Diskussion:Eins

Naturvölker/Hochkulturen kennen nur zwei Zahlen?

Ich zitiere:

Während die 1 neben der 0 im Bereich der Computer-Technologie von größter Bedeutung ist, ist die 1 bei Naturvölkern bzw. bei den Menschen der Vorzeit und auch der frühen Hochkulturen neben der Zahl zwei die einzige Zahl gewesen. Man rechnet(e) im Zweiersystem und/oder verwandte nur die ersten sechs Zahlen, endete also ab der Zahl sieben mit jeglicher Berechnung.

Das ist doch unrichtig, oder ich verstehe den Sinn nicht. Vielleicht gab es einige Hochkulturen oder Naturvölker, die nur zwei oder sechs Zahlen haben. Aber für die meisten stimmt dies ja wohl keineswegs zu: Babylonier rechneten im 60er-System, hatten Zahlwörter für 60*60, Ägypter konnten auch weiter als bis 6 rechnen... Oder was?

"eins" auch eine gebeugte Form des unbestimmten Artikels "ein"

Und zwar der Genitiv neutrum: "Eins der schönsten Gedichte..." Im Übrigen können wir uns vielleicht darüber eins sein, dass dieser Artikel eine Eins bekäme, wenn wir das berücksichtigten, was der Duden noch so anbietet ;-))) Arne List 17:24, 19. Jul 2004 (CEST)

Ist zwar schon lange her, aber …; Der Duden ist ein Wörterbuch, das heißt er zählt in erster Linie die Bedeutungen eines Worts auf. Die Wikipedia ist eine Enzyklopädie, das heißt sie behandelt Begriffe. Ein Wort kann mehrere Begriffe bezeichnen (eins/Eins) und ein Begriff kann mehrere Bezeichnungen haben (Eins/1). Dieser Artikel bezieht sich auf den Begriff Eins, andere Bedeutungen des Worts eins sind in diesem Zusammenhang irrelevant. Secular mind 03:17, 18. Dez. 2006 (CET)

Warum ist '1' nur das Jahr?

Ich bin realtiv neu hier in der Wikipedia, darum bitte ich die vielleicht dumme Frage zu entschuldigen. Aber: Warum ist unter 1 genau das Jahr 1 abgelegt, nicht allgemein die Zahl 1 welche sich dagegen unter Eins findet? Wäre es nicht besser aus 1 etc. eine Begriffsklärung zu machen? Ich glaube einfach nicht, dass die Mehrheit der Leute, welche etwas zu 1 oder 0 oder etc. suchen genau Informátionen zum entsprechenden Jahr suchen. --Jadadoo 04:44, 22. Dez 2005 (CET)

Um es noch zu ergänzen: bei 1605 oder 1993 oder 2005 etc. ist wohl schon immer das Jahr gesucht, aber bei 0, 1 oder 12 etc. ?

Wo ist die Grenze, ab welcher Zahl sollte das Jahr und nicht die Zahl behandelt werden? Stichwort Konsistenz.--Gunther 00:19, 23. Dez 2005 (CET)

Sicher kann hier klare Grenze gezogen werden, aber bei einigen Zahl liegt es intuitiv doch sehr nahe, dass hier wohl die überwiegende Mehrheit der Leute nach der Bedeutung der Zahl sucht und nicht nach dem Jahr. Wie eben z. B. 1 oder 0, aber auch 12 z. B. Man kann hier aber durchaus Kriterien aufstellen: Ist über das Jahr viel bekannt, gab es dem Jahr bedeutende Ereignisse? Oder hat etwas die Zahl an sich eine besonder Bedeutung? Für das ganze könnte man auch relativ konsistente Lemma finden, etwa so:

• 1 (Jahr) -> Infos zum Jahr
• 1 (Zahl) -> Infos zur Zahl
• 1 und Eins -> Redirect auf das favorisierte Thema entsprechend z.B. o.g. Kriterien.

