Toeplitz-Matrix

Besetzungsmuster einer Toeplitz-Matrix der Größe 5×5

Toeplitz-Matrizen sind (endliche oder unendliche) Matrizen mit einer speziellen Struktur. Sie sind nach Otto Toeplitz benannt, der ihre algebraischen und funktionalanalytischen Eigenschaften in dem 1911 erschienenen Artikel Zur Theorie der quadratischen und bilinearen Formen von unendlichvielen Veränderlichen (Mathematische Annalen 70, S. 351–376) untersuchte.

Definition

Eine Matrix $A=(a_{ij})$ wird Toeplitz-Matrix genannt, wenn die Einträge $a_{ij}$ nur von der Differenz $i-j$ der Indizes abhängen. Die Haupt- und Nebendiagonalen der Matrix sind also konstant. Eine endliche Toeplitz-Matrix mit $m$ Zeilen und $n$ Spalten ist somit durch die $m+n-1$ Einträge am linken und oberen Rand (also die erste Zeile und erste Spalte) vollständig bestimmt.

Beispiel

Hier ein Beispiel einer $4\times 5$-Toeplitz-Matrix:

$M={\begin{pmatrix}4&5&6&7&8\\3&4&5&6&7\\2&3&4&5&6\\1&2&3&4&5\\\end{pmatrix}}$

Eigenschaften

Quadratische Toeplitz-Matrizen sind persymmetrisch, das heißt, ihre Einträge ändern sich nicht, wenn sie an der Gegendiagonale der Matrix gespiegelt werden. Symmetrische Toeplitz-Matrizen sind sowohl bisymmetrisch als auch zentralsymmetrisch. Gilt bei einer quadratischen Toeplitz-Matrix $a_{ij}=0$ für alle $|i-j|>1$, so spricht man von einer Tridiagonal-Toeplitz-Matrix. Die Eigenwerte und Eigenvektoren von Tridiagonal-Toeplitz-Matrizen lassen sich explizit angeben. Eine Blockmatrix, deren Blöcke eine Toeplitz-Struktur aufweisen, heißt Block-Toeplitz-Matrix.

Anwendung

Für große lineare Gleichungssysteme $Ax=b$, bei denen $A$ eine Toeplitz-Matrix ist, gibt es besonders effiziente Lösungsverfahren. Dabei werden häufig unendlich große Toeplitz-Matrizen durch ihre Erzeugungsfunktion beschrieben. Sofern diese Fourier-transformierbar sind, können die Operationen Matrizenmultiplikation und Matrixinversion auf einfache Multiplikationen bzw. Divisionen zurückgeführt werden. Umgekehrt nutzt man die Eigenschaften von Toeplitz-Matrizen auch bei der schnellen Fourier-Transformation.

Siehe auch

• Hankel-Matrix, eine Matrix, deren Einträge in den von rechts oben nach links unten verlaufenden Diagonalen konstant sind.

Literatur

• I. I. Volkov: Toeplitz matrix. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).