Rayleigh-Quotient

Der Rayleigh-Quotient, auch Rayleigh-Koeffizient genannt, ist ein Objekt aus der linearen Algebra, das nach dem Physiker John William Strutt, 3. Baron Rayleigh benannt ist. Der Rayleigh-Quotient wird insbesondere zur numerischen Berechnung von Eigenwerten einer quadratischen Matrix $A$ verwendet.

Definition

Sei $A\in {\mathbb {K} }^{n\times n}$ eine reelle symmetrische oder komplexe hermitesche Matrix und $x\in {\mathbb {K} }^{n}$ mit $x\neq 0$ ein Vektor, dann ist der Rayleigh-Quotient von $A$ zum Vektor $x$ definiert durch

$R_{A}(x)={\frac {x^{H}Ax}{x^{H}x}}\,.$

Hierbei bezeichnet $x^{H}={\overline {x}}^{T}$ den adjungierten Vektor von $x$. Der Bildbereich des Rayleigh-Quotienten ist genau der numerische Wertebereich von $A$.

Eigenschaften

Bei einer Multiplikation des Vektors $x$ mit einem Skalar $\alpha \neq 0$ ändert sich der Rayleigh-Quotient nicht: $R_{A}(\alpha x)=R_{A}(x)$, er ist also eine homogene Funktion vom Grad 0.

Der Rayleigh-Quotient hat eine enge Beziehung zu den Eigenwerten von $A$. Ist $v$ ein Eigenvektor der Matrix $A$ und $\lambda$ der zugehörige Eigenwert, dann gilt:

$R_{A}(v)={\frac {v^{*}Av}{v^{*}v}}={\frac {v^{*}\lambda v}{v^{*}v}}=\lambda \,.$

Durch den Rayleigh-Quotienten wird also jeder Eigenvektor von $A$ auf den dazugehörigen Eigenwert $\lambda$ abgebildet. Diese Eigenschaft wird unter anderem in der numerischen Berechnung von Eigenwerten benutzt. Insbesondere gilt für eine symmetrische oder hermitesche Matrix $A$ mit dem kleinsten Eigenwert $\lambda _{\rm {min}}$ und dem größten Eigenwert $\lambda _{\rm {max}}$ nach dem Satz von Courant-Fischer:

$\lambda _{\rm {min}}\leq R_{A}(x)\leq \lambda _{\rm {max}}\,.$

Die Berechnung des kleinsten bzw. größten Eigenwerts ist damit äquivalent zum Auffinden des Minimums bzw. Maximums des Rayleigh-Quotienten. Das lässt sich unter geeigneten Voraussetzungen auch noch auf den unendlichdimensionalen Fall verallgemeinern und ist als Rayleigh-Ritz-Prinzip bekannt.

Die Eigenvektoren hermitescher $A$ bilden die stationären Punkte des Rayleigh-Quotienten. Dies gilt nicht für asymmetrische Matrizen. Deswegen führte Ostrowski 1958/59 den sogenannten 2-seitigen Rayleigh-Quotienten

$R_{A}(x,y)={\frac {y^{*}Ax}{y^{*}x}}$

ein, wobei $y^{*}x\neq 0$, der wiederum stationär an den Rechts- und Linkseigenvektoren $x$ und $y$ ist. Da für normale Matrizen Rechts- und Linkseigenvektoren übereinstimmen, fällt der 2-seitige mit dem (einseitigen) Rayleigh-Quotienten in diesem Fall zusammen.

Verwendung in der Numerischen Mathematik

Bei numerischen Verfahren zur Lösung von Eigenwertproblemen, die, wie beispielsweise die Vektoriteration oder die inverse Iteration, primär Eigenvektornäherungen berechnen, lassen sich mit Hilfe des Rayleigh-Quotienten zusätzlich auch Eigenwertnäherungen bestimmen. Bei der inversen Iteration wird ein Parameter $\theta$, der Shift, benötigt. Wird $\theta$ in jedem Iterationsschritt als Rayleigh-Quotient der aktuellen Eigenvektornäherung gewählt, ergibt dies das sogenannte Rayleigh-Quotienten-Verfahren.