--Jadadoo 09:41, 23. Dez 2005 (CET)

Periodischer Dezimalbruch

bitte um beweis (fuer laien verstaendlich) weshalb 0,999999... gleich eins ist. (so ist die aussage fuer die meistren leute gleich der aussage 5=9) Elvis untot 13:33, 16. Dez. 2006 (CET)

Beweise sollte man in einer Enzyklopädie nur bringen, wenn sie einen deutlichen Erkenntnisgewinn versprechen, sonst reicht einfach das Ergebnis. Jetzt die Frage: ist der Beweis wirklich so wichtig? Wenn ja, würde ich es über die Konvergenz einer geometrischen Reihe machen, nur so ist der Beweis auch formal korrekt. --Smeyen | Disk 16:13, 16. Dez. 2006 (CET)

Das wäre auch die einzige Art der Beweisführung, die ich mir vorstellen könnte. Allerdings bin ich weiterhin der Meinung, dass die beiden Zahlen bereits formal dieselben sinn, weil keine reelle Zahl zwischen ihnen liegt. --Scherben 16:17, 16. Dez. 2006 (CET)

Ich denke auch, dass es für das Erste mal reichen sollte. Das Einzige, was mich an der Irrelevanz des Artikels zweifeln ließ, war der Irrtum des LA-Stellers. --Smeyen | Disk 16:32, 16. Dez. 2006 (CET)

Ich denke eine Erklärung (statt eines math. formal korrekten Beweises) sollte ein wikipedia-Artikel schon enthalten, der ja nicht von promovierten Mathematikern gelsen wird, sondern größtenteils von mathematischen Laien. --Zzztop 11:44, 17. Dez. 2006 (CET)

Es gibt aber keine richtige Erklärung, die auf deinem 1/3-Beispiel beruht. --Scherben 13:31, 17. Dez. 2006 (CET)

@Zzztop - Mal ein Versuch das anschaulich zu machen: Nimm mal ein Stück Kuchen und schneide den in der Mitte duch. Dann hast du zwei Hälften. Zusammengesetzt ergibt das immer noch ein ganzer. Die eine Hälfte schneidest Du wieder in der Mitte durch. Das sind dann zwei Viertel. Einses davon wird wieder halbiert. Das setzt Du dann fort, bis Dein Messer stumpf geworden ist, also unendlich mal. Du hast dann immer noch die Menge von einem Kuchen auf dem Teller, nämlich ${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{32}}+...$
Die Dezimalbruchentwicklung von 0,999... geht so ähnlich: Du schneidest aus dem Kuchen ${\frac {1}{10}}$ raus. Bleiben ${\frac {9}{10}}$ übrig. Zusammen ergeben Sie immer noch einen ganzen Kuchen. Von dem ${\frac {1}{10}}$ Kuchen schneidest du wieder ${\frac {1}{10}}$ raus, das ist dann ${\frac {1}{100}}$ vom Ganzen - der Rest sind dann ${\frac {9}{100}}$. Das ${\frac {1}{100}}$teilst Du wie gehabt. Solange, bis ich "Stop" sage - wird nie passieren. Dann hast du (ähnlich wie oben) ${\frac {9}{10}}+{\frac {9}{100}}+{\frac {9}{1000}}+{\frac {9}{10000}}+...$ usw. Zusammen aber immer noch die Menge vom Ganzen.
Im Dezimalsystem ist aber gerade $0,9={\frac {9}{10}}$ und $0,09={\frac {9}{100}}$ usw.
Statt ${\frac {9}{10}}+{\frac {9}{100}}+{\frac {9}{1000}}+{\frac {9}{10000}}+...$ kann man also auch schreiben $0,9999...$ und ich geh' jetzt Kaffee trinken --Xqt 14:30, 17. Dez. 2006 (CET)

