Stetiger Funktionalkalkül

Der stetige Funktionalkalkül gehört zu den wichtigsten Grundlagen der mathematischen Theorie der C*-Algebren.

In der fortgeschrittenen Theorie sind die Anwendungen dieses Funktionalkalküls so selbstverständlich, dass sie oft nicht einmal erwähnt werden. Man kann ohne Übertreibung sagen, dass der stetige Funktionalkalkül, der auch in den grundlegenden Sätzen von Gelfand-Neumark steckt, den Unterschied zwischen C*-Algebren und allgemeinen Banachalgebren, in denen man lediglich einen holomorphen Funktionalkalkül hat, ausmacht.

Motivation

Will man einen Funktionalkalkül für stetige Funktionen auf dem Spektrum $\sigma (a)$ eines Banachalgebren-Elementes $a\in A$ konstruieren, so liegt es nahe, die stetigen Funktionen gemäß dem weierstraßschen Approximationssatz durch Polynome zu approximieren, das Element in diese Polynome einzusetzen und zu zeigen, dass dadurch ein Element in $A$ approximiert wird. Um stetige Funktionen auf $\sigma (a)\subset \mathbb {C}$ zu approximieren, benötigt man Polynome in zwei Variablen, oder, was auf dasselbe hinausläuft, Polynome in $z$ und ${\overline {z}}$, wobei ${\overline {z}}$ die komplexe Konjugation bezeichnet. Hat man ein solches Polynom $p(z,{\overline {z}})$ und setzt man $a$ an Stelle von $z$, so ist zunächst nicht klar, was an die Stelle von ${\overline {z}}$ gesetzt werden soll. Weil $z\mapsto {\overline {z}}$ eine Involution auf den komplexen Zahlen ist, betrachtet man Banachalgebren mit einer Involution * und setzt $a^{*}$ an die Stelle von ${\overline {z}}$. Da der Polynomring ${\mathbb {C} }[z,{\overline {z}}]$ kommutativ ist, muss man sich, um einen Homomorphismus ${\mathbb {C} }[z,{\overline {z}}]\rightarrow A$ zu erhalten, auf Banachalgebren-Elemente mit $a^{*}a=aa^{*}$ einschränken, solche Elemente nennt man normal. Ist nun $(p_{n}(z,{\overline {z}}))_{n}$ eine Folge von Polynomen, die auf $\sigma (a)$ gleichmäßig gegen eine stetige Funktion konvergiert, so ist noch sicherzustellen, dass die Folge $(p_{n}(a,a^{*}))_{n}$ in $A$ gegen einen Grenzwert, den man dann $f(a)$ nennen könnte, strebt. Eine eingehende Analyse dieses Konvergenzproblems zeigt, dass man sich auf C^*-Algebren zurückziehen muss. Diese Überlegungen führen zum sogenannten stetigen Funktionalkalkül.

Der stetige Funktionalkalkül

• Sei $a$ ein normales Element der C^*-Algebra $A$ mit Einselement $e$ und sei ${\mathcal {C}}(\sigma (a))$ die Algebra der stetigen Funktionen auf $\sigma (a)$. Dann gibt es genau einen *-Homomorphismus $\Phi _{a}:{\mathcal {C}}(\sigma (a))\rightarrow A$ mit $\Phi _{a}(1)\,=\,e$ und $\Phi _{a}(z)\,=\,a$.
• $\Phi _{a}$ ist ein isometrischer Isomorphismus auf die von $a$ erzeugte Unter-C^*-Algebra.

Üblicherweise setzt man suggestiv $f(a)\,:=\,\Phi _{a}(f)$. Dann kann man folgendes beweisen:

• Es gelten die Formeln $(f+g)(a)\,=\,f(a)+g(a)$, $(f\cdot g)(a)=f(a)\cdot g(a)$ für alle $f,g\in {\mathcal {C}}(\sigma (a))$.
• Für jedes $f\in {\mathcal {C}}(\sigma (a))$ gilt $f(a)^{*}={\overline {f}}(a)$.
• Sind $f\in {\mathcal {C}}(\sigma (a))$ und $g\in {\mathcal {C}}(\sigma (f(a)))$, so gilt $(g\circ f)(a)=g(f(a))$.
• Es gilt der spektrale Abbildungssatz: $\sigma (f(a))\,=\,f(\sigma (a))$ für alle $f\in C(\sigma (a))$.

Man kann sich also vorstellen, die Banachalgebren-Elemente tatsächlich in stetige Funktionen einzusetzen; die naheliegenden algebraischen Operationen verhalten sich wie erwartet.

Die Forderung nach einem Einselement ist keine wesentliche Einschränkung. Man kann nötigenfalls ein Einselement adjungieren und in der so vergrößerten C*-Algebra $A_{1}$ arbeiten. Ist dann $a\in A$ und $f\in {\mathcal {C}}(\sigma (a))$ mit $f(0)\,=\,0$, so gilt $0\in \sigma (a)$ und $f(a)\in A\subset A_{1}$.

Anwendungen

Die folgenden Anwendungen sind typische und sehr einfache Beispiele der zahlreichen Anwendungen des stetigen Funktionalkalküls in der Theorie der C^*-Algebren:

Wurzeln

Sei $a$ ein normales Element einer C^*-Algebra. Dann sind äquivalent:

• $a$ ist positiv, d. h. $\sigma (a)\subset [0,\infty )$.
• Es gibt ein selbstadjungiertes Element $b$ mit $a\,=\,b^{2}$.

Ist $a$ positiv, so ist die Einschränkung der Wurzelfunktion $w\colon \mathbb {R} _{0}^{+}\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto {\sqrt {x}}$ auf $\sigma (a)$ stetig, und man kann mittels Funktionalkalkül $b=w(a)\in A$ bilden. Da $w$ nur reelle Werte annimmt, ist $w={\overline {w}}$, woraus $b=b^{*}$ folgt, und offenbar ist $b^{2}=(w(a))^{2}\,=\,(w^{2})(a)=z(a)=a$.

Ist umgekehrt $a=b^{2}$ mit selbstadjungiertem $b$, so ist $a=b^{2}=b^{*}b={\overline {z}}(b)\cdot z(b)=({\overline {z}}\cdot z)(b)=|z|^{2}(b)=q(b)$, wobei $q(z):=|z|^{2}$, und aus dem spektralen Abbildungssatz folgt $\sigma (a)=\sigma (q(b))=q(\sigma (b))\subset [0,\infty )$.

Unitäre Elemente

• Ist $a$ ein selbstadjungiertes Element einer C^*-Algebra mit Einselement $e$, so ist $u=e^{ia}$ unitär.

Es ist $u=f(a)$ mit $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {C} ,\ x\mapsto e^{ix}$, denn da $a$ selbstadjungiert ist, folgt $\sigma (a)\subset \mathbb {R}$, d. h. $f$ ist eine Funktion auf dem Spektrum von $a$. Da $f\cdot {\overline {f}}={\overline {f}}\cdot f=1$ folgt mittels Funktionalkalkül $uu^{*}=u^{*}u=e$, d. h. $u$ ist unitär.

Quellen

• J. Dixmier: Les C*-algèbres et leurs représentations. Gauthier-Villars, 1969.
• R.V. Kadison, J. R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. 1983, ISBN 0123933013.
• M. Takesaki: Theory of Operator Algebras I. Springer, 1979, 2002.