Numerischer Wertebereich (Hilbertraum)

Der numerische Wertebereich ist ein Begriff aus der Funktionalanalysis und der linearen Algebra.

Definition

Für einen komplexen Hilbertraum $H$ mit Skalarprodukt $\langle {\cdot },{\cdot }\rangle$ und einen beschränkten linearen Operator $T\colon H\to H$ ist der numerische Wertebereich von $T$ gegeben durch

$W(T):=\left\{\langle Tx,x\rangle :\lVert x\rVert =1\right\},$

wobei $\lVert {\cdot }\rVert$ die durch $\langle {\cdot },{\cdot }\rangle$ auf $H$ induzierte Norm ist.

Analog zum Spektralradius definiert man den numerischen Radius durch $w(T):=\sup\{|\lambda |:\lambda \in W(T)\}$.

Im Spezialfall komplexwertiger, quadratischer Matrizen $A\in \mathbb {C} ^{n\times n}$ ist die Definition des numerischen Wertebereichs gleichwertig zu

$W(A)=\left\{{\frac {x^{*}Ax}{x^{*}x}}:x\in \mathbb {C} ^{n}\setminus \{0\}\right\}.$

$W(A)$ ist hier also der Bildbereich des Rayleigh-Quotienten.

Eigenschaften

Die folgenden Eigenschaften gelten für beschränkte lineare Operatoren $T\colon H\to H$.

• $W(T)\subseteq \{\lambda \in \mathbb {C} :|\lambda |\leq \lVert T\rVert \}$ bzw. äquivalent dazu $w(T)\leq \lVert T\rVert$. Hierbei bezeichnet $\lVert T\rVert$ die Operatornorm von $T$.
• Der numerische Wertebereich von $T$ ist konvex. (Satz von Toeplitz-Hausdorff)
• Das Spektrum $\sigma (T)$ liegt im Abschluss von $W(T)$: $\sigma (T)\subseteq {\overline {W(T)}}$. Ist $H$ endlich-dimensional, gilt sogar $\sigma (T)\subseteq W(T)$.
• Jedes $\lambda \in W(T)$, für das $|\lambda |=\lVert T\rVert$ gilt, ist ein Eigenwert von $T$.

Anwendungen

Der rechte reelle Achsenabschnitt des numerischen Wertebereichs ist die logarithmische Norm, bei einer Matrix $A$ ist dies

$\mu (A)=\max \left\{x^{*}Ax:\ x^{*}x=1\right\}.$

Mit ihr kann eine Schranke für die Spektralnorm des Matrixexponentials angegeben werden, es gilt

$\|e^{tA}\|_{2}\leq e^{t\mu (A)},\ t\geq 0.$

Denn $y(t)=e^{tA}y_{0}$ löst das Anfangswertproblem $y'(t)=Ay(t),\,y(0)=y_{0}$. Dann gilt für die Euklidnorm $N(t)=\|y(t)\|^{2}$, dass ihre Ableitung die Ungleichung $N'(t)=2y(t)^{*}y'(t)=2y(t)^{*}Ay(t)\leq 2\mu (A)y(t)^{*}y(t)=\mu (A)N(t)$ erfüllt, woraus $N(t)\leq e^{2t\mu (A)}N(0)$ folgt. Dies entspricht der Schranke für das Matrixexponential.

Literatur

• E. Hairer, G. Wanner, Solving ordinary differential equations II, Springer, 1991.