Dein Unedlichkeitsbegriff ist fehlerhaft: Wenn DEIN Messer erst stumpf wird beim unendlichsten Schnitt, hast du ein Messer gefunden, das niemals stumpf wird! Ansonsten hast du das Prinzip genau richtig verstanden. Und das fehlt noch im Artikel! --84.177.228.128 08:43, 18. Dez. 2006 (CET)

(wg. Messer) Ja, das hab' ich. Wie sollte ich sonst die Quarks durchschneiden können. (Quark-Sahnetorte?)     :)     Na ja, ich entwickle halt andersrum. Ziehe hal von 1 etwas ab was unendlich klein ist, also $1-{\frac {1}{\infty }}=1-0=1$  --Xqt 13:04, 18. Dez. 2006 (CET)

Hallo, was haltet ihr von der folgenden Begründung, die ohne Rückgriff auf Grenzprozesse auskommt:

Sei a := 0,999... . Dann ist 10a = 9,999... = 9 + a, also 9a = 9, also a = 1.

Hier braucht man nur das Verhalten einer Dezimalzahl bei Multiplikation mit 10 (Komma eine Stelle nach rechts) und die Trennung von Vor- und Nachkommateil in 2 Summanden.

Der Nachteil ist allerdings, dass man eine (einfache) Gleichung lösen muss. Gruß, Wasseralm 13:25, 18. Dez. 2006 (CET)

Warum wollt ihr denn alle das Rad neu erfinden? Wenn man unbedingt einen Beweis liefern will, dann springt einem der Wikilink auf geometrische Reihe doch förmlich ins Auge. Dort steht auch alles Wichtige bereits drin. --Scherben 13:39, 18. Dez. 2006 (CET)

@ Wasseralm: ganz so einfach geht's halt nicht. Dann muß du nämlich nachweisen, daß 10a = 9 + a. Viel Spaß dabei. --Xqt 14:49, 18. Dez. 2006 (CET)

doch, es geht so einfach, wenn man voraussetzt, dass 0,999... eine wohldefinierte Zahl bezeichnet und dass die beiden erwähnten Rechenregeln (Multiplikation mit 10, Vor- und Nachkommaanteil als Summanden) gelten.

Ich wollte aber nur einen möglichen, einfachen Beweis aufzeigen. Rein persönlich würde jeden Versuch einer Begründung hier ganz weglassen und in dem Abschnitt nur schreiben:

Die Zahl Eins besitzt neben der üblichen Darstellung als 1 auch die periodische Dezimalbruchdarstellung als $0{,}{\bar {9}}=0{,}999\ldots$.

Wer mehr wissen will, kann dem Link folgen. Gruß Wasseralm 14:59, 18. Dez. 2006 (CET)

(Zu deiner ersten Anmerkung): Das willst Du aber doch gerade beweisen damit. Was Du machst ist ein klassischer Zirkelschluß. --Xqt 15:18, 18. Dez. 2006 (CET)

Nein, denn gewisse Regeln für das Rechnen mit reellen Zahlen setze ich voraus (nämlich die angegebenen, die ja wohl bekannt sind). Nur um 0,999... = 1 zu beweisen, muss man doch nicht den ganzen axiomatischen Aufbau der reellen zahlen nachvollziehen. Gruß, Wasseralm 15:48, 18. Dez. 2006 (CET)

Du setzt aber voraus, daß 0,9999 gleich 1 ist (deine wohldefinierte Zahl), was du aber erst beweisen willst. Du kommst aber um die Grenzwertbetrachtung nicht herum. Um die Rechenregeln schere ich mich erstmal gar nicht. --Xqt 16:12, 18. Dez. 2006 (CET)16:07, 18. Dez. 2006 (CET)

Wir drehen uns anscheinend im Kreis. Ich setze keineswegs 0,999... = 1 voraus, sondern nur, dass 0,999... eine wohldefinierte Zahl bezeichnet. Natürlich gibt es zahllose Möglichkeiten, 0,999... = 1 zu beweisen, je nachdem, welche Voraussetzungen man für den Beweis zulässt. Ich habe eine Möglichkeit angegeben, die mit 2 elementaren und leicht nachvollziehbaren Eigenschaften von unendlichen Dezimaldarstellungen auskommt (ohne diese Eigenschaften selbst zu beweisen). Mehr wollte ich nicht. Gruß, Wasseralm

