015 im Internet Archive), abgerufen am 20. April 2015.
↑ Franz Schwabl: Statistische Mechanik. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2006, ISBN 3-540-20360-5, S. 61–62.
↑ Rainer Müller: Klassische Mechanik - Vom Weitsprung zum Marsflug. De Gruyter, 2015, ISBN 978-3-11-044529-9. Kap. 7.6, doi:10.1515/9783110445305
↑ Rainer Müller: Klassische Mechanik - Vom Weitsprung zum Marsflug. De Gruyter, 2015, ISBN 978-3-11-044529-9. Kap. 7.8 „Feldenergie und potentielle Energie“, doi:10.1515/9783110445305
↑ D. Gross, W. Hauger, J. Schröder, W. A. Wall: Technische Mechanik 3. Kinetik. 15. Auflage. Springer Vieweg Verlag, Heidelberg 2019, ISBN 978-3-662-63064-8, S. 61, doi:10.1007/978-3-662-63065-5 (Bewegung eines Massenpunktes).
Jürgen Dankert, Helga Dankert: Technische Mechanik. Statik, Festigkeitslehre, Kinematik/Kinetik. 5. Auflage. Vieweg+Teubner, 2009, ISBN 978-3-8351-0177-7, S. 535 (google.de).
↑ D. Gross, W. Hauger, J. Schröder, W. A. Wall: Technische Mechanik. Elastostatik. Band 2. Springer-Verlag, Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-40965-3, doi:10.1007/978-3-642-40966-0_6 (Der Arbeitsbegriff in der Elastostatik).
↑ Jürgen Dankert, Helga Dankert: Technische Mechanik. 6. Auflage. Vieweg-Teubner, 2011, ISBN 978-3-8348-1375-6, S. 536.
↑ Klaus Stierstadt: Thermodynamik — Von der Mikrophysik zur Makrophysik Kap. 12.2, Springer Verlag, 2010, ISBN 978-3-642-05097-8, e-ISBN 978-3-642-05098-5, doi:10.1007/978-3-642-05098-5
↑ Rainer Müller: Klassische Mechanik - Vom Weitsprung zum Marsflug. De Gruyter, 2015, ISBN 978-3-11-044529-9. Kap. 7.7, doi:10.1515/9783110445305
↑ Klaus Stierstadt: Thermodynamik — Von der Mikrophysik zur Makrophysik Kap. 4.1.3, Springer Verlag, 2010, ISBN 978-3-642-05097-8, e-ISBN 978-3-642-05098-5, doi:10.1007/978-3-642-05098-5
↑ Bruce Arne Sherwood, W. H. Bernard: Work and heat transfer in the presence of sliding friction. In: Am. J. Phys. Band 52, Nr. 11, 1984, S. 1001–1008.
↑ Christian Hick, Astrid Hick: Intensivkurs Physiologie. 2009, ISBN 978-3-437-41893-8, S. 68–69.
↑ gesundheit.de, Medizin-Lexikon.

[1] Diese Aussage hat in der Mechanik den Stellenwert eines Axioms:
In der Punktmechanik wirken innere Kräfte nach dem dritten Newton’schen Axiom immer paarweise entgegengesetzt und innere Drehmomente treten nicht auf, weil Massenpunkte nur Zentralkräfte aufnehmen können.

In der Kontinuumsmechanik muss dem Boltzmann-Axiom zufolge jedes Volumenelement im statischen Gleichgewicht sein, sodass die resultierenden inneren Kräfte und Momente am Volumenelement null ergeben.

[2] In der Punktmechanik wirken innere Kräfte nach dem dritten Newton’schen Axiom immer paarweise entgegengesetzt und innere Drehmomente treten nicht auf, weil Massenpunkte nur Zentralkräfte aufnehmen können.

[3] In der Kontinuumsmechanik muss dem Boltzmann-Axiom zufolge jedes Volumenelement im statischen Gleichgewicht sein, sodass die resultierenden inneren Kräfte und Momente am Volumenelement null ergeben.

[2] Alexandre Moatti: Gaspard-Gustave de Coriolis (1792-1843), un mathématicien, théoricien de la mécanique appliquée. Atelier national de Reproduction des Thèses, Paris 2011, 4. La définition physique du travail, S. 60–83 und 109–131 (französisch, archives-ouvertes.fr [PDF; abgerufen am 30. Mai 2022]).

