Skalarmultiplikation

Skalarmultiplikation in der euklidischen Ebene: der Vektor w wird mit der Zahl 2 multipliziert und der Vektor v mit der Zahl -1

Die Skalarmultiplikation, auch S-Multiplikation oder skalare Multiplikation genannt, ist eine äußere zweistellige Verknüpfung zwischen einem Skalar und einem Vektor, die in der Definition von Vektorräumen gefordert wird. Die Skalare sind dabei die Elemente des Körpers, über dem der Vektorraum definiert ist. Auch die analoge Verknüpfung bei Moduln wird Skalarmultiplikation genannt.

Das Ergebnis einer Skalarmultiplikation ist ein entsprechend skalierter Vektor. Im anschaulichen Fall euklidischer Vektorräume verlängert oder verkürzt die Skalarmultiplikation die Länge des Vektors um den angegebenen Faktor. Bei negativen Skalaren wird dabei zusätzlich die Richtung des Vektors umgekehrt. Eine spezielle Form einer solchen Skalierung ist die Normierung. Hierbei wird ein Vektor mit dem Kehrwert seiner Länge (allgemein seiner Norm) multipliziert, wodurch man einen Einheitsvektor mit Länge (oder Norm) eins erhält.

Definition

Ist $V$ ein Vektorraum über dem Körper $K$, dann ist die Skalarmultiplikation eine zweistellige Verknüpfung

$\odot \colon K\times V\to V$,

die per Definition des Vektorraumes gemischt assoziativ und distributiv ist, also für alle Vektoren $u,v\in V$ und alle Skalare Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \alpha ,\beta \in K} folgende Eigenschaften erfüllt:

• $\alpha \odot (\beta \odot v)=(\alpha \cdot \beta )\odot v$
• $\alpha \odot (u\oplus v)=\alpha \odot u\oplus \alpha \odot v$
• $(\alpha +\beta )\odot v=\alpha \odot v\oplus \beta \odot v$

Zudem gilt die Neutralität des Einselements $1$ des Körpers:

• $1\odot v=v$.

Hierbei bezeichnet $\oplus$ die Vektoraddition in $V$ sowie $+$ und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \cdot } jeweils die Addition und die Multiplikation im Körper $K$. Häufig wird sowohl für die Vektoraddition, als auch für die Körperaddition das Pluszeichen $+$ und sowohl für die Skalarmultiplikation, als auch für die Körpermultiplikation das Malzeichen $\cdot$ verwendet. Dieser Konvention wird auch aufgrund der einfacheren Lesbarkeit im weiteren Verlauf dieses Artikels gefolgt. Das Multiplikationssymbol wird oft auch weggelassen und man schreibt kurz Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \alpha \beta } statt Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \alpha \cdot \beta } und $\alpha v$ statt $\alpha \cdot v$.

Eigenschaften

Neutralität

Bezeichnet $0_{K}\in K$ das Nullelement des Körpers und $0_{V}\in V$ den Nullvektor des Vektorraums, dann gilt für alle Vektoren $v\in V$

$0_{K}\cdot v=0_{V}$,

denn es gilt mit dem zweiten Distributivgesetz

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle 0_{K}\cdot v+0_{K}\cdot v=(0_{K}+0_{K})\cdot v=0_{K}\cdot v}

und deswegen muss $0_{K}\cdot v$ der Nullvektor sein. Entsprechend gilt für alle Skalare $\alpha \in K$

$\alpha \cdot 0_{V}=0_{V}$,

denn es gilt mit dem ersten Distributivgesetz

$\alpha \cdot 0_{V}+\alpha \cdot 0_{V}=\alpha \cdot (0_{V}+0_{V})=\alpha \cdot 0_{V}$

und daher muss auch hier $\alpha \cdot 0_{V}$ der Nullvektor sein. Insgesamt erhält man so

$\alpha \cdot v=0_{V}\Leftrightarrow \alpha =0_{K}~{\text{oder}}~v=0_{V}$,

denn aus $\alpha \cdot v=0_{V}$ folgt entweder $\alpha =0_{K}$ oder $\alpha \neq 0_{K}$ und dann $v=\alpha ^{-1}\cdot 0_{V}=0_{V}$, wobei $\alpha ^{-1}$ das multiplikativ inverse Element zu $\alpha$ ist.