Genau genommen sehe ich eine einzige Möglichkeit, die Gleichheit zu beweisen, nämlich den Grenzwert der geometrischen Reihe auszurechnen. Das ist ja das was Du machst, nur dass Du das Wort "geometrische Reihe" nicht in den Mund nimmst. Wenn der Beweis in der Form verständlich sein sollte, habe ich eigentlich nichts dagegen. Und dass $10*0,{\bar {9}}=9,{\bar {9}}$ ist, ist dann doch zu trivial, als dass man darüber große Worte verlieren müsste. --Smeyen | Disk 20:23, 18. Dez. 2006 (CET)

Ob er in dem Zusammehanng des Artikels verständlich ist, weiß ich nicht genau. Ich wollte nur eine andere Möglichkeit des Beweises vorschlagen. Ich persönlich würde eine Begründung an dieser Stelle lieber ganz weglassen (siehe oben). Gruß, Wasseralm 21:56, 18. Dez. 2006 (CET)

Wenn Du voraussetzt, daß 0,999... eine wohldefinierte Zahl ist, setzt du die Existenz des Grenzwert voraus, was du erst beweisen willst. Deshalb Zirkelschluß --Xqt 07:39, 19. Dez. 2006 (CET)

Nein, es liegt kein Zirkelschluss vor. Möglicherweise hätte ich aber das Wort "wohldefiniert" vermeiden sollen. Ich wollte einfach darauf hinweisen, dass es sehr leicht ist und keinerlei Grenzwertbetrachtungen bedarf, die Gleichung 0,999... = 1 zu beweisen, wenn man voraussetzt, dass 0,999... eine reelle Zahl definiert und dass die üblichen Rechenregeln auch für unendliche Dezimalentwicklungen gelten. Damit erhält man eine Argumentation, die auch für Laien einsichtig ist, ohne über Grenzwerte zu sprechen, und ohne "fragliche" Operationen, wie z. B. die Multiplikation von unendlich vielen 3er-Dezimalstellen mit 3. Ich werde die Diskussion zu diesem Beweis von mir jetzt für mich abschließen. Die Entwicklung im Artikel ist sowieso in eine andere Richtung gelaufen. Gruß Wasseralm 10:39, 19. Dez. 2006 (CET)

Hallo?

Dass 1/3 = 0,3333... ist, folgt aus demselben Grund, warum 1 = 0,9999... ist. Also bitte keine Zirkelschlüsse! --Scherben 18:23, 16. Dez. 2006 (CET)

Das stimmt so nicht. Führ doch mal eine schriftliche Division durch. Dann siehst du es!

Ad infinitum? --Scherben 12:32, 18. Dez. 2006 (CET)

Periodischer Dezimalbruch (nochmals)

Hallo, ich habe den Abschnitt leicht überarbeitet. Hier einige Begründungen dazu:

1. die ursprüngliche Aussage $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {9}{10^{n}}}$ ist eine unendliche geometrische Reihe der Form $\sum _{i=0}^{\infty }a_{0}\cdot q^{i}$ stimmte nicht ganz wegen der verschiedenen Summationsgrenzen. Außerdem wurde dann nicht direkt mit dieser Form weitergearbeitet.
2. die Mischung von Brüchen und negativen Exponenten habe ich zugunsten der Brüche vereinheitlicht.
3. der Malpunkt war teils vorhanden, teils nicht. Ich habe ihn immer gesetzt.
4. es besteht keine Notwendigkeit, dass a den Index 0 bekommt.

Ich hoffe, das ist OK. Gruß von Wasseralm 23:17, 20. Jan. 2007 (CET)

Periodischer Dezimalbruch (schon wieder)

Hallo, ich habe diesen Abschnitt nochmals überarbeitet. Auslöser war die Aufnahme des "Bruchbeweises" (mit 1/3), die dann aber wieder revertiert wurde.

1. Ich denke, wir können diese Art von Beweisen aus dem Artikel nicht heraushalten, da sie sehr weit verbreitet sind und immer wieder kommen. Ich habe daher einen solchen Beweis aufgenommen und mit den entsprechenden Nebenbedingungen versehen.
2. Die Zwischenüberschriften habe ich aus dem Inhaltsverzeichnis herausgenommen; dieser Punkt kann aber noch überdacht werden. ich wollte das Inhaltsverzeichnis einfach nicht zu stark aufblähen.
3. Den direkten Grenzwertbeweis habe ich aufgenommen, da er der einfachste stringente Beweis ist und wirklich nur auf der Definition des Grenzwertes basiert. Den Beweis mit der geometrischen Reihe halte ich da schon wieder für konzeptionell etwas komplexer.
4. Mit etwas Sorge betrachte ich noch den Beweis mit der Anordnung der reellen Zahlen. So einfach wie es dasteht, ist es nämlich nicht. Dabei wird verwendet, dass man aus der (eigentlich einer) Dezimaldarstellung von reellen Zahlen auf die Anordnung schließen kann, und das muss auch erst einmal bewiesen bzw. aus den Eigenschaften des Limes hergeleitet werden. Außerdem ist dies der einzige Beweis, der wirklich reelle Zahlen erfordert, währen die anderen Beweise sich völlig innerhalb des Bereichs der rationalen Zahlen abspielen. Ich halte die Einführung der reellen Zahlen beim Beweis dieser Gleichheit für überflüssig. Meine Bedenken sind nicht so stark, dass ich diesen Beweis streiche, aber vielleicht gibt es ja noch Verbesserungen.

Gruß, Wasseralm 22:36, 13. Mär. 2007 (CET)

Der Dezimalbruch 0,333... $0,{\bar {3}}$

   Die Gleichheit ist eine Konsequenz aus der Tatsache, dass zwei reelle Zahlen x und y nur dann verschieden sind, 
   wenn es eine reelle Zahl z gibt, die zwischen ihnen liegt ...

Diese Schlußfolgerung ist dann richtig wenn 0,33... tatsächlich eine Zahl ist.
$0,{\bar {3}}$ ist aber ein algebraisches Kalkül, genauer gesagt eine infinite Reihe, und somit keine endliche Zahl. Der endliche Wert ${\frac {1}{3}}$ lässt sich nicht als Gleitkommazahl definieren sondern nur mit einem unendlichen Gleitkommakalkül approximieren; es sei denn man formuliert ein "Axiom" welches besagt, dass das "Endergebnis" einer unendlichen Reihe ihrem Grenzwert gleich ist. Ohne dieses Axiom gilt:

$\,\,infinit\neq finit\,\,$

Qubric 15:29, 9. Mai 2008 (CEST)

Lies mal Reelle Zahlen#Konstruktion von R aus Q. Das Vollständigkeitsaxiom ist ein wesentlicher Bestandteil von R. --Scherben 15:38, 9. Mai 2008 (CEST)

Das Vollständigkeitsaxiom ändert ja nichts an dem Fakt dass $0,{\bar {3}}$ keine relle Zahl definiert. (Karl Weierstraß übrigens definierte die rellen Zahlen über beschränkte Reihen)

Als Teil der Äquivalenzklasse aller Cauchy-Folgen mit Grenzwert 1/3 tut sie das selbstredend. --Scherben 11:22, 13. Mai 2008 (CEST)

Diese Äquivalenz läßt sich allenfalls festlegen, aber nicht mathematisch herleiten Qubric 18:08, 14. Mai 2008 (CEST)

Langsam wird mir das zu blöd. Von der geometrischen Reihe hast du aber schon mal etwas gehört, oder? --Scherben 20:54, 15. Mai 2008 (CEST)

Interessanter japanischer Artikel 0.999...