[3] István Szabó: Geschichte der mechanischen Prinzipien und ihrer wichtigsten Anwendungen. Korrigierter Nachdr. der 3., korrigierten und erw. Auflage. Birkhäuser, Basel 1996, ISBN 3-7643-1735-3, Kap. "Das Kräftemaß von Leibniz; seine lebendige und tote Kraft; der Streit um das wahre Kraftmaß", S. 62 ff.

[4] Leibniz' Dynamik. Gottfried Wilhelm Leibniz Bibliothek – Niedersächsische Landesbibliothek, abgerufen am 25. November 2021.

[5] Friedrich Hund: Geschichte der physikalischen Begriffe, Bd. 2. B.I. Hochschultaschenbücher, Mannheim 1978, S. 101 ff.

[Gibbs-Ostwaldt-6] J. Willard Gibbs: Thermodynamische Studien (übers. von Wilhelm Ostwald). Engelmann, Leipzig 1892, S. 102 ff.

[7] Klaus Stierstadt: Thermodynamik — Von der Mikrophysik zur Makrophysik Kap. 12.2, Springer Verlag, 2010, ISBN 978-3-642-05097-8, e-ISBN 978-3-642-05098-5, doi:10.1007/978-3-642-05098-5

[8] Klaus Stierstadt: Thermodynamik — Von der Mikrophysik zur Makrophysik Kap. 4.2, Springer Verlag, 2010, ISBN 978-3-642-05097-8, e-ISBN 978-3-642-05098-5, doi:10.1007/978-3-642-05098-5

[9] Siehe z. B. Andreas Heintz: Statistische Thermodynamik, Grundlagen und Behandlung einfacher chemischer Systeme. Kap. 2.2 ff. PDF (Memento vom 23. September 2015 im Internet Archive), abgerufen am 20. April 2015.

[10] Franz Schwabl: Statistische Mechanik. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2006, ISBN 3-540-20360-5, S. 61–62.

[11] Rainer Müller: Klassische Mechanik - Vom Weitsprung zum Marsflug. De Gruyter, 2015, ISBN 978-3-11-044529-9. Kap. 7.6, doi:10.1515/9783110445305

[12] Rainer Müller: Klassische Mechanik - Vom Weitsprung zum Marsflug. De Gruyter, 2015, ISBN 978-3-11-044529-9. Kap. 7.8 „Feldenergie und potentielle Energie“, doi:10.1515/9783110445305

[13] D. Gross, W. Hauger, J. Schröder, W. A. Wall: Technische Mechanik 3. Kinetik. 15. Auflage. Springer Vieweg Verlag, Heidelberg 2019, ISBN 978-3-662-63064-8, S. 61, doi:10.1007/978-3-662-63065-5 (Bewegung eines Massenpunktes).
Jürgen Dankert, Helga Dankert: Technische Mechanik. Statik, Festigkeitslehre, Kinematik/Kinetik. 5. Auflage. Vieweg+Teubner, 2009, ISBN 978-3-8351-0177-7, S. 535 (google.de).

[14] D. Gross, W. Hauger, J. Schröder, W. A. Wall: Technische Mechanik. Elastostatik. Band 2. Springer-Verlag, Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-40965-3, doi:10.1007/978-3-642-40966-0_6 (Der Arbeitsbegriff in der Elastostatik).

[15] Jürgen Dankert, Helga Dankert: Technische Mechanik. 6. Auflage. Vieweg-Teubner, 2011, ISBN 978-3-8348-1375-6, S. 536.

[16] Klaus Stierstadt: Thermodynamik — Von der Mikrophysik zur Makrophysik Kap. 12.2, Springer Verlag, 2010, ISBN 978-3-642-05097-8, e-ISBN 978-3-642-05098-5, doi:10.1007/978-3-642-05098-5

[Müller_Mech_2015-17] Rainer Müller: Klassische Mechanik - Vom Weitsprung zum Marsflug. De Gruyter, 2015, ISBN 978-3-11-044529-9. Kap. 7.7, doi:10.1515/9783110445305

[18] Klaus Stierstadt: Thermodynamik — Von der Mikrophysik zur Makrophysik Kap. 4.1.3, Springer Verlag, 2010, ISBN 978-3-642-05097-8, e-ISBN 978-3-642-05098-5, doi:10.1007/978-3-642-05098-5

[19] Bruce Arne Sherwood, W. H. Bernard: Work and heat transfer in the presence of sliding friction. In: Am. J. Phys. Band 52, Nr. 11, 1984, S. 1001–1008.

[Intensivkurs_Physiologie-20] Christian Hick, Astrid Hick: Intensivkurs Physiologie. 2009, ISBN 978-3-437-41893-8, S. 68–69.

[21] sundheit.de, Medizin-Lexikon.

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