Inverse

Bezeichnet nun $-1$ das additiv inverse Element zum Einselement $1$ und $-v$ den inversen Vektor zu $v$, dann gilt

$(-1)\cdot v=-v$,

denn mit der Neutralität der Eins erhält man

$0_{K}=0_{K}\cdot v=(1-1)\cdot v=1\cdot v+(-1)\cdot v=v+(-1)\cdot v$

und damit ist $(-1)\cdot v$ der inverse Vektor zu $v$. Ist nun allgemein $-\alpha$ das additiv inverse Element zu $\alpha$, dann gilt

$(-\alpha )\cdot v=-(\alpha \cdot v)=\alpha \cdot (-v)$,

denn mit $\beta =-1$ erhält man durch das gemischte Assoziativgesetz

$(-\alpha )\cdot v=(\beta \alpha )\cdot v=\beta \cdot (\alpha \cdot v)=-(\alpha \cdot v)$

sowie mit der Kommutativität der Multiplikation zweier Skalare

$(-\alpha )\cdot v=(\alpha \beta )\cdot v=\alpha \cdot (\beta \cdot v)=\alpha \cdot (-v)$.

Beispiele

Koordinatenvektoren

Ist $V=K^{n}$ der Koordinatenraum und $v=(v_{1},\ldots ,v_{n})^{T}\in K^{n}$ ein Koordinatenvektor, so wird die Multiplikation mit einem Skalar Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha \in K} komponentenweise wie folgt definiert:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha \cdot v = \alpha \cdot \begin{pmatrix} v_1 \\ \vdots \\ v_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha \cdot v_1 \\ \vdots \\ \alpha \cdot v_n \end{pmatrix}} .

Bei der Skalarmultiplikation wird demnach jede Komponente des Vektors mit dem Skalar multipliziert. Im dreidimensionalen euklidischen Raum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^3} erhält man beispielsweise

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3 \cdot \begin{pmatrix} \,1\, \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \,3 \cdot 1\, \\ 3 \cdot 4 \\ 3 \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \,3\, \\ 12 \\ 6 \end{pmatrix}} .

Matrizen

Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V = K^{m \times n}} der Matrizenraum und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A = ( a_{ij} ) \in K^{m \times n}} eine Matrix, so wird die Multiplikation mit einem Skalar Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha \in K} ebenfalls komponentenweise definiert:

$\alpha \cdot A=\alpha \cdot {\begin{pmatrix}a_{11}&\ldots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\alpha \cdot a_{11}&\ldots &\alpha \cdot a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\alpha \cdot a_{m1}&\ldots &\alpha \cdot a_{mn}\end{pmatrix}}$.

Bei der Skalarmultiplikation wird also wiederum jeder Eintrag der Matrix mit dem Skalar multipliziert. Beispielsweise erhält man für eine reelle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (2 \times 2)} -Matrix

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \cdot 1 & 3 \cdot 2 \\ 3 \cdot 4 & 3 \cdot 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 12 & 9 \end{pmatrix}} .

Polynome

Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V = K[X]} der Vektorraum der Polynome in der Variablen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} mit Koeffizienten aus einem Körper Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K} , so wird die Multiplikation eines Polynoms Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P \in K[X]} mit einem Skalar $\alpha \in K$ wiederum komponentenweise definiert:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha P = \alpha ( a_0 + a_1 X + \dotsb + a_n X^n ) = ( \alpha a_0 ) + ( \alpha a_1 ) X + \dotsb + ( \alpha a_n ) X^n} .

Beispielsweise ergibt die Skalarmultiplikation der reellen Polynomfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p(x) = x^n - x} mit der Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 3} das Polynom

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (3 p)(x) = 3 ( x^n - x ) = 3x^n - 3x} .

Funktionen

Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V = F(\Omega, W)} ein linearer Funktionenraum und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f \in F(\Omega, W)} eine Funktion von einer nichtleeren Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega} in einen Vektorraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W} , dann wird das Ergebnis der Skalarmultiplikation einer solchen Funktion mit einem Skalar $\alpha \in K$ definiert als die Funktion

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha f \colon \Omega \to W, \quad x \mapsto (\alpha f)(x) = \alpha \cdot f(x)} .

Betrachtet man beispielsweise den Vektorraum der linearen reellen Funktionen der Form Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x) = ax + b} , dann erhält man durch Skalarmultiplikation mit einer reellen Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c} die Funktion

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (c f)(x) = c \cdot f(x) = c \cdot (ax + b) = c a x + c b} .

Durch die Skalarmultiplikation wird demnach jeder Funktionswert um den Faktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c} skaliert.

Literatur

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. Vieweg+Teubner, 2009, ISBN 3-8348-0996-9. 
• Jörg Liesen, Volker Mehrmann: Lineare Algebra. 3. Auflage. Springer, Berlin, Heidelberg 2021, ISBN 978-3-662-62741-9, doi:10.1007/978-3-662-62742-6. 

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Scalar Multiplication. In: MathWorld (englisch).