Ich möchte an dieser Stelle den ausführlichen japanischen Artikel 0.999... nennen, falls jemand das einarbeiten möchte und dessen Japanisch über das Taxi- bzw. Sushi-Bestellen hinausgeht. Gruß, -- Emdee 04:35, 19. Nov. 2008 (CET)

Och nee, nicht schon wieder. --Scherben 18:56, 20. Nov. 2008 (CET)

Seltsam, das dachte ich auch, als ich deine Antwort las. Was und wo genau ist „schon wieder“? Wenn diese Information keine ist, dann bitte konkreter werden und ich lösche das hier wieder heraus. -- Emdee 19:49, 20. Nov. 2008 (CET)

Du brauchst nichts rauszulöschen, ein Blick in die Versionsgeschichte hätte wohl gereicht... Danach kommst du z. B. auf Wikipedia:Löschkandidaten/15. Dezember 2006. --Scherben 09:32, 21. Nov. 2008 (CET)

Irgendwie mag ich deinen Humor. Gruß, -- Emdee 13:28, 21. Nov. 2008 (CET)

Jetzt vermag ich dir nicht mehr zu folgen. Ich hatte mich nur mit Grausen daran erinnert, mit welcher Inbrunst irgendwelche Laien damals ihr Verständnis von Mathematik gegen die Fachleute verteidigt haben... Mehr wollte ich eigentlich gar nicht ausdrücken. Kannst du eigentlich mit deinen Japanisch-Kenntnissen absehen, ob der Artikel etwas anderes zu bieten hat als derjenige in der englischen Wikipedia? --Scherben 15:50, 21. Nov. 2008 (CET)

erledigtErledigt. Beim Überfliegen muss ich gestehen, dass sich der englische Artikel genauso (oder vermutlich gar besser aufgrund geringerer Sprachbarrieren) eignet, um weitere "Sichtweisen" (wie zum Beispiel über die p-adischen Zahlen, auch wenn die weniger "Oma-kompatibel" sind) einzuarbeiten. Mir fiel der japanische Artikel damals nur positiv auf, weil er in diesem Zeitraum Artikel des Tages war und ich fälschlicherweise beim Blick auf den englischen Artikel dachte, der japanische wäre wesentlich umfangreicher. Gruß, -- Emdee 13:57, 3. Dez. 2008 (CET)

Einfacher Beweis, dass 1 = 0.9999.... ist

Wieso arbeitet man nicht diesen einfachen Beweis ein? x = 0.p9 10x = 9.p9 10x - x = 9.p9 - 0.p9 9x = 9 x = 1 (nicht signierter Beitrag von 217.226.97.249 (Diskussion) 16:06, 26. Nov. 2010 (CET))

Einfacher Beweis, dass 1 = 0.9999.... ist

Wieso arbeitet man nicht diesen einfachen Beweis ein? x = 0.p9 | 10x = 9.p9 | 10x - x = 9.p9 - 0.p9 | 9x = 9 | x = 1 | (nicht signierter Beitrag von 217.226.97.249 (Diskussion) 16:06, 26. Nov. 2010 (CET))

Einfacher Beweis, dass 1 = 0.9999.... ist

Wieso arbeitet man nicht diesen einfachen Beweis ein? x = 0.p9 | 10x = 9.p9 | 10x - x = 9.p9 - 0.p9 | 9x = 9 | x = 1 | (nicht signierter Beitrag von 217.226.97.249 (Diskussion) 16:06, 26. Nov. 2010 (CET))

Einfacher Beweis, dass 1 = 0.9999.... ist *3

Hast du deinen "einfachen" Beweis dreimal vorgeschlagen, damit er größere Chancen hat, in den Artikel einzufließen, oder ist da ein technisches Missgeschick passiert?--80.121.29.83 15:14, 24. Mai 2014 (CEST)