Tridiagonal-Toeplitz-Matrix

Besetzungsmuster einer Tridiagonal-Toeplitz-Matrix der Größe 5×5

Eine Tridiagonal-Toeplitz-Matrix ist in der linearen Algebra eine Tridiagonalmatrix mit konstanten Hauptdiagonal- und Nebendiagonalelementen. Tridiagonal-Toeplitz-Matrizen treten in der numerischen Mathematik recht häufig auf, beispielsweise bei der Berechnung kubischer Splines oder bei der Diskretisierung partieller Differentialgleichungen zweiter Ordnung in einer Raumdimension.

Definition

Eine Tridiagonal-Toeplitz-Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T \in \R^{n\times n}} oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T \in \Complex^{n\times n}} ist eine quadratische Matrix der Form

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T = \begin{pmatrix} a & c & & 0 \\ b & \ddots & \ddots & \\ & \ddots & \ddots & c \\ 0 & & b & a \end{pmatrix} } ,

wobei $a$, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c} reelle oder komplexe Zahlen sind. Eine Tridiagonal-Toeplitz-Matrix ist damit sowohl eine spezielle Tridiagonalmatrix, bei der die Haupt- und Nebendiagonalelemente konstant sind, als auch eine spezielle Toeplitz-Matrix, bei der die Einträge außerhalb der Haupt- und Nebendiagonalen gleich null sind.

Eigenschaften

Lineare Gleichungssysteme der Form $Tx=d$ können effizient mit Hilfe des Thomas-Algorithmus, einer vereinfachten Variante der Gauß-Elimination, mit einem Aufwand der Ordnung $O(n)$ gelöst werden.

Die Eigenwerte und Eigenvektoren einer reellen Tridiagonal-Toeplitz-Matrix $T$ lassen sich explizit angeben. Sind die Nebendiagonaleinträge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b} und $c$ ungleich null, dann sind die Eigenwerte von $T$ alle verschieden und durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_k = a + 2 \sqrt{bc} \cos \left( \frac{\pi k}{n+1} \right)}

mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k=1, \ldots , n} gegeben. Die zugehörigen Eigenvektoren sind

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v^k = \left( \left( \frac{b}{c} \right)^{1/2} \sin \left( \frac{1 \pi k}{n+1} \right), \ldots , \left( \frac{b}{c} \right)^{n/2} \sin \left( \frac{n \pi k}{n+1} \right) \right)} .

Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle bc=0} , so hat Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T} den einzigen Eigenwert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a} . Die zugehörigen Eigenvektoren sind dann die Einheitsvektoren $e_{1}$, falls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle c \neq 0} ist, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e_n} , falls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b \neq 0} ist, und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e_1, \ldots , e_n} , falls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b=c=0} sind. Die Eigenwerte von $T$ sind damit genau dann reell, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle bc \geq 0} gilt. Die Eigenwerte einer Triadiagonal-Toeplitz-Matrix werden beispielsweise bei der numerischen Stabilitätsanalyse des Crank-Nicolson-Verfahrens benötigt.

Siehe auch

• Blocktridiagonalmatrix
• Block-Toeplitz-Matrix

Literatur

• Albrecht Böttcher, Sergei M. Grudsky: Spectral Properties of Banded Toeplitz Matrices. SIAM, Philadelphia PA 2005, ISBN 0-89871-599-7, Kapitel 2.2. 
• Silvia Noschese, Lionello Pasquini, Lothar Reichel: Tridiagonal Toeplitz matrices. Properties and novel applications. In: Numerical Linear Algebra with Applications. Band 20, Nr. 2: Special Issue: Inverse Problems Dedicated to Biswa Datta, 2013, ISSN 1070-5325, S. 302–326, doi:10.1002/nla